Este documento trata sobre polinomios. Explica qué son monomios y polinomios, y define sus elementos y tipos. Luego describe operaciones con monomios y polinomios como suma, resta, multiplicación y división. También cubre identidades notables, raíces, factorización y fracciones algebraicas. El objetivo es proporcionar los conceptos y métodos fundamentales para trabajar con expresiones algebraicas polinomiales.
Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios. Los polinomios pueden ser clasificados según su grado, tipo de términos, y si los coeficientes son iguales o diferentes. El grado de un polinomio depende del exponente más alto de la variable principal y puede ser absoluto o relativo a una literal en particular.
Este documento presenta información sobre expresiones algebraicas y polinomios. Define conceptos como monomios, términos algebraicos, expresiones algebraicas, polinomios, grado absoluto y relativo. Incluye ejemplos y actividades para practicar la identificación y clasificación de expresiones algebraicas y determinar valores numéricos de monomios.
Este documento describe los conceptos básicos de los polinomios. Define un polinomio como una expresión algebraica formada por la suma o resta de dos o más monomios. Explica que el grado de un polinomio es el mayor grado de sus términos y describe cómo sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios. También cubre conceptos como el factor común, las identidades notables, las raíces de un polinomio y la factorización de polinomios.
Este documento describe expresiones algebraicas y polinomios. Define una expresión algebraica como una combinación de números y letras unidos por operaciones matemáticas. Un polinomio es una expresión algebraica entera que no contiene variables como divisores o dentro de raíces. Explica cómo clasificar polinomios según la cantidad de términos y cómo realizar operaciones básicas y factorización de polinomios.
El documento describe los conceptos y operaciones básicas con polinomios, incluyendo sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, identidades notables, factorización y raíces. Explica el proceso de factorización de polinomios en tres pasos: 1) extraer factores comunes o aplicar identidades notables, 2) buscar raíces dividiendo entre binomios x-a, 3) continuar factorizando los coeficientes resultantes. También cubre fracciones algebraicas, definición, equivalencia, simplificación y operaciones.
Los polinomios son el resultado de sumar monomios no semejantes. El grado de un polinomio es el grado del término de mayor grado. Los términos de primer grado se llaman lineales y los de grado cero se denominan independientes. Para hallar el valor numérico de un polinomio se sustituyen las indeterminadas por sus valores y se efectúan las operaciones. La suma y resta de polinomios se realiza sumando o restando sus términos semejantes.
Este documento presenta conceptos básicos sobre monomios y polinomios. Define un monomio como una expresión algebraica con operaciones de producto y potencia, y describe sus componentes como el coeficiente, la parte literal y el grado. Define un polinomio como una expresión con términos de diferentes grados y describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios. También define el grado de un polinomio y tipos como polinomios completos y ordenados.
El documento presenta información sobre expresiones algebraicas, incluyendo sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, valor numérico, productos notables y factorización de productos notables. Explica conceptos como coeficientes, variables, términos semejantes y no semejantes. Describe procedimientos para realizar operaciones algebraicas siguiendo las leyes de los signos y exponentes. Incluye ejemplos para ilustrar cada tipo de operación y concepto.
Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios. Los polinomios pueden ser clasificados según su grado, tipo de términos, y si los coeficientes son iguales o diferentes. El grado de un polinomio depende del exponente más alto de la variable principal y puede ser absoluto o relativo a una literal en particular.
Este documento presenta información sobre expresiones algebraicas y polinomios. Define conceptos como monomios, términos algebraicos, expresiones algebraicas, polinomios, grado absoluto y relativo. Incluye ejemplos y actividades para practicar la identificación y clasificación de expresiones algebraicas y determinar valores numéricos de monomios.
Este documento describe los conceptos básicos de los polinomios. Define un polinomio como una expresión algebraica formada por la suma o resta de dos o más monomios. Explica que el grado de un polinomio es el mayor grado de sus términos y describe cómo sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios. También cubre conceptos como el factor común, las identidades notables, las raíces de un polinomio y la factorización de polinomios.
