Este documento presenta conceptos básicos sobre potencias y operaciones con ellas. Define potencias de números reales como an, donde a es la base y n el exponente. Explica que 0n = 0 si n > 0, 1n = 1 y 00 no está definido. Además, indica que el signo de an depende de los signos de a y n.

1. NÚMEROS REALES
POTENCIAS EN »
»
»
»
DEFINICIONES
OBSERVACIONES
0n
= 0, si n 0
1n
= 1
00
no está definido.
Positivo, si a ≠ 0 y n es par.
SIGNOS DE UNA POTENCIA: an
=
Negativo, si a 0 y n es impar.
EJEMPLOS
1. -22
– 50
=
A) 10
B) 5
C) 3
D) -3
E) -5
2. (-1)(-3)2
– (-2)3
: 8 =
A) -10
B) -8
C) 8
D) 1
E) 10
3. -5-2
=
A)
2
1
5
B) 10
C) 5
2
D) -2
5
E) -
2
1
5
a0
= 1 , a ≠
≠
≠
≠ 0
a-n
=
n
1
a
, a ∈
∈
∈
∈ »
»
»
» – {0} y n ∈
∈
∈
∈ »
»
»
»+
a · a · a · a · a · a · a … · a = an
, con a ∈
∈
∈
∈ »
»
»
» – {0} y n ∈
∈
∈
∈ »
»
»
»
n factores
UNIDAD Nº 4

2. 2
4.
-3
2
3
 
 
 
=
A) -
8
3
B) -
8
27
C)
27
2
D)
27
8
E)
8
27
5.
0
-2 2
3 4 5
+ 3
4 3 9
 
   
 
−
   
 
   
 
=
A) 0
B)
32
9
C)
9
32
D) 1
E) no está definido.
6. (23
)2
: 24
– (22
– 1)0
=
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 9
7. Si n ∈ », entonces el valor de la expresión (-1)2n
+ (-1)2n + 1
es igual a
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2

3. 3
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS
Sean a y b ∈
∈
∈
∈ »
»
»
» – {0}, m y n ∈
∈
∈
∈ »
»
»
»
Multiplicación de potencias de igual base
División de potencias de igual base
Multiplicación de potencias de distinta
base e igual exponente
División de potencias de distinta base e
igual exponente
Potencia de una potencia
EJEMPLOS
1. 43
· 4 =
A) 42
B) 43
C) 44
D) 45
E) 46
2. -56
· 53
=
A) -518
B) -59
C) 59
D) 518
E) (-25)4
3. 76
: (-7)2
=
A) -712
B) -78
C) -74
D) 74
E) 78
an
· am
= an + m
an
: am
= an - m
an
· bn
= (ab)n
an
: bn
= (a : b)n
(an
)m
= an · m

4. 4
4.
2 2
3 1
:
2 2
   
   
   
=
A) 81
B) 9
C)
9
16
D)
16
9
E) -9
5. (53
· 63
)2
=
A) 306
B) 3012
C) 3018
D) 3036
E) 3081
6. (0,9)7
: (0,3)7
=
A) (0,03)7
B) (0,3)7
C) 30
D) 37
E) 314
7. [(0,4)5
: (0,4)2
]2
=
A) (0,4)20
B) (0,4)9
C) (0,4)6
D) (0,2)8
E) (0,2)12

5. 5
NOTACIÓN CIENTÍFICA Y ABREVIADA
Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k ⋅
⋅
⋅
⋅ 10n
,
en que 1 ≤
≤
≤
≤ k
10 y n ∈ ».
Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p ⋅
⋅
⋅
⋅ 10n
, en que
p es el menor entero y n ∈ ».
EJEMPLOS
1. 250.000.000 expresado en notación científica es
A) 2,5 · 10-8
B) 25 · 107
C) 2,5 · 107
D) 0,25 · 109
E) 2,5 · 108
2. La notación científica de 0,000347 es equivalente a
A) 347 · 10-6
B) 34,7 · 10-5
C) 3,47 · 10-4
D) 0,347 · 10-2
E) 3,47 · 104
3. El número 0,000580 escrito en forma abreviada es
A) 580 · 10-6
B) 58 · 10-5
C) 5,8 · 10-4
D) 0,58 · 10-3
E) 58 · 105

