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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 35 
UNIDAD: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES 
COMBINATORIA 
C u r s o : Matemática 
Material Nº 35 
TÉCNICAS DE CONTEO 
Principio Multiplicativo: Si un determinado suceso ocurre en k etapas distintas, en donde la 
primera etapa puede ocurrir de n1 maneras diferentes, la segunda de n2 maneras diferentes y así 
sucesivamente, entonces el número total de maneras en que ocurre el suceso está dado por n1 
. 
n2 
. n3 
. … . nk 
Principio Aditivo: Si dado un determinado suceso que tiene formas alternativas de llevarse a 
cabo, donde la primera de esas alternativas puede realizarse de n1 maneras, la segunda 
alternativa puede realizarse de n2 maneras, y así sucesivamente, hasta la última alternativa que 
puede realizarse de nk maneras, entonces el número total de maneras en que ocurre este suceso 
es n1 + n2 + n3 +… + nk 
EJEMPLOS 
1. Si Don Tulio dispone de 5 autos y 3 camionetas, entonces ¿de cuántas maneras 
diferentes puede movilizarse un día cualquiera? 
A) 25 
B) 20 
C) 15 
D) 9 
E) 8 
2. En un concurso de televisión, participan cuatro competidores en la etapa final. Si los 
premios son sólo para el primer y segundo lugar, ¿de cuántas maneras distintas pueden ser 
repartidos los premios? 
A) 2 
B) 4 
C) 7 
D) 12 
E) 24 
3. En un centro comercial todos los LCD están con descuento. Aprovechando esta oferta, 
Patricio decide comprar uno, pero debe elegir entre las siguientes marcas: Sony, Samsung, 
LG y Panasonic. El LCD Sony se encuentra en 4 tamaños y 2 colores, el Samsung está en 5 
tamaños y 3 colores, el LG está en 2 tamaños y 3 colores y el LCD, Panasonic está en 7 
tamaños y un solo color. ¿De cuantas maneras puede comprar su LCD Patricio? 
A) 4 
B) 9 
C) 24 
D) 36 
E) 162
2 
FACTORIALES 
La expresión n! se lee, factorial de n o n factorial. 
Definición: Sea n un número natural. Se llama factorial de n al producto de los n primeros 
números naturales. Es así que: 
n! = n · (n – 1) · (n – 2) · ........... · 3 · 2 · 1 o bien 
n! = 1 · 2 · 3 · .............. · (n – 2) · (n – 1) · n 
Se define 0! = 1 
Las siguientes identidades expresan el significado de factorial n: 
1! = 1, 2! = 1 · 2 = 2, 3! = 1 · 2 · 3 = 6, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 
PROPIEDADES 
1) n! = n(n – 1)! 3) n! 
n 
= (n – 1)! 
2) x! = n!  x = n 4) n! 
(n  1)! 
= n 
EJEMPLOS 
1. ¿Cuál es el valor de 15 ! 
13 ! · 2 ! 
? 
A) 2.730 
B) 1.365 
C) 210 
D) 105 
E) 52,5 
2. El valor de 10 ! + 9 ! 
10 !  9 ! 
es 
A) 11 
B) 9 
C) 2 
D) 11 
10 
E) 11 
9
Variaciones o arreglos simples: Son los diferentes grupos o conjuntos que se pueden 
formar con n elementos de modo que cada grupo tenga r elementos. 
La variación de n elementos tomados de r en r está dado por: 
nr 
n! 
V = 
(n  r)! 
Permutaciones simples: Son los grupos o conjuntos que se pueden formar con n 
elementos, de modo que cada uno tenga n elementos. 
El número de permutaciones de n elementos está dado por 
Permutaciones circulares: El número de maneras en que se pueden colocar n elementos 
diferentes a lo largo de una circunferencia está dado por: 
OBSERVACIÓN: Tanto en permutaciones como en variaciones interesa el orden de los 
elementos. 
3 
EJEMPLOS 
1. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 4 personas en una fila? 
A) 4 
B) 16 
C) 24 
D) 64 
E) 216 
2. Un grupo de 5 amigos, suben a un automóvil, si sólo uno de ellos sabe conducir. ¿De 
cuántas formas distintas se pueden distribuir en el interior del automóvil? 
A) 5 
B) 10 
C) 24 
D) 120 
E) 625 
P(n) = n! 
Pcircul = (n – 1)!
4 
3. ¿Cuál es el valor de 
7 
V ? 
