integrales

1. IES “Estanislao Maldones”
Profesorado en Matemática
Análisis Matemático Multivariado
Profesor: Dr. Hernán Ahumada
UNIDAD 1: CÁLCULO INTEGRAL

2. Contenidos
UNIDAD 1: CÁLCULO INTEGRAL
• Relación Derivada - Antiderivada. Primitiva de una función. Integral
indefinida. Teoremas de integrales indefinidas. Métodos de integración.
• Área bajo la curva. Suma de Riemann. Integral definida: fórmula de
evaluación (regla de Barrow). Propiedades de la Integral definida.
Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.
• Volumen de un sólido: suma doble de Riemann. Integrantes dobles.
Cálculo de la integral doble. Integral doble definida. Cálculo de áreas y
volúmenes por integrales dobles. Metodología de cálculo. Orden y
límites de integración.

3. Derivadas e Integrales
Cálculo Diferencial Cálculo Integral
Dada una función , encontrar su
derivada .
Dada una función , encontrar una
función F cuya derivada sea igual a
Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥2
Entonces
𝑓′(𝑥) = 2𝑥
Dada 𝑓(𝑥) = 2𝑥
Entonces
𝐹 𝑥 = 𝑥2 puesto que 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥)
𝑓
𝑓′
𝑓
𝑓
x2 Derivación 2x 2x Antiderivación x2

4. Antiderivadas

5. Antiderivadas o Primitivas
La función sen x es una primitiva de cos x puesto que (sen x)' = cos x.
x2 Antiderivación x3 /3 + C
Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.
Las primitivas se diferencian en el valor de la constante C.

6. Integral Indefinida
cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 ′ = cos 𝑥
Si se verifica que:
El proceso de calcular la antiderivada se
denomina “integrar” la función y al
resultado se le llama “Integral Indefinida”

7. Integral indefinida
Aplicación de las propiedades de la integración.

8. Métodos de integración
1.Inmediata
2. Descomposición
3. Sustitución
4. Por partes

9. Técnicas de Integración
Integración Inmediata

10. Derivadas e Integrales

11. Integral Indefinida

12. Integración por Descomposición
• Se basa en la aplicación de 2 propiedades de las integrales:
i) La integral de una constante por una función, es igual al
producto de la constante por la integral de la función.
ii) La integral de una suma o resta de funciones, es igual a
la suma o resta de las integrales de las funciones.

13. Integración por Descomposición
• Ejemplo:

14. Integración por Descomposición
• Ejemplo:

15. Integración por sustitución
Consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla.
Mediante un cambio de la variable independiente.
• Ver libro Purcell pág. 201.

16. Integración por sustitución
• Ejemplo 1:

17. Integración por sustitución
• Ejemplo 2:

18. Integración por sustitución

19. Integración por sustitución

20. Integración por sustitución

21. Integración por partes
• Permite resolver integrales de la forma: 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
• Sea: 𝑢 = 𝑓 𝑥 ; 𝑣 = 𝑔 𝑥
• Entonces: 𝑑𝑢 = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑑𝑣 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥

22. Integración por partes
• Ejemplo: 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥
El objetivo es pasar de una integral 𝑢 𝑑𝑣 que no podemos
resolver, a una integral 𝑣 𝑑𝑢 que se pueda resolver.

23. Integración por partes
• Ejemplo: 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥

24. Integración por partes
• Ejemplo: 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥

25. Integración por partes
• Ejemplo: 𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥

26. Integración repetida por partes
Algunas veces es necesario aplicar la integración por
partes varias veces. Ejemplo: 𝑥2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
El exponente en x ha bajado de 2 a 1, lo cual sugiere volver a aplicar la
integración por partes a la integral de la derecha.

27. Integración repetida por partes
• Hay que integrar por partes la integral del 2do. miembro.
• Continúa en la siguiente diapositiva…

28. Integración repetida por partes
• Hay que integrar por partes la integral del 2do. miembro.
• Haciendo:

29. Integración repetida por partes
• Integrales de la forma:
• donde p(x) es un polinomio de grado n ≥ 1 y k es una
constante, requieren integración por partes n veces.
• Ejemplos: 𝑥2
cos 𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑥3
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑥2
𝑒𝑥
𝑑𝑥
• Un integral de la forma:
• donde n es un entero positivo, también requiere integrar
por partes n veces
Ejemplos: 𝑥3
𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑥 𝐿𝑛 𝑥 2
𝑑𝑥

30. Integración tabular
• Técnica de integración sucesiva por partes
• Ejemplo: 𝑥2 cos 𝑥 𝑑𝑥
Formamos los productos de las funciones unidas por las flechas y
sumamos o restamos un producto según el signo algebraico indicado .