Este documento describe expresiones algebraicas y polinomios. Define una expresión algebraica como una combinación de números y letras unidos por operaciones matemáticas. Un polinomio es una expresión algebraica entera que no contiene variables como divisores o dentro de raíces. Explica cómo clasificar polinomios según la cantidad de términos y cómo realizar operaciones básicas y factorización de polinomios.
El documento describe los conceptos y operaciones básicas con polinomios, incluyendo sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, identidades notables, factorización y raíces. Explica el proceso de factorización de polinomios en tres pasos: 1) extraer factores comunes o aplicar identidades notables, 2) buscar raíces dividiendo entre binomios x-a, 3) continuar factorizando los coeficientes resultantes. También cubre fracciones algebraicas, definición, equivalencia, simplificación y operaciones.
Los polinomios son el resultado de sumar monomios no semejantes. El grado de un polinomio es el grado del término de mayor grado. Los términos de primer grado se llaman lineales y los de grado cero se denominan independientes. Para hallar el valor numérico de un polinomio se sustituyen las indeterminadas por sus valores y se efectúan las operaciones. La suma y resta de polinomios se realiza sumando o restando sus términos semejantes.
Este documento presenta conceptos básicos sobre monomios y polinomios. Define un monomio como una expresión algebraica con operaciones de producto y potencia, y describe sus componentes como el coeficiente, la parte literal y el grado. Define un polinomio como una expresión con términos de diferentes grados y describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios. También define el grado de un polinomio y tipos como polinomios completos y ordenados.
El documento presenta información sobre expresiones algebraicas, incluyendo sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, valor numérico, productos notables y factorización de productos notables. Explica conceptos como coeficientes, variables, términos semejantes y no semejantes. Describe procedimientos para realizar operaciones algebraicas siguiendo las leyes de los signos y exponentes. Incluye ejemplos para ilustrar cada tipo de operación y concepto.
Este documento resume conceptos básicos sobre polinomios y operaciones algebraicas. Explica que un polinomio es la suma o resta de monomios, y define términos como coeficiente, parte literal y grado. Detalla las operaciones de suma, resta, multiplicación y división con monomios y polinomios, así como la factorización y las identidades notables. El objetivo es presentar estas ideas matemáticas fundamentales para estudiantes de tercero de la educación secundaria.
El documento ofrece recomendaciones sobre cómo estudiar de forma eficiente. Recomienda no aprender de memoria sino comprender los conceptos para aplicarlos en el futuro. Además, sugiere estudiar de forma sistemática y sin presión en lugar de solo prepararse para exámenes. Finalmente, resume siete técnicas importantes como estudiar en un lugar tranquilo y hacer preguntas mientras se lee.
Las expresiones algebraicas son combinaciones de letras y números conectados por símbolos de operaciones como suma, resta, multiplicación y división. Las expresiones algebraicas incluyen monomios, polinomios, binomios y trinomios. Existen diferentes tipos de operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas.
El documento trata sobre polinomios. Explica métodos para dividir polinomios como el método tradicional y el método de Ruffini. También habla sobre el teorema del resto, raíces de polinomios, factorización de polinomios, simplificación de fracciones algebraicas, mínimo común múltiplo de fracciones y operaciones con fracciones algebraicas. Incluye ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
los polinomios son expresiones algebraicas formadas por dos variables.entre sus tipos tendremos polinomios completos,incompletos,nulo,semejantes,homogéneo,heterogéneo, iguales,ordenados.
Este documento trata sobre polinomios. Define polinomios y clasifica sus diferentes tipos. Explica cómo reducir términos semejantes y realizar operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de polinomios.
El documento explica conceptos básicos de expresiones algebraicas como monomios, polinomios, operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación y división. También cubre temas como productos notables y factorización, incluyendo ejemplos de trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados y factorización de ax2 + bx + c.
Este documento introduce los conceptos de expresiones algebraicas y polinomios. Explica que una expresión algebraica usa números y letras para representar relaciones matemáticas de forma abreviada. Un polinomio es una expresión algebraica entera que consiste en la suma o resta de monomios. El grado de un polinomio depende del exponente del monomio de mayor grado.
Este documento presenta diferentes métodos de factorización de expresiones algebraicas, incluyendo factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, cuatrinomio cubo perfecto, y binomios de la forma axn + bxn. El objetivo es identificar los casos de factorización para aplicarlos en la solución de ejercicios.
Este documento explica los diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas. Define la factorización como convertir una suma en una multiplicación indicada por sus factores. Luego describe seis casos de factorización: 1) polinomios con un factor común, 2) factor común por grupos, 3) trinomios cuadrados perfectos, 4) diferencia de cuadrados, 5) trinomios con coeficiente principal igual a uno, y 6) trinomios con coeficientes principales distintos de uno. Proporciona ejemplos detallados para ilustrar cada método.
El documento describe los diferentes tipos de polinomios, incluyendo polinomios completos, incompletos, iguales, nulos, homogéneos y heterogéneos. Explica que un polinomio es una expresión algebraica compuesta por la suma o resta de términos llamados monomios. También define el grado de un polinomio y monomio, y clasifica polinomios en monomios, binomios y trinomios.
El documento presenta ejercicios y problemas sobre polinomios y fracciones algebraicas para estudiantes de 4o de la ESO. Incluye temas como operaciones con polinomios, división de polinomios, igualdades notables, raíces, factorización, y fracciones algebraicas, con el objetivo de practicar estas habilidades matemáticas.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, polinomios, factorización y expresiones algebraicas racionales. Explica temas como sumas, restas, multiplicación y división de polinomios, así como casos de factorización como factor común, trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados. Finalmente, introduce expresiones algebraicas racionales y operaciones con fracciones algebraicas.
Este documento presenta una planificación de clase para enseñar factorización a estudiantes de primer año de polimodal. La clase comenzará recordando brevemente los diferentes métodos de factorización a través de ejemplos. Luego, los estudiantes practicarán resolviendo ejercicios de factorización como tarea. La siguiente clase se dedicará a revisar los ejercicios, permitiendo que los estudiantes expliquen sus soluciones. El tema concluirá con una evaluación que consistirá en factorizar varias expresiones aplicando diferentes métodos
Un polinomio es una expresión algebraica que involucra sumas y productos de variables elevadas a exponentes enteros no negativos. Los polinomios se pueden clasificar de acuerdo a su número de términos y grado, y tienen características como términos, coeficientes, grado y operaciones algebraicas específicas. Las funciones de polinomios tienen múltiples propósitos como modelado matemático, resolución de problemas y predicciones.
Este documento define y explica los conceptos básicos de los polinomios. Indica que un polinomio está formado por la suma y resta de monomios y puede ser binomio (2 términos), trinomio (3 términos) o polinomio (más de 3 términos). También describe las características de los polinomios como el grado, término independiente y cómo pueden ordenarse y completarse.
Este documento explica conceptos básicos de álgebra como términos, monomios, polinomios, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de monomios. También cubre temas como valor numérico de expresiones algebraicas, productos notables, factorización y métodos como factor común y agrupamiento. El documento proporciona definiciones, fórmulas y ejemplos para cada uno de estos conceptos.
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
El documento introduce los conjuntos de números, incluyendo números naturales, enteros y reales. Explica que los números reales incluyen números racionales e irracionales. Luego, cubre conceptos matemáticos como exponentes y operaciones básicas con polinomios como suma, resta, multiplicación y división.
El documento presenta los conceptos básicos de polinomios incluyendo monomios, operaciones con monomios y polinomios, identidades notables, factorización, fracciones algebraicas y simplificación. Explica cómo calcular el valor numérico de polinomios y divide monomios usando las reglas de potencias.
Este documento presenta las instrucciones para una evaluación de sistemas de ecuaciones e inecuaciones realizada el 21 de enero de 2019. Los estudiantes deben mostrar sus trabajos de manera ordenada y sin errores ortográficos, y se les penalizará hasta 2 puntos por faltas. La evaluación contiene varios ejercicios de sistemas de ecuaciones y inecuaciones para resolver, así como un problema adicional de geometría sobre las dimensiones de un rectángulo.
Este documento resume conceptos básicos sobre polinomios y operaciones algebraicas. Explica que un polinomio es la suma o resta de monomios, y define términos como coeficiente, parte literal y grado. Detalla las operaciones de suma, resta, multiplicación y división con monomios y polinomios, así como la factorización y las identidades notables. El objetivo es presentar estas ideas matemáticas fundamentales para estudiantes de tercero de la educación secundaria.
El documento ofrece recomendaciones sobre cómo estudiar de forma eficiente. Recomienda no aprender de memoria sino comprender los conceptos para aplicarlos en el futuro. Además, sugiere estudiar de forma sistemática y sin presión en lugar de solo prepararse para exámenes. Finalmente, resume siete técnicas importantes como estudiar en un lugar tranquilo y hacer preguntas mientras se lee.
Las expresiones algebraicas son combinaciones de letras y números conectados por símbolos de operaciones como suma, resta, multiplicación y división. Las expresiones algebraicas incluyen monomios, polinomios, binomios y trinomios. Existen diferentes tipos de operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas.
El documento trata sobre polinomios. Explica métodos para dividir polinomios como el método tradicional y el método de Ruffini. También habla sobre el teorema del resto, raíces de polinomios, factorización de polinomios, simplificación de fracciones algebraicas, mínimo común múltiplo de fracciones y operaciones con fracciones algebraicas. Incluye ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
los polinomios son expresiones algebraicas formadas por dos variables.entre sus tipos tendremos polinomios completos,incompletos,nulo,semejantes,homogéneo,heterogéneo, iguales,ordenados.
Este documento trata sobre polinomios. Define polinomios y clasifica sus diferentes tipos. Explica cómo reducir términos semejantes y realizar operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de polinomios.
El documento explica conceptos básicos de expresiones algebraicas como monomios, polinomios, operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación y división. También cubre temas como productos notables y factorización, incluyendo ejemplos de trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados y factorización de ax2 + bx + c.
Este documento introduce los conceptos de expresiones algebraicas y polinomios. Explica que una expresión algebraica usa números y letras para representar relaciones matemáticas de forma abreviada. Un polinomio es una expresión algebraica entera que consiste en la suma o resta de monomios. El grado de un polinomio depende del exponente del monomio de mayor grado.
Este documento presenta diferentes métodos de factorización de expresiones algebraicas, incluyendo factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, cuatrinomio cubo perfecto, y binomios de la forma axn + bxn. El objetivo es identificar los casos de factorización para aplicarlos en la solución de ejercicios.
Este documento explica los diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas. Define la factorización como convertir una suma en una multiplicación indicada por sus factores. Luego describe seis casos de factorización: 1) polinomios con un factor común, 2) factor común por grupos, 3) trinomios cuadrados perfectos, 4) diferencia de cuadrados, 5) trinomios con coeficiente principal igual a uno, y 6) trinomios con coeficientes principales distintos de uno. Proporciona ejemplos detallados para ilustrar cada método.
El documento describe los diferentes tipos de polinomios, incluyendo polinomios completos, incompletos, iguales, nulos, homogéneos y heterogéneos. Explica que un polinomio es una expresión algebraica compuesta por la suma o resta de términos llamados monomios. También define el grado de un polinomio y monomio, y clasifica polinomios en monomios, binomios y trinomios.
El documento presenta ejercicios y problemas sobre polinomios y fracciones algebraicas para estudiantes de 4o de la ESO. Incluye temas como operaciones con polinomios, división de polinomios, igualdades notables, raíces, factorización, y fracciones algebraicas, con el objetivo de practicar estas habilidades matemáticas.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, polinomios, factorización y expresiones algebraicas racionales. Explica temas como sumas, restas, multiplicación y división de polinomios, así como casos de factorización como factor común, trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados. Finalmente, introduce expresiones algebraicas racionales y operaciones con fracciones algebraicas.
Este documento presenta una planificación de clase para enseñar factorización a estudiantes de primer año de polimodal. La clase comenzará recordando brevemente los diferentes métodos de factorización a través de ejemplos. Luego, los estudiantes practicarán resolviendo ejercicios de factorización como tarea. La siguiente clase se dedicará a revisar los ejercicios, permitiendo que los estudiantes expliquen sus soluciones. El tema concluirá con una evaluación que consistirá en factorizar varias expresiones aplicando diferentes métodos
Un polinomio es una expresión algebraica que involucra sumas y productos de variables elevadas a exponentes enteros no negativos. Los polinomios se pueden clasificar de acuerdo a su número de términos y grado, y tienen características como términos, coeficientes, grado y operaciones algebraicas específicas. Las funciones de polinomios tienen múltiples propósitos como modelado matemático, resolución de problemas y predicciones.
Este documento define y explica los conceptos básicos de los polinomios. Indica que un polinomio está formado por la suma y resta de monomios y puede ser binomio (2 términos), trinomio (3 términos) o polinomio (más de 3 términos). También describe las características de los polinomios como el grado, término independiente y cómo pueden ordenarse y completarse.
Este documento explica conceptos básicos de álgebra como términos, monomios, polinomios, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de monomios. También cubre temas como valor numérico de expresiones algebraicas, productos notables, factorización y métodos como factor común y agrupamiento. El documento proporciona definiciones, fórmulas y ejemplos para cada uno de estos conceptos.
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
El documento introduce los conjuntos de números, incluyendo números naturales, enteros y reales. Explica que los números reales incluyen números racionales e irracionales. Luego, cubre conceptos matemáticos como exponentes y operaciones básicas con polinomios como suma, resta, multiplicación y división.
El documento presenta los conceptos básicos de polinomios incluyendo monomios, operaciones con monomios y polinomios, identidades notables, factorización, fracciones algebraicas y simplificación. Explica cómo calcular el valor numérico de polinomios y divide monomios usando las reglas de potencias.
Este documento presenta las instrucciones para una evaluación de sistemas de ecuaciones e inecuaciones realizada el 21 de enero de 2019. Los estudiantes deben mostrar sus trabajos de manera ordenada y sin errores ortográficos, y se les penalizará hasta 2 puntos por faltas. La evaluación contiene varios ejercicios de sistemas de ecuaciones y inecuaciones para resolver, así como un problema adicional de geometría sobre las dimensiones de un rectángulo.
This document appears to be part of a math worksheet or exam on polynomials for a 2nd year high school class in Spain. It includes questions to test understanding of key polynomial concepts like leading coefficient, degree, number of terms, and independent coefficient. Students are asked to reduce and multiply polynomials as well as fill in blanks with terms like highest exponent, term, and trinomial.
Este documento presenta 9 ejercicios de matemáticas relacionados con potencias, raíces, proporcionalidad y porcentajes para estudiantes de 2o de ESO. Los ejercicios incluyen calcular raíces y potencias, determinar el lado de un cuadrado dado su área, calcular la capacidad de un cubo, resolver problemas de proporcionalidad directa e inversa y expresar porcentajes como razones y decimales.
Este documento proporciona instrucciones para completar una actividad de evaluación sobre polinomios. Pide definir términos como el coeficiente de un monomio y el término principal, dar ejemplos de términos semejantes y no semejantes, y realizar sumas y multiplicaciones de monomios y polinomios siguiendo los pasos explicados.
Este documento contiene instrucciones para estudiantes sobre cómo realizar operaciones con números y fracciones. En la primera página se presentan ejercicios de factorización de números y cálculo de expresiones algebraicas. La segunda página ofrece un recordatorio de los pasos para igualar denominadores y realizar operaciones con fracciones, incluyendo dividir el m.c.m. de los denominadores, multiplicar los numeradores y simplificar el resultado si es posible.
Este documento presenta un conjunto de 6 problemas de matemáticas relacionados con la resolución de problemas y la escala. Proporciona instrucciones sobre cómo resolver problemas en 4 pasos y luego enumera 6 problemas específicos relacionados con temas como la proporcionalidad, los beneficios, las distancias reales vs. representadas en un mapa y las escalas de los mapas.
Este documento presenta 9 preguntas de matemáticas sobre potencias, raíces, proporcionalidad y porcentajes para estudiantes de 2o de ESO. Las preguntas incluyen calcular potencias con base primas, simplificar raíces, calcular lados de figuras geométricas dadas sus áreas, aplicar propiedades de raíces, calcular capacidades dadas dimensiones cúbicas, calcular proporciones, porcentajes y escalas en mapas.
Diez encinas producen 17 kg de oxígeno en 1 hora. Para proporcionar el oxígeno necesario a 34 estudiantes durante 1 hora, cada uno de los cuales necesita 0,7 kg, se necesitan 14 encinas.
Este documento presenta una guía sobre cómo resolver diferentes tipos de ecuaciones, incluyendo ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones con fracciones, raíces cuadradas, y ecuaciones exponenciales. Explica métodos como factorización, sacar factores comunes, y resolver problemas. Finaliza con una prueba de ejercicios para practicar los diferentes tipos de ecuaciones cubiertos.
Este documento presenta ejercicios sobre potencias y raíces. Introduce conceptos como la notación científica, expresar números como potencias de 2, 3 o 10, simplificar expresiones con potencias y operar con ellas. Contiene 8 ejercicios de práctica y repaso sobre estas ideas matemáticas fundamentales.
This document discusses powers and roots in mathematics. It defines a power as the product of a number multiplied by itself a certain number of times, called the exponent. It provides examples of expressing powers using words and symbols, such as 32 being "three squared". The document notes that powers have properties and will discuss power with negative exponents and powers of ten. It also lists that it will cover square root and cube root.
Este documento presenta la unidad 4 sobre proporcionalidad para el 2o curso de ESO. Explica los conceptos de razón, proporción y constante de proporcionalidad. Describe cómo encontrar parejas de números proporcionales usando fracciones equivalentes. Además, distingue entre proporcionalidad directa e inversa y muestra cómo resolver problemas usando la regla de tres.
The document discusses proportionality and ratio problems involving sharing amounts, scale drawings, maps and adult to child supervision ratios. It includes questions about determining equivalent and non-equivalent ratios, simplifying ratios, calculating amounts based on given ratios, determining actual lengths from scaled drawings, representing distances on maps and calculating the number of adults needed to supervise a given number of children.
The document discusses proportionality and ratios. It explains that ratios can be written in different ways, such as part-to-part and part-to-whole. Ratios are simplified by dividing both sides by their highest common factor. Proportional shapes have the same relative sizes so their ratios are the same. Percents are also discussed as a concept related to proportionality.
El documento describe los problemas del drenaje urbano actual y propone soluciones alternativas más sostenibles. Actualmente, el sistema de drenaje y tratamiento de aguas no funciona debido a la impermeabilización de suelos, la falta de conocimiento de la red y falta de control. Esto causa inundaciones. La presentación propone soluciones como techos y pavimentos permeables, jardines de lluvia y zanjas de infiltración que pueden almacenar, filtrar e infiltrar el agua de lluvia y reducir la escorrentía
El documento describe varios métodos para la gestión sostenible del agua de lluvia, incluyendo retener el agua en techos verdes, almacenarla y reutilizarla en depósitos, infiltrarla a través de pozos de infiltración y pavimentos permeables, e infiltrarla y captarla en calles y espacios abiertos mediante zanjas y áreas ajardinadas.
La escorrentía es la precipitación que no se infiltra en el suelo donde cae, mientras que la infiltración es la precipitación que sí se infiltra en el suelo donde cae.
El documento compara cómo tres tipos de terrenos (natural, urbano y urbano con SUDS) absorben el agua de lluvia. Un terreno natural absorbe agua gradualmente hasta saturarse, mientras que un terreno urbano no absorbe mucho y genera escorrentía rápidamente. Un terreno urbano con sistemas de drenaje sostenibles (SUDS) absorbe más agua y genera escorrentía más lentamente que un terreno urbano normal debido a mayor vegetación.
El documento trata sobre polinomios y fracciones algebraicas. Explica estos temas matemáticos para estudiantes de 4o curso de la Educación Secundaria Obligatoria y proporciona ejercicios resueltos sobre polinomios y fracciones algebraicas.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
Business Plan -rAIces - Agro Business Techjohnyamg20
Innovación y transparencia se unen en un nuevo modelo de negocio para transformar la economia popular agraria en una agroindustria. Facilitamos el acceso a recursos crediticios, mejoramos la calidad de los productos y cultivamos un futuro agrícola eficiente y sostenible con tecnología inteligente.
Lecciones 10 Esc. Sabática. El espiritismo desenmascarado docx
Ud 3 polinomios
1. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
Página 1
CONTENIDO
EXPRESIÓN ALGEBRÁICA: MONOMIOS Y POLINOMIOS................................................... 2
Operaciones con monomios .................................................................................... 4
POLINOMIOS ............................................................................................................ 5
Operaciones con polinomios .................................................................................... 6
SUMA de polinomios........................................................................................... 6
RESTA de polinomios.......................................................................................... 7
MULTIPLICACIÓN de un número por un polinomio ................................................. 7
MULTIPLICACIÓN de un monomio por un polinomio ............................................... 7
MULTIPLICACIÓN de polinomios .......................................................................... 7
DIVISIÓN de polinomios ..................................................................................... 8
IDENTIDADES NOTABLES ......................................................................................... 11
RAÍCES Y FACTORIZACIÓN ....................................................................................... 12
Regla de RUFFINI ................................................................................................ 12
Teorema del RESTO ............................................................................................. 13
RAIZ de un polinomio........................................................................................... 14
Teorema del FACTOR. DIVISIBILIDAD de polinomios................................................ 14
FACTORIZACIÓN ................................................................................................. 16
FRACCIONES ALGEBRAICAS ..................................................................................... 20
Definición ........................................................................................................... 20
Equivalencia y simplificación ................................................................................. 20
Operaciones........................................................................................................ 21
PROBLEMAS............................................................................................................ 22
2. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
Página 2
EXPRESIÓN ALGEBRÁICA: MONOMIOS Y POLINOMIOS
Una EXPRESIÓN ALGEBRAICA es una combinación de letras y números ligada por los
signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
ELEMENTOS:
El COEFICIENTE es el número que aparece multiplicando a las variables o letras.
La PARTE LITERAL está constituida por las letras y sus exponentes; representan
variables o incógnitas.
El EXPONENTE de la parte literal que define el GRADO
Ejemplos de expresiones algebraicas:
3. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
Página 3
TIPOS:
MONOMIO: expresión algebraica formada por un solo TÉRMINO (letras y números
ligados por la multiplicación, división y potenciación).
POLINOMIO: expresión algebraica formada por más de un término.
Binomio: expresión algebraica formada por dos términos.
Trinomio: expresión algebraica formada por tres términos.
El VALOR NUMÉRICO de una expresión algebraica es el número que se obtiene al
sustituir las letras de la misma por números determinados y efectuar las
operaciones indicadas en la expresión.
El GRADO de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o
variables.
Dos monomios son SEMEJANTES cuando tienen la misma parte literal.
4. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
Página 4
OPERACIONES CON MONOMIOS
Producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo
coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo
coeficiente es la suma de los coeficientes. Sólo podemos sumar monomios
semejantes.
El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto
de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que
tenga la misma base.
El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de
los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la
misma base.
Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al
exponente de la potencia.
ATENCIÓN: REPASEN POTENCIAS pues en las operaciones con polinomios se trata de
multiplicar y dividir potencias con igual base constantemente.
5. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
Página 5
POLINOMIOS
Un POLINOMIO es una SUMA o RESTA de MONOMIOS.
Así, ya sabemos que cada uno de los MONOMIOS que forman un polinomio se llama
TÉRMINO.
El TÉRMINO INDEPENDIENTE es aquel número que no "lleva letra" o el "término de
grado cero".
El GRADO de un polinomio P(x) es el grado mayor de los monomios o términos que lo
componen.
Polinomio COMPLETO es aquel que tiene todos los términos desde el término
independiente hasta el término de mayor grado.
Polinomio ORDENADO es aquel cuyos monomios están escritos de mayor a menor grado.
Es un polinomio completo y ordenado
Dos polinomios son IGUALES si verifican:
Los dos polinomios tienen el mismo grado.
Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
6. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
Página 6
VALOR NUMÉRICO de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable
x por un número cualquiera.
OPERACIONES CON POLINOMIOS
SUMA de polinomios
7. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
Página 7
RESTA de polinomios
MULTIPLICACIÓN de un número por un polinomio
MULTIPLICACIÓN de un monomio por un polinomio
MULTIPLICACIÓN de polinomios
8. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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DIVISIÓN de polinomios
La división de polinomios es similar a la división entera de números naturales. Para dividir
dos polinomios es necesario que el grado del polinomio dividendo sea mayor o igual
que el grado del divisor.
Al dividir un polinomio P(x) entre otro Q(x), obtenemos otros dos polinomios C(x) y R(x)
que cumplen:
P(x) = Q(x)·C(x) + R(x)
grado de R(x) < grado de C (x)
El grado del polinomio cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.
grado de C(x) = grado de P(x) - grado de Q(x)
Ejemplo:
9. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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Ejemplo paso a paso:
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IDENTIDADES NOTABLES
Ejemplos:
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RAÍCES Y FACTORIZACIÓN
Ahora se trata de DIVIDIR los polinomios entre un BINOMIO del tipo x - a
De tal forma que se expresa: P (x) = C (X) (x - a) + R
Para realizar este tipo de divisiones se utiliza la regla de RUFFINI que es más rápida que la
división de polinomios anteriormente vista.
REGLA DE RUFFINI
(x4
− 3x2
+ 2 ) : (x − 3 )
1º. Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con
ceros.
2º. Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3º. Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.
4º. Trazamos una raya y bajamos el
primer coeficiente.
5º. Multiplicamos ese coeficiente por el
divisor y lo colocamos debajo del
siguiente término.
6º. Sumamos los dos coeficientes.
7º. Repetimos los pasos 5 y 6 las veces que fuera necesarias.
8º. El último número obtenido es el resto.
9º. El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos
coeficientes son los que hemos obtenido.
ATENCIÓN
+
=
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TEOREMA DEL RESTO
P (x) = C (X) (x - a) + P (a)
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RAIZ DE UN POLINOMIO
Si el resto es cero, la división es exacta y el valor de a es RAIZ del polinomio
P (a) = 0 y se escribe P (x) = C (X) (x - a)
TEOREMA DEL FACTOR. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS
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FACTORIZACIÓN
PROCESO para EXPRESAR el polinomio como una MULTIPLICACIÓN (de polinomios
de menor grado)
PASO 1º. Extraigo FACTOR COMÚN o aplico INDENTIDADES NOTABLES:
PASO 2º. Busco las RAÍCES del polinomio:
a. Hallo los DIVISORES del TÉRMINO INDEPENDIENTE.
b. Compruebo si estos DIVISORES son RAÍCES del polinomio.
c. Aplico RUFFINI con aquellos valores que sean RAÍCES (a). Divido el polinomio entre el
binomio (x - a).
Obtengo C1 (x) y expreso P (x) = (x - a) C1 (x)
PASO 3º. Continuo factorizando a C1 (x)
Aplico el PASO 2º a C1 (x)
Obtengo C2 (x) y expreso C1 (x) = (x - b) C2 (x)
Luego: P (x) = (x - a) (x - b) C2 (x)
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PASO 1º. Extraigo FACTOR COMÚN o aplico INDENTIDADES NOTABLES:
Ejemplos:
Si no puedo hacer esto más voy al siguiente paso.
PASO 2º. Busco las RAÍCES del polinomio:
a. Hallo los DIVISORES del TÉRMINO INDEPENDIENTE
b. Compruebo si estos DIVISORES son RAÍCES del polinomio (si sustituyendo x por el
divisor da cero -Teorema del Factor-). Comienzo con los valores más bajos, que serán
siempre +1
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c. Aplico RUFFINI: Con aquellos valores que sean RAÍCES (a) divido el polinomio entre
(x - a).
ATENCIÓN: si aquí el resto no sale cero es que HALGO SE HA HECHO MAL, porque al ser
una raíz del polinomio el resto es cero
Se obtienen los coeficientes del polinomio cociente:
El resultado es P (x) = (x - a) C1 (x)
PASO 3º. Continuo factorizando a C1 (x)
Y expreso C1 (x) = (x - b) C2 (x)
Luego: P (x) = (x - a) (x - b) C2 (x)
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20. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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FRACCIONES ALGEBRAICAS
DEFINICIÓN
EQUIVALENCIA Y SIMPLIFICACIÓN
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OPERACIONES
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PROBLEMAS