5 
A) 5.040 
B) 2.520 
C) 1.760 
D) 35 
E) Ninguna de las anteriores 
4. ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8, 9? 
A) 9 
B) 9! 
C) 504 
D) 3024 
E) 99 
5. ¿Cuántas palabras con sentido o sin él, se pueden formar con todas las letras de la 
palabra CAMPEON? 
A) 7 
B) 840 
C) 2.520 
D) 5.040 
E) 40.320 
6. Una comisión de 16 delegados de la sociedad Negro y Negro debe escoger su directiva, 
conformada por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un vocero. Si el 
cargo de presidente es para el socio con mayor cantidad de acciones, ¿de cuantas 
maneras se puede conformar tal directiva? 
A) 16 
4 V 
B) V 
16 
3 
C) 15 
4 V 
D) V 
15 
3 
E) V 
16 
5
Combinaciones: Son los diferentes grupos que se pueden formar con n elementos de 
modo que cada grupo tenga r elementos, no interesando el orden de 
estos. 
El número de combinaciones de n elementos tomados de r en r está 
dado por la fórmula 
5 
Cuadro resumen 
EJEMPLOS 
1. ¿Cuál es el valor de 9 
7 C ? 
A) 16 
B) 36 
C) 63 
D) 72 
E) Ninguna de las anteriores 
 
nr 
n! 
C = 
(n  r)! r! 
¿Interesa el orden de los 
elementos? 
¿Tomo todos los elementos? Combinatoria 
Permutación Variación o Arreglo 
no 
si no 
si
2. Cuatro amigos deciden organizar un campeonato de tenis. En la primera fase se han de 
enfrentar todos entre sí. ¿Cuántos partidos se deben realizar? 
6 
A) 4 
B) 6 
C) 8 
D) 12 
E) 24 
3. ¿Cuántos saludos se pueden intercambiar entre sí 12 personas, si cada una sólo saluda 
una vez a cada una de las otras? 
A) 11 
B) 12 
C) 24 
D) 66 
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4. Si en una caja hay 8 corbatas, ¿de cuántas formas se pueden escoger 5 corbatas? 
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B) 40 
C) 56 
D) 168 
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5. Al unir cinco vértices de un heptágono, ¿cuántos pentágonos se pueden obtener? 
A) 5 
B) 21 
C) 35 
D) 42 
E) 105
RESPUESTAS 
7 
DMTRMA35 
Ejemplo 
Pág. 1 2 3 4 5 6 
1 E D D 
2 D E 
3 y 4 C C B C D D 
5 y 6 B B D C B 
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66 combinatoria

  • 1. 1 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 35 UNIDAD: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES COMBINATORIA C u r s o : Matemática Material Nº 35 TÉCNICAS DE CONTEO Principio Multiplicativo: Si un determinado suceso ocurre en k etapas distintas, en donde la primera etapa puede ocurrir de n1 maneras diferentes, la segunda de n2 maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número total de maneras en que ocurre el suceso está dado por n1 . n2 . n3 . … . nk Principio Aditivo: Si dado un determinado suceso que tiene formas alternativas de llevarse a cabo, donde la primera de esas alternativas puede realizarse de n1 maneras, la segunda alternativa puede realizarse de n2 maneras, y así sucesivamente, hasta la última alternativa que puede realizarse de nk maneras, entonces el número total de maneras en que ocurre este suceso es n1 + n2 + n3 +… + nk EJEMPLOS 1. Si Don Tulio dispone de 5 autos y 3 camionetas, entonces ¿de cuántas maneras diferentes puede movilizarse un día cualquiera? A) 25 B) 20 C) 15 D) 9 E) 8 2. En un concurso de televisión, participan cuatro competidores en la etapa final. Si los premios son sólo para el primer y segundo lugar, ¿de cuántas maneras distintas pueden ser repartidos los premios? A) 2 B) 4 C) 7 D) 12 E) 24 3. En un centro comercial todos los LCD están con descuento. Aprovechando esta oferta, Patricio decide comprar uno, pero debe elegir entre las siguientes marcas: Sony, Samsung, LG y Panasonic. El LCD Sony se encuentra en 4 tamaños y 2 colores, el Samsung está en 5 tamaños y 3 colores, el LG está en 2 tamaños y 3 colores y el LCD, Panasonic está en 7 tamaños y un solo color. ¿De cuantas maneras puede comprar su LCD Patricio? A) 4 B) 9 C) 24 D) 36 E) 162
  • 2. 2 FACTORIALES La expresión n! se lee, factorial de n o n factorial. Definición: Sea n un número natural. Se llama factorial de n al producto de los n primeros números naturales. Es así que: n! = n · (n – 1) · (n – 2) · ........... · 3 · 2 · 1 o bien n! = 1 · 2 · 3 · .............. · (n – 2) · (n – 1) · n Se define 0! = 1 Las siguientes identidades expresan el significado de factorial n: 1! = 1, 2! = 1 · 2 = 2, 3! = 1 · 2 · 3 = 6, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 PROPIEDADES 1) n! = n(n – 1)! 3) n! n = (n – 1)! 2) x! = n!  x = n 4) n! (n  1)! = n EJEMPLOS 1. ¿Cuál es el valor de 15 ! 13 ! · 2 ! ? A) 2.730 B) 1.365 C) 210 D) 105 E) 52,5 2. El valor de 10 ! + 9 ! 10 !  9 ! es A) 11 B) 9 C) 2 D) 11 10 E) 11 9
  • 3. Variaciones o arreglos simples: Son los diferentes grupos o conjuntos que se pueden formar con n elementos de modo que cada grupo tenga r elementos. La variación de n elementos tomados de r en r está dado por: nr n! V = (n  r)! Permutaciones simples: Son los grupos o conjuntos que se pueden formar con n elementos, de modo que cada uno tenga n elementos. El número de permutaciones de n elementos está dado por Permutaciones circulares: El número de maneras en que se pueden colocar n elementos diferentes a lo largo de una circunferencia está dado por: OBSERVACIÓN: Tanto en permutaciones como en variaciones interesa el orden de los elementos. 3 EJEMPLOS 1. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 4 personas en una fila? A) 4 B) 16 C) 24 D) 64 E) 216 2. Un grupo de 5 amigos, suben a un automóvil, si sólo uno de ellos sabe conducir. ¿De cuántas formas distintas se pueden distribuir en el interior del automóvil? A) 5 B) 10 C) 24 D) 120 E) 625 P(n) = n! Pcircul = (n – 1)!
  • 4. 4 3. ¿Cuál es el valor de 7 V ? 5 A) 5.040 B) 2.520 C) 1.760 D) 35 E) Ninguna de las anteriores 4. ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? A) 9 B) 9! C) 504 D) 3024 E) 99 5. ¿Cuántas palabras con sentido o sin él, se pueden formar con todas las letras de la palabra CAMPEON? A) 7 B) 840 C) 2.520 D) 5.040 E) 40.320 6. Una comisión de 16 delegados de la sociedad Negro y Negro debe escoger su directiva, conformada por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un vocero. Si el cargo de presidente es para el socio con mayor cantidad de acciones, ¿de cuantas maneras se puede conformar tal directiva? A) 16 4 V B) V 16 3 C) 15 4 V D) V 15 3 E) V 16 5
  • 5. Combinaciones: Son los diferentes grupos que se pueden formar con n elementos de modo que cada grupo tenga r elementos, no interesando el orden de estos. El número de combinaciones de n elementos tomados de r en r está dado por la fórmula 5 Cuadro resumen EJEMPLOS 1. ¿Cuál es el valor de 9 7 C ? A) 16 B) 36 C) 63 D) 72 E) Ninguna de las anteriores  nr n! C = (n  r)! r! ¿Interesa el orden de los elementos? ¿Tomo todos los elementos? Combinatoria Permutación Variación o Arreglo no si no si
  • 6. 2. Cuatro amigos deciden organizar un campeonato de tenis. En la primera fase se han de enfrentar todos entre sí. ¿Cuántos partidos se deben realizar? 6 A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 24 3. ¿Cuántos saludos se pueden intercambiar entre sí 12 personas, si cada una sólo saluda una vez a cada una de las otras? A) 11 B) 12 C) 24 D) 66 E) 144 4. Si en una caja hay 8 corbatas, ¿de cuántas formas se pueden escoger 5 corbatas? A) 13 B) 40 C) 56 D) 168 E) 336 5. Al unir cinco vértices de un heptágono, ¿cuántos pentágonos se pueden obtener? A) 5 B) 21 C) 35 D) 42 E) 105
  • 7. RESPUESTAS 7 DMTRMA35 Ejemplo Pág. 1 2 3 4 5 6 1 E D D 2 D E 3 y 4 C C B C D D 5 y 6 B B D C B Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/