Este documento presenta la unidad 9 sobre funciones en matemáticas para 4o de la ESO opción B. Incluye una introducción al tema de funciones, un esquema de contenidos con conceptos clave como dominio, recorrido y representaciones gráficas de funciones, y ejemplos de funciones definidas a trozos y mediante tablas de valores.
El documento presenta una introducción a la programación orientada a objetos. Explica brevemente la evolución histórica de los lenguajes de programación, desde los lenguajes de máquina hasta los lenguajes orientados a objetos más modernos. Luego define los conceptos básicos de la POO, incluyendo clases, objetos, atributos, métodos y la relación entre clases y objetos. Por último, introduce conceptos avanzados como composición y el uso de objetos dentro de otros objetos.
Este documento trata sobre la programación orientada a objetos. Explica conceptos básicos como clases, objetos, métodos y atributos. También cubre temas avanzados como la herencia, que permite reutilizar código de clases padre, y el polimorfismo, que permite que una variable se refiera a objetos de clases relacionadas. Además, incluye una breve historia de los lenguajes orientados a objetos y ejemplos de implementación de clases como Punto y Segmento.
Este documento describe diferentes conceptos matemáticos como funciones, problemas matemáticos, modelos matemáticos, modelos financieros y modelos físicos. Explica que una función relaciona un conjunto de entrada con un conjunto de salida mapeando cada entrada a una única salida. Un problema matemático busca una entidad que satisfaga las condiciones del problema. Un modelo matemático expresa relaciones y comportamientos de sistemas complejos mediante fórmulas. Los modelos financieros y físicos proyectan resultados futuros y reproducen comportam
Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i MañéMònica Orpí Mañé
En aquest power point s'expliquen les funcions elementals i els límits a partir de la seva gràfica. Després es calculen els límits de manera analítica i es relaciona amb la gràfica.
S'explica també la resolució analítica de límits, així com la resolució de les indeterminacions.
S'estudia també les diferents discontinuïtats que pot presentar una funció.
S'explica el concepte incial de límit a partir de la paradoxa de Aquiles i la tortuga.
Este documento describe los conceptos básicos de las funciones y su gráfica. Explica que una función relaciona elementos de un conjunto con otro conjunto, y que los elementos clave son el dominio y el codominio. Además, distingue entre funciones algebraicas y trascendentes.
El documento presenta una introducción a la programación orientada a objetos. Explica brevemente la evolución histórica de los lenguajes de programación, desde los lenguajes de máquina hasta los lenguajes orientados a objetos más modernos. Luego define los conceptos básicos de la POO, incluyendo clases, objetos, atributos, métodos y la relación entre clases y objetos. Por último, introduce conceptos avanzados como composición y el uso de objetos dentro de otros objetos.
Este documento trata sobre la programación orientada a objetos. Explica conceptos básicos como clases, objetos, métodos y atributos. También cubre temas avanzados como la herencia, que permite reutilizar código de clases padre, y el polimorfismo, que permite que una variable se refiera a objetos de clases relacionadas. Además, incluye una breve historia de los lenguajes orientados a objetos y ejemplos de implementación de clases como Punto y Segmento.
Este documento describe diferentes conceptos matemáticos como funciones, problemas matemáticos, modelos matemáticos, modelos financieros y modelos físicos. Explica que una función relaciona un conjunto de entrada con un conjunto de salida mapeando cada entrada a una única salida. Un problema matemático busca una entidad que satisfaga las condiciones del problema. Un modelo matemático expresa relaciones y comportamientos de sistemas complejos mediante fórmulas. Los modelos financieros y físicos proyectan resultados futuros y reproducen comportam
Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i MañéMònica Orpí Mañé
En aquest power point s'expliquen les funcions elementals i els límits a partir de la seva gràfica. Després es calculen els límits de manera analítica i es relaciona amb la gràfica.
S'explica també la resolució analítica de límits, així com la resolució de les indeterminacions.
S'estudia també les diferents discontinuïtats que pot presentar una funció.
S'explica el concepte incial de límit a partir de la paradoxa de Aquiles i la tortuga.
Este documento describe los conceptos básicos de las funciones y su gráfica. Explica que una función relaciona elementos de un conjunto con otro conjunto, y que los elementos clave son el dominio y el codominio. Además, distingue entre funciones algebraicas y trascendentes.
Una función matemática es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto dominio exactamente un elemento de un conjunto codominio. Las funciones pueden representar relaciones matemáticas o situaciones cotidianas donde un valor depende de otro, como el costo de una llamada que depende de su duración.
Esta función matemática describe el crecimiento exponencial en diversos fenómenos naturales como el crecimiento de poblaciones bacterianas. La función exponencial relaciona un número real positivo (la base) con otro número real (el exponente) mediante la fórmula b^x. Esta función es importante para modelar procesos de crecimiento en biología, química, economía y otras áreas.
Aplicacion de las funciones atematicas a la vida diariaJhunior Romero
1) Las funciones matemáticas se pueden aplicar a muchas situaciones de la vida cotidiana para determinar las relaciones entre magnitudes.
2) Se describen diferentes tipos de funciones como funciones cuadráticas, logarítmicas y exponenciales, así como sus propiedades y aplicaciones.
3) Se dan ejemplos de cómo funciones cuadráticas describen el puente Golden Gate y el crecimiento de ratas, ilustrando cómo las matemáticas se usan para modelar fenómenos del mundo real.
El documento presenta los conceptos básicos de las funciones, incluyendo el reconocimiento de funciones en diagramas, tablas de valores y gráficos, la clasificación de funciones como sobreyectivas, inyectivas y biyectivas, y los elementos característicos de una función como el dominio, codominio e imagen. Se proveen ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
Este documento presenta la programación de matemáticas para el primer curso de bachillerato en el IES Sierra de las Villas para los años 2020-2021. La programación detalla los temas que se cubrirán en cada trimestre para las asignaturas de matemáticas de bachillerato científico-tecnológico y humanidades y ciencias sociales. Los temas incluyen aritmética, álgebra, trigonometría, geometría, análisis, estadística y probabilidad.
El documento explica cómo calcular el área de círculos y otras figuras circulares. Define que el área de un círculo se calcula como π multiplicado por el radio al cuadrado. Proporciona ