El documento es una guía de ejercicios de matemáticas centrada en métodos de integración, incluyendo la definición de integral indefinida y reglas básicas de integración. Se presentan varios ejercicios y soluciones, así como métodos de integración por sustitución y por partes, con ejemplos ilustrativos. La guía es utilizada en el curso de Matemática II durante el periodo académico I-2020, bajo la instrucción del profesor Antonio Leopardi.

1. Guía de ejercicios: Matemática II, periodo académico I-2020
Profesor Antonio Leopardi
Guía de ejercicios 1.
UNIDAD I. Métodos de integración.
Definición de integral indefinida:
Sean y = F(x); y = f(x) funciones tales que F’(x) = f(x). entonces, la integral
indefinida de f(x) respecto a x es F(x)+c, esto se denota por:
∫ 𝑓(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑐
Observaciones:
 La integral es el proceso inverso a la derivada de funciones.
 Algunos autores utilizan el término antiderivada como sinónimo de
integración, mientras que otros hacen referencia al término de
antiderivada como el resultado de aplicar el proceso de integración.
Reglas básicas de integración:
1. ∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 donde k es una constante
2. ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑 𝑥 + 𝑐
3. ∫ 𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑥 𝑛+1
+ 𝑐 donde 𝑛 ≠ −1
4. ∫ 𝑥−1
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑐
5. ∫ 𝑏 𝑒 𝑎𝑥
𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
𝑒 𝑎𝑥
+ 𝑐
6. ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑 𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑 𝑥
Integral inmediata.
Este método de integración consiste en la aplicación de una o varias de las
reglas básicas de integración, por lo regular son de fácil solución, aunque en
algunos casos es necesario recurrir a operaciones algebraicas básicas para
simplificar las funciones a integrar.

2. Guía de ejercicios: Matemática II, periodo académico I-2020
Profesor Antonio Leopardi
I. Determinar las siguientes integrales utilizando las reglas básicas de
integración.
1. ∫(5𝑥2
+ 3𝑥3)𝑑𝑥
2. ∫ (
2
3
𝑥3
−
1
2
𝑥4
) 𝑑𝑥
3. ∫ (
2
3
𝑥2
−
1
4
𝑥)
2
𝑑𝑥
4. ∫
2𝑥3+3𝑥2
√ 𝑥
𝑑𝑥
5. ∫ (√ 𝑥23
+
𝑥2
√ 𝑥
− 2) 𝑑𝑥
1. Solución:
5
3
𝑥3
+
3
4
𝑥4
+ 𝑐
2. Solución:
1
6
𝑥4
−
1
10
𝑥5
+ 𝑐
3. Solución:
4
45
𝑥5
−
1
12
𝑥4
+
1
48
𝑥3
+ 𝑐
4. Solución:
4
7
√𝑥7 +
6
5
√𝑥5 + 𝑐
5. Solución:
3
5
√𝑥53
+
2
5
√𝑥5 − 2𝑥 + 𝑐
Método de integración por sustitución o cambio de variable.
Este método consiste en realizar un cambio de variable adecuado de manera
que la nueva función a integrar en la nueva variable sea tal que si se pueda
utilizar algunas fórmulas elementales de integración.
II. Determinar las siguientes integrales utilizando el método de integración,
cambio de variable.
1. ∫
𝑥2
(𝑥3+4)5
ⅆ𝑥
2. ∫ 3𝑥2
√𝑥3 + 3 ⅆ𝑥
3. ∫ 𝑒 𝑥
cos(𝑒 𝑥
) ⅆ𝑥
4. ∫ 𝑥 𝑒 𝑥2+5
𝑑𝑥
5. ∫ 𝑥2
√1 + x ⅆ𝑥
1. Solución: −
1
12(𝑥3+4)4 + 𝑐
2. Solución:
2
3
√(𝑥3 + 3)3 + 𝑐
3. Solución: 𝑠𝑒𝑛(𝑒 𝑥
) + 𝑐
4. Solución:
1
2
𝑒 𝑥2+5
+ 𝑐
5. Solución:
2
7
√(1 + 𝑥)7 −
4
5
√(1 + 𝑥)5 +
2
3
√(1 + 𝑥)3 + 𝑐
Método de integración por partes.
Esta representa una de las técnicas de integración utilizada mayormente, se
puede determinar a través de la fórmula:
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

3. Guía de ejercicios: Matemática II, periodo académico I-2020
Profesor Antonio Leopardi
Esta fórmula permite calcular algunas integrales de modo más sencillo cuando
se eligen correctamente las sustituciones de "𝑢" y "𝑑𝑣" y asi poder realizar
los cálculos necesarios para obtener los valores de "𝑑𝑢" y "𝑣" para luego ser
utilizados en la formula antes descrita.
Para elegir apropiadamente los valores de "𝑢" y "𝑑𝑣" se puede utilizar como
referencia el uso de las siguientes siglas ILATE, las cuales se describen a
continuación:
I funciones inversas
L funciones logarítmicas
A funciones algebraicas
T funciones algebraicas
E funciones exponenciales
III. Determinar las siguientes integrales utilizando el método de
integración, por partes.
1. ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥
2. ∫ 𝑥 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
3. ∫ 𝑥2
ln(𝑥)𝑑𝑥
4. ∫ 5𝑥𝑒5𝑥
𝑑𝑥
5. ∫ 𝑥2
𝑒−𝑥
𝑑𝑥
1. Solución: 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥) + 𝑐
2. Solución: 𝑒 𝑥
(𝑥 − 1) + 𝑐
3. Solución:
1
3
𝑥3
ln(𝑥) −
1
9
𝑥3
+ 𝑐
4. Solución: 𝑒5𝑥
(𝑥 −
1
5
) + 𝑐
5. Solución: −𝑒−𝑥(𝑥2
+ 2𝑥 + 2) + 𝑐