6. 6
4. El número 1.500 escrito en forma abreviada es
A) 15 · 103
B) 15 · 102
C) 1,5 · 10-4
D) 0,15 · 10-3
E) 12 · 10
5. Si 0,00000046 = 4,6 · 10p
, entonces p2
=
A) -49
B) -36
C) -6
D) 36
E) 49
6.
-3
0,00025
0,0005
 
 
 
=
A) 8 · 100
B) 5 · 102
C) 5 · 103
D) 2 · 10-3
E) 8 · 10-3
7. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) a 820.000?
I) 82 · 105
II) 0,82 · 106
III) 8,2 · 105
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

7. 7
NÚMEROS IRRACIONALES (I, »
»
»
»')
Son aquellos números decimales infinitos no periódicos.
Los números π = 3,141592 …, 2 = 1,414213 … son ejemplos de números irracionales.
OBSERVACIÓN: La definición y algunas propiedades de las raíces cuadradas, para a y b
números racionales no negativos, son:
DEFINICIÓN:
PROPIEDADES
a · b = ab
a
b
=
a
b
a b = 2
a b
a a b
=
b b
NÚMEROS REALES (lR)
La unión del conjunto de los racionales (»
»
»
») y los irracionales (»
»
»
»’) genera el conjunto de los
números reales el cual se expresa como lR
Es decir:
OPERATORIA EN lR
El resultado de una operación entre racionales es SIEMPRE otro número racional
(excluyendo la división por cero).
La operación entre números irracionales NO SIEMPRE es un número irracional.
Por otra parte, la operación entre un número racional (»
»
»
») y un irracional (»
»
»
»’) da como
resultado un irracional, EXCEPTUÁNDOSE la multiplicación y la división por cero.
OBSERVACIÓN
No son números reales las expresiones de la forma n a , con a 0 y n par.
EJEMPLOS
1. ¿Cuál de los siguientes números no es irracional?
A) 8
,
1
B) 3
C) 14
,
0
D) 2
E) 0,25
a = b ⇔
⇔
⇔
⇔ b2
= a
lR = »
»
»
» ∪
∪
∪
∪ »
»
»
»’

8. 8
2. Si a = 4 y b = 32, entonces ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son)
número(s) irracional(es)?
I) a + b
II) a · b
III)
b
a
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
3. El orden de los números a = 2 6 , b = 3 3 y c = 4 2 , está dado en la opción
A) a c b
B) a b c
C) a b c
D) b a c
E) c a b
4. La expresión
x
x
1 −
no corresponde a un número real si:
I) x 1
II) x = 0
III) x 0
Es (son) verdadera(s)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
5. Si a = 5 y b =
1
a
, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) número(s)
irracional(es)?
I) ab
II) (a + b)2
III)
a
b
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.

9. 9
EJERCICIOS
1. (-2)1
– 22
– (-2)3
– 24
=
A) -18
B) -16
C) -14
D) 16
E) 16
2. 30
– {-12
– [20 : (22
– 32
)]} =
A) -12
B) -8
C) -2
D) 8
E) 12
3.
-3 -2 -1
-4 -3 -3
10 · 6 · 8
10 · 6 · 8
=
A) 68
B) 15 · 26
C) 64
D) 60 · 8
E) 15 · 28
4. =
⋅
⋅
⋅ 4
3
4
3
6
5
4
3
A) 127
· 307
B) 427
C) 153
· 244
D) (3 · 4 · 5 · 6)3 + 4 + 3 + 4
E) 207
· 187
5. 23
· 45
· 84
=
A) 6412
B) 225
C) 1412
D) (25
)12
E) 860

10. 10
6. La cuarta parte de la octava parte del cuadrado de 26
es igual a
A) 212
B) 210
C) 28
D) 27
E) 26
7. 54
+ 252
+ 625 + 54
+ 54
corresponde a
A) 55
B) 253
C) 254
D) 1253
E) 255
8. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) falsa(s)
I) -72
· 73
= 75
II) 66
+ 66
= 612
III) 52
· 32
· 22
= 302
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
9.
8 6
6
4 4
4
−
=
A) 15
B) 4-4
C) 13
D) 48
E) 44
10. (1 + 2)0
– (2 – 3)1
+ (3 – 4)2
– (4 – 5)3
=
A) 0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6

11. 11
11. Una molécula de hidrógeno tiene una masa de 0,000…3 kilogramos (el 3 ocupa el lugar
27 después de la coma). Esta cantidad se expresa en notación científica como
A) 3 · 10-26
B) 0,3 · 10-28
C) 3 · 10-27
D) 30 · 10-25
E) 3 · 10-29
12. 4-2
– 2-3
+ 8-1
=
A) -
1
8
B) -
1
16
C)
1
16
D)
1
8
E)
1
4
13.
-3
-3
(0,6)
(0,4)
=
A)
4
25
B)
8
27
C)
4
9
D)
9
16
E)
16
25
14.
-2 -3 -4
-1
2 + 2 + 2
2
=
A) 0,875
B) 0,5
C) 0,25
D) 0,2
E) 0,1

12. 12
15. (0,1-1
– 0,2-1
– 0,3-1
)-1
=
A) -
5
3
B) -
3
5
C)
5
3
D)
3
5
E)
1
6
16.
-2
-1
-2
2
2 2
 
 
 
−
 
=
A)
2
7
B)
7
2
C)
4
49
D)
49
4
E)
2
9
17. El diámetro de un átomo de hidrógeno mide 0,0000000106 cm, el cual expresado en
notación científica corresponde a
A) 1,06 · 108
cm
B) 1,06 · 10-8
cm
C) 1,06 · 10-7
cm
D) 10,6 · 10-9
cm
E) 106 · 10-11
cm
18. 7 · 10-5
– 3 · 10-6
=
A) 4 · 10-11
B) 4 · 10-1
C) 0,67 · 10-5
D) 6,7 · 10-6
E) 6,7 · 10-5

13. 13
19. (104
)-4
· (10-4
· 0,2)-1
=
A) 5 · 10-12
B) 5 · 1012
C) 5 · 10-4
D) 5-1
· 10-12
E) 5 · 10-20
20.
4 7
3 3
(1000) · (0,01)
(0,0001) · (100)
=
A) 10-8
B) 104
C) 10-4
D) 108
E) 10-12
21. La expresión
0,0006 · 0,081
0,03 · 27000000
escrita en notación científica es
A) 6 · 1011
B) 0,6 · 10-11
C) 6 · 103
D) 6 · 10-11
E) 6 · 10-3
22. ¿Cuál de los siguientes números es racional?
A) 3
B) 3 3
C) 9 3
D)
3
9
E) 2 3 · 3

14. 14
23. ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) irracional(es)?
I) 5 5 – 5
II) 2 · 8
III)
7
28
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
24. Al ordenar en forma creciente los números p = 3 7 , q = 5 2 y r = 4 3 , se obtiene
A) p, q , r
B) r, q , p
C) r , p , q
D) q , p , r
E) p , r , q
25. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) falsa(s)?
I) Al multiplicar dos números irracionales el producto es siempre un número
irracional.
II) Al multiplicar un número irracional con un número racional, el producto es
siempre un número racional.
III) Al dividir un número racional con un número irracional, el cuociente es
siempre un número irracional.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
26. n
(-1) = -1 si :
(1) n es impar.
(2) n + 1 es par.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional

15. 27.
4 0
1 1
=
a 4a
   
   
   
, con a ≠ 0, si :
(1) a = 1
(2) a – 1 = 0
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
28. Se puede afirmar que 2,23 P 3,6 si :
(1) P 23 · 10-1
(2) P 3,4
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
29. Se puede determinar que a a es irracional si :
(1) a es primo.
(2) a es múltiplo de 5.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
30. Se puede determinar que p 3 es un número racional si :
(1) p es un número irracional.
(2) p es el inverso multiplicativo de 3 .
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional