UNIDAD I.Estatica Aplicada.ppt

UNIDAD I. ESTATICA APLICADA
OBJETIVO TERMINAL: Al finalizar la
Unidad el estudiante estará en la
capacidad de Analizar la estabilidad y la
determinación estática y cinemática de
una forma resistente plana cualesquiera.

UNIDAD I. ESTATICA APLICADA
I.1. Generalidades.
I.2. Estabilidad.
I.2.3. Determinación e Indeterminación.
I.2.3.1. Estática (Externa, Interna y Total)
I.2.3.2. Cinemática.
I.2.4. Diagramas de Williot

I.1. Generalidades
Estructura : Es una forma resistente conformada
por un elemento o por un conjunto de elementos
relacionados entre sí y dispuestos en una forma
tal que permiten soportar de una manera
adecuada las cargas o solicitaciones a las cuales
se encuentra sometidas sin colapsar.
En la práctica de la Ingeniería Civil podemos
clasificar las estructuras de la siguiente forma:
 Según su geometría.
 Según el tipo de conexiones.
 Según el tipo de Sistema Constructivo.

I.1. Generalidades
Hipotesis Consideradas:
 La Estructura es elástica, por lo tanto cumple
con la Ley de Hooke, ( = E.).
 Se cumple el Principio de Superposición.
 Se conocen las propiedades de los materiales,
para lo cual se consideran isotropicos
homogéneos.
 Se conoce la geometría y el tipo de apoyos y
conexiones.
 Se consideran Estructuras Bidimensionales, es
decir, estructuras planas.

I.1. Generalidades
Modelo Matemático de la Estructura
Estructura Real


N
P1
A
P2
F H
I
G
D
E
B
C
J
K
L
M
Ñ
O
P1
P2
P2
P2 P2
L1 L1 L1 L1 L1 L1
L1 L1
L1 L1
Geometría = Área (A), Inercia (I), Momento Polar de Inercia (J)
Materiales = Modulo de Elasticidad (E), Modulo de Rigidez al Corte (G)

I.2. Generalidades. Estructuras
Modelos de Estructuras empleadas en Obras Civiles
Modelo Pórtico
Estructural

Estructura Real
P2
P
A
B C
D
L1 L1
L2
Parámetros Conocidos:
A, I, J, E, G

Modelo Pórtico
Estructural

Estructura Real

Modelos de Apoyos en Estructuras empleadas en
Obras Civiles
a) Rodillo o Biela b) Apoyo articulado
c) Empotramiento

a) Viga simplemente apoyada
b) Armadura o cercha
c) Pórtico estructural

I.2. Estabilidad. Definición
Una estructura ESTABLE es aquella capaz de
soportar las cargas actuantes de manera
inmediata y en el rango del comportamiento
elástico sin colapsar, en donde sus posibilidades
de movimiento o Grados de Libertad (G.D.L.) como
cuerpo rígido deben estar restringidos.
En este contexto, la estabilidad de una estructura
depende de sus características geométricas y
de la cantidad y disposición de las restricciones
(o vínculos) que posea.

I.2. Estabilidad. Vínculos
Se entiende por vínculo en términos estructurales,
a todo elemento físico que produzca restricción de
uno o más Grados de Libertad como Cuerpo
Rigido (G.D.L.CR) de una estructura. Estos pueden
clasificarse en forma general como vínculos
internos y vínculos externos
Los vínculos internos están representados por las
conexiones entre los elementos que conforman
la estructura y suelen llamarse “nodos o
juntas”, mientras que los vínculos externos
representan la interacción de la estructura con
el suelo y suelen ser llamados “apoyos”

I.2. Estabilidad. Vínculos
bielas
bielas
biela
bielas
bielas
Vínculos típicos empleados en estructuras
Vínculos Externos Vínculos Internos
RODILLO
(vinculo 1ER orden)
BIELA
(vinculo 1ER orden)
RODILLO
(vinculo 1ER orden)
BIELA
(vinculo 1ER orden)
ARTICULACIÓN
(Vinc. 2DO orden)
ARTICULACIÓN FICTICIA
(Vinc. 2DO orden)
ARTICULACIÓN
(Vinc. 2DO orden)
ARTICULACIÓN FICTICIA
(Vinc. 2DO orden)
EMPOTRAMIENTO
(vínculo de 3ER orden)
EMPOTRAMIENTO FICTICIO
EMPOTRAMIENTO
EMPOTRAMIENTO FICTICIO

I.2. Estabilidad. Teoría de Chapas
En la “Teoría de Chapas” se establece que todos
los puntos que conforman una estructura o forma
resistente cualesquiera que presentan los mismos
G.D.L.CR se encuentran contenidos en plano, en el
caso bidimensional, al cual denominaremos
“chapa”, siendo los G.D.L.CR de la Chapa
equivalentes a los del cuerpo rígido.
Luego entenderemos que una chapa contendrá el
o los elementos que están conectados de tal
forma que se comportan como un solo cuerpo
rígido.

Estructuras consideradas como Chapas
a) Viga simplemente apoyada
b) Armadura o cercha
c) Pórtico estructural
CHAPA
CHAPA
CHAPA
d) Marco Estructural
CHAPA
CHAPA

Si consideramos la chapa mas simple que puede
existir en el plano, definida por el triangulo ABC
de la Figura observaremos que presenta los
siguientes G.D.L. como cuerpo rígido
a) Traslación en x
(xA, yA)
(xC, yC)
(xB, yB)(x’A, yA) (x’B, yB)
(x’C, yC)
A
C
B A’ B’
C’
y
x
b) Traslación en y
(xC, yC)
(xA, y’A) (xB, y’B)
(xC, y’C)
(xA, yA) (xB, yB)
A
C
B
A’ B’
C’
y
x
c) Rotación
respecto al punto
A (xA, yA)
(xC, yC)
(xB, yB)
(x’B, y’B)
(x’C, y’C)
A
C
B
B’
C’
y
x
 G.D.L. 1 Chapa = 3

I.2. Estabilidad. Criterios una Chapa
Criterio de Estabilidad Nº 1: La chapa deberá
poseer una combinación de vínculos externos que
genere al menos tres restricciones. (Condición
necesaria pero no suficiente).
Número de Restricciones por Vínculos Externos
Existentes  Nº Rest. VEE
 Nº Rest. VEE ≥ Nº Rest. VEmin = 3
Número de Restricciones por Vínculos Externos
Mínimo  Nº Rest. VEmin
Nº Rest. VEE = 3 x Nº Emp. + 2 x Nº Art. + Nº Rod.

Caso de Estudio
 Nº Rest. VEE = 3 ≥ Nº Rest. VEmin = 3 (Cumple)
Aplicando Teoría de Chapas
Nº Rest. VEE = 3 x Nº Emp. + 2 x Nº Art. + Nº Rod.
A B
CHAPA
A B
Nº Rest. VEE = 3 x 0 + 2 x 1 + 1 = 3
 Estructura Presumiblemente Estable

Criterio de Estabilidad Nº 2: La chapa deberá
poseer un mínimo de tres CIR (No alineados ni
concurrentes) lo que equivale a decir que la chapa
posea un mínimo de tres direcciones de CIR no
concurrentes ni paralelos entre si.
Ubicación del CIR por los vectores de corrimiento
i
j
CHAPA
CIR
DIR CIR (vi)
DIR CIR (vj)
i
v
j
v
DIR CIR 1
DIR CIR 2
DIR CIR 3
CIR O1
CIR O2
CIR O3
CHAPA

 Cumple el Criterio Nº 2  La Estructura es Estable
DIR CIR 1 DIR CIR 3
DIR CIR 2
CHAPA
CIR O1 CIR O2
CIR   O3
A B
1
B
v
3
B
v
Caso de Estudio
A B
Análisis del
Problema

I.2. Estabilidad. Criterios varias Chapas
Criterio de Estabilidad Nº 1: La estructura deberá
poseer una combinación de vínculos externos que
genere al menos un número de restricciones igual
al Nº de Rest. VEmin. (Condición necesaria pero
no suficiente).
 Nº Rest. VEE ≥ Nº Rest. VEmin
N = Número de Chapas que conforman la estructura
Nº Rest. VEE + Nº Rest. VIE ≥ G.D.L  (3 x N)
Nº Rest. VEmin = 3 x N - Nº Rest. VIE
CHAPA 1
CHAPA 2 CHAPA 3 CHAPA 4
CHAPA 5

I.2. Estabilidad. Criterios varias Chapas
n = Número de Chapas que se unen en el nodo
N° de Rest. VEmin = 3 x 5 – 2 x (2 – 1) x 3 – 1 = 8
Nº Rest. VI = [2 x (n – 1)] x c/Art. + [1] x c/Rod.
CHAPA 1
CHAPA 5
CHAPA 1
CHAPA 5
N° de Rest. VEE = 3 x 2 + 2 x 1 + 0 = 8 ≥ Nº Rest. VEmin
Solución
Propuesta

 Estructura Presumiblemente Estable

Criterio de Estabilidad Nº 2: Cada una de las
chapas que conforman la estructura deberá
poseer un mínimo de tres CIR (No alineados ni
concurrentes) lo que equivale a decir que cada
chapa posea un mínimo de tres direcciones de
CIR no concurrentes ni paralelos entre si.
 DIR O1
O3
O1’ = O2
v4
v3
DIR O2 = DIR O3
O4 = O5’
CHAPA 1
CHAPA 2
CHAPA 3
CHAPA 4
CHAPA 5
 DIR O5
O’3 = O4’
Estable
Estable
Estable
Estable
Estable

biela
Determinar si la estructura de la Figura es estable. Explique y
Justifique su respuesta.
I.2. Estabilidad. Ejercicios Resueltos

Identificación de las chapas que conforman la estructura.
biela
1
2
3
4
5

Verificar el Criterio de Estabilidad Nº 1 para la
estructura.
Nº de Rest. VEE = 3 x Nº Emp. + 2 x Nº Art. + 1 x Nº Rod.
Nº de Rest. VEE = (3 x 1) + (2 x 0) + (1 x 5) = 8
N° de Rest. VEmin = 3 x 5 – 2 x (2 – 1) x 3 – 1 = 8
Nº de Rest. VEE = 8 ≥ N° de Rest. VEmin = 8 (Cumple)
 La Estructura es presumiblemente ESTABLE

Verificar el Criterio de Estabilidad Nº 2 para todas las
chapas que conforman la estructura.
biela
1
2
3
4
5
 DIR CIR O1
DIR CIR O’2
O’1=O’’2
DIR CIR O’5
DIR CIR O’’5
O5
DIR CIR O’4
DIR CIR O’’4
DIR CIR O'2 = DIR CIR O3
O’’’5=O4
O’’4=O3
O4
v4
v5

biela
biela
biela
biela

Identificación de las chapas que conforman la estructura
1
2
3
biela
biela
biela
biela

estructura.
Nº de Rest. VEE = (3 x 0) + (2 x 2) + (1 x 3) = 7
N° de Rest. VEmin = 3 x 3 – 2 x (2 – 1) – 1 = 6

O3
O’3
biela
biela
biela
biela
1
2
3
DIR CIR O’2
DIR CIR O’1
DIR CIR O’’1
O1 = O'2
DIR CIR O’’2 = DIR CIR O3
O2
 No Cumple el Criterio Nº 2  La Estructura es
Inestable

biela
biela

Identificación de las chapas que conforman la estructura.
2 4
biela
biela
1
3 5
6

estructura.
Nº de Rest. VEE = (3 x 0) + (2 x 4) + (1 x 3) = 11
N° de Rest. VEmin = 3 x 6 – 2 x (2 – 1) x 3 – 2 x (3 – 1) = 8

biela
biela
1
3
5
DIR CIR O’1
DIR CIR O1
O’1
O5
O6
O'6
4
6
2
O’5=O’’6=O4
O3
O’3=O’2
O1=O’’2
DIR CIR O4
O2= O’’4
v3
v2

I.2. Estabilidad. Ejercicio Propuesto
biela
biela
biela
biela
biela

I.3. Determinación e Indeterminación
Un sistema será DETERMINADO cuando el
número de incógnitas existentes, es igual al
número de ecuaciones disponibles
 Número de Incógnitas = Número de Ecuaciones
Determinación o
Indeterminación
Si el Nº Incog. > Nº Ec.  Sistema Indeterminado
Si el Nº Incog. < Nº Ec.  Sistema Inconsistente
Interna (N,V,M,T)
Estática
(Fuerzas)
Externa (Reacciones)
Cinemática
(Desplazamientos)

Grado de Indeterminación Estática (GIE): Es el
numero fuerzas (internas y externas) que no
pueden determinarse por las ecuaciones de la
Estática de cuerpos rígidos.
Si el GIE = 0  Estructura Determinada
 GIE = Nº Incog. - Nº Ec. Estatica C.R.
Si el GIE < 0  Estructura Inestable
Si el GIE > 0  Estructura Indeterminada
Interna (GIEI)
GIE
Externa (GIEE)
Total (GIEE + GIEI)

I.3.1. Indeterminación Estática
Ecuaciones de Condición del nodo (Sn): Son
ecuaciones de estática adicionales que se
generan en las uniones articuladas (vínculos de
2DO orden) y en los rodillos (vínculos de 1ER orden)
debido a la posibilidad de separar los elementos
alli conectados.
Sn = N – 1 en donde N es el Nº de elementos
conectados en el nodo considerado
Interna (Si)
Sn
Externa (Se)
Total (Se + Si) a) Estructura para
analisis
A
B
C
b) Despiece de la estructura
en B
RCx
C
A
B B
RAx
RCy
RCy
RBx RBx
RBy RBy

Se = Ne – 1 en donde Ne es el Nº de “chapas” o
cuerpos rigidos conectados a tierra que pueden
separarse en el nodo a estudiar considerando
que el resto de las uniones permanecen
conectadas.
A
C
B
D E
F
Se = 1
Ne
Ne
Se = 1 Ne
Ne
Se = 1
Caso de
Estudio 
A
C
B
D E
F
A
C
B
D E
F

Si = Ni – 1 en donde Ni es el Nº de elementos
que pertenecen a un cuerpo rigido que forman
áreas cerradas en el nodo a estudiar.
A
C
B
D E
F
Caso de
Estudio 
Si = 1 Ni
Ni
A1
Si = 1 Ni Ni
A1 A2
Ni
A
C
B
D E
F
A
C
B
D E
F
Si = 2

Para el GIEE el numero total de componentes de
reacción (R) generados por los vínculos
externos existentes en la estructura representa
las incógnitas estáticas, mientras que el número
de ecuaciones disponibles viene dado por las
tres Ecuaciones del Equilibrio Estático global
mas las Se de todos los nodos articulados
existentes en la estructura, según la expresión
GIEE = R – (3 + Se)
GIEE = Nº Incognitas Ext. - Nº Ec.Eq.Ext
Nº Incognitas Ext.= Reacciones Nº Ec.Eq.Ext.= 3 + Se

A
C
B
D
E F


Area (A)
D.C.L. de la sección a la
izquierda del corte 1 - 1
A
C N
V
E
M
N
M
V
Estructura para analisis de
Indeterminación Estática Interna
GIEI = Fint. – 3 = 6 – 3 = 3
GIEI = Nº Incognitas Int. - Nº Ec.Eq.Int
Nº Incognitas Int.= Fuerzas Internas Nº Ec.Eq.Ext.= 3
Se observa que para un área cerrada, la cual esta formada
por los elementos CDEF genera un total de fuerzas
internas indeterminadas de 3.

Se evidencia que para el GIEI las incógnitas
estáticas son función de las áreas cerradas,
observándose que por cada una se generan 6
incógnitas internas menos 3 ecuaciones de la
estática de cuerpos rígidos igual a 3 por Area (3 x A).
Si consideramos las Ecuaciones de Condición
Interna (Si) de todos los nodos articulados
existentes en la estructura, se deriva la siguiente
expresión
GIEI = 3 x A – Si
GIEI = b - 2 x n + 3
Para Armaduras se tiene la expresión particular
en donde b es el Nº de barras y n el Nº de nodos

Determinar el grado de indeterminación estática
interna, externa y total de la estructura estable
indicada en la Figura.
biela

Identificar los nodos articulados que representan
unión entre chapas para determinar los Se.
biela
1
2
3
4
5
Se=1
Se=1
Se=1
Se=1
Se=1

Identificar los nodos articulados que representan unión
entre elementos de una misma chapa que forman áreas
cerradas para determinar los Si.
Si=1
Si=1
Si=1
Si=1
Si=3
Si=1
Si=2
Si=2
Si=2
Si=2 Si=3 Si=3
Si=3
Si=4
Si=2
Si=2
Si=2
Si=2
Si=4
Si=4
(1)
(2)
(3)
(4) (5)
(11)
(10)
(9)
(8)
(7)
(6)
(12)
(15)
(14)
(13)
biela

Calculamos la Indeterminación Estática Interna,
Externa y Total.
0
0
0
0
45
)
15
3
(
3
0
5
3
8
3



















GIEE
GIEI
GIET
S
A
GIEI
S
R
GIEE
i
e
 Estructura Estáticamente Determinada

interna, externa y total de la estructura indicada en la
Figura.
biela
biela
biela
biela

1
2
3
Se=1
Se=1
Se=1
biela
biela
biela
biela

unión entre elementos de una misma chapa que
forman áreas cerradas para determinar los Si.
(7)
(6)
(5)
(4)
(3)
(2)
(1)
(9)
(8)
(10)
Si=3 Si=2 Si=3
Si=3
Si=2
Si=2
Si=2
Si=2
Si=1
Si=3
Si=1
Si=1
Si=1
Si=2 Si=5
(11)
biela
biela
biela
biela

Externa y Total.
1
1
0
0
33
)
11
3
(
)
3
(
1
3
3
7
3



















GIEE
GIEI
GIET
S
A
GIEI
S
R
GIEE
i
e
 Estructura Estáticamente Indeterminada
de 1ER grado

biela
biela

2 4
biela
biela
1
3 5
6
Se=1
Se=2
Se=1
Se=1

unión entre elementos de una misma chapa que
forman áreas cerradas para determinar los Si.
biela
biela
(8) (9)
(6)
(7)
(5)
(4)
(3)
(1)
(2)
Si=1
Si=2
Si=3
Si=3
Si=2
Si=3
Si=1
Si=1
Si=1
Si=1
Si=3

Externa y Total.
9
3
6
6
21
)
9
3
(
)
3
(
3
5
3
11
3



















GIEE
GIEI
GIET
S
A
GIEI
S
R
GIEE
i
e
 Estructura Estáticamente Indeterminada
de 9NO grado

I.2. Estabilidad. Ejercicio Propuesto
biela
biela
biela
biela
biela

I.3.2. Indeterminación Cinemática
Grado de Indeterminación Cinemática (GIC): Si el
número de componentes de desplazamiento o
Grados de Libertad Cinematicos (G.D.L.C.) debido
a la deformación elástica que posea la estructura
es diferente de cero entonces la estructura será
INDETERMINADA CINEMATICAMENTE.
Rotaciones   Traslaciones  
Si el GIC = Nº Rotaciones + Nº Traslaciones
 GIC = Nº  + Nº 

Análisis Cinemático Directo: Consiste en definir
sobre la estructura sus Grados de Libertad
Cinemáticos (G.D.L.C.) en función de su geometría
y formas de vinculación de sus elementos.
Caso de Estudio

A
B
 GIC = Nº  + Nº  = 1 + 2 = 3
A
B
vB
B’ B
G.D.L.C
B
Bv
B’
A
B
Bh
B’
A
A
B
B

Caso de Estudio

GIC = 2 + 4 = 6
C
A D
B
vB
hC
hB
B
C
vC
A D
B
B’
C
C’
Caso de Estudio GIC = 2 + 2 = 4

C
A D
B
hB
B C
A D
B
B’
C
vB

Caso de Estudio

 GIC = Nº  + Nº  = 2 + 1 = 3
G.D.L.C
C
A D
B C’
A D
Ch
B’
B
C
B
C
Bh
A
B C
D
B
A
B
C
D
C
C’
A D
Ch
B’
B
C
Bh
Sin Deformación
axial EA = ∞

Caso de Estudio

GIC = 4 + 1 = 5
Caso de Estudio GIC = 5 + 1 = 5

Sin Deformación
axial EA = ∞
D
B
C
A D
B
C
A D
Ch
’B
B
C
B
A
C
A
C
A D
Ch
’B
B
C
B
A
’C

Imagen Cinemática (IC): Es un sistema equivalente
que consiste en reemplazar todos los apoyos
empotrados y los nodos internos rígidos de la
estructura en estudio por articulaciones,
permitiéndole a la estructura libertad de
movimiento, haciéndola “Inestable”.
Caso de Estudio

Imagen Cinemática
A
D
B
C
E
F
A
D
E
B
C
F

Entonces el Nº de  o desplazabilidad de la
estructura es igual al numero mínimo de rodillos
ficticio que se requiere para restringir todos los
posibles G.D.L. de traslación de la Imagen
Cinemática de la estructura, haciéndola “Estable”.

Desplazabilidad del pórtico
CIR
E’
C’ D’
F’
A
D
E
B
C
F
CIR
  = 2
CIR
F’
A
D
E
B
C
F
E’
CIR
Posible ubicación del 1ER
rodillo ficticio
CIR
A
D
E
B
C
F
CIR
CIR
Posible ubicación del 2DO
rodillo ficticio


Determinar el GIC por análisis directo de la estructura
indicada.
A
C
D
G
H
F
E
b
a
g
B

Determinamos las rotaciones en los nodos de la estructura
A
C
D
G
H
F
E
b
a
g
B
 = 12

A
C
D
G
H
F
E
b
a
g
B
 = 2
Determinamos las traslaciones a partir de la imagen
cinemática de la estructura

H I
G
E F
C
D
J
g
g
a
b
a
b
B
A
indicada.

H I
G
E F
C
D
J
g
g
a
b
a
b
B
A
Determinamos las rotaciones en los nodos de la estructura
 = 19

I
G
E F
C
J
g
g
a
b
a
b
B
A
 = 3
D
H

Diagramas de Williot: Es un método grafico que
permite conocer la deformación elástica
producida para cada desplazamiento de traslación
de la estructura.
Desplazabilidad 
Caso de Estudio
a
A
D
B
C
b
 = 1
A
D
B
C

Al liberar el rodillo ficticio empleado para
restringir la desplazabilidad existente se obtiene la
configuración deformada elásticamente, en donde
las letras con apostrofe (’) corresponden a los
puntos desplazados.
Diagrama de Williot
para la traslación 
Estructura
Deformada
B’
C’
B
a
A
D
B
C
b
C
C = sen b
sen 2a
 = B
A’ = D’ B’
b
C
C’
b
a a
POLO
BC DC

 = 2
A
C
D
G
H
F
E
b
a
g
B
I


B’=C’=G’=H’
I’
D’
E = F = D
b
sen
i



i
 b
DF =
BI
FG =
G
A
C
D
H
F
E
b
a
g
B
I E’
D’
F’
I’
A’

Trazamos el Diagrama de Williot Liberando el
Rodillo en F
= F’ = E’
FG
ED
EI

g
sen
E



a
cos


G
b
g
sen
I
tan
/



A’=B’=C’=D’=H’
E’
F’
G’
I’
b
g
a
F


 G

I

EF
GH
DE
BI
FG
EI
E
Rodillo en G
A
C
D
G
H
F
E
b
a
g
B
I
I’
G’
E’
F’

I
G
E F
C
J
g
g
a
b
a
b
B
A
 = 3
D
H

B

C

g
A’=G’=J’=H’=J’ F’=
B’
g
sen
B



Rodillo en F
C’
EF=
EG=
E’= D’=
FD=
DE
CE
CD=
AB
BC
H I
G
E F
C D
J
g
g
a
b
a
b
B
A
B’
C’ D’
F’
E’
H

A’=B’=C’=D’=
E’=G’=J’
H’
I’
g
I

H

g
sen
H
I



Rodillo horizontal en H
H
I
G
E F
C D
J
g
g
a
b
a
b
B
A
H’
I’
HI
IJ



F
Rodillo vertical en H
H I
G
E F
C D
J
g
g
a
b
a
b
B
A
C’
D’
F’
E’
H
H’
F

H
D 

 a
A’=G’=J’=B’
=C’= I’
F’
EG=
CD=
D’= H’
HI=
DF
FH
CF
EF
E
 E’
a
cos




 H
D
a
sen
E 



indicada.
F
C
D E
B
A
a

 = 3
F
C
D
E
B
A
a
a
a

Rodillo en B
a
cos


B
B

E
D
C 




a
A’
C’ = D’=E’
AB
DE
B’






 E
D
C
C
D
E
B
A
a
B’
C’
D’
a
F
E’
F’
F’
EF
F

a
a
tan


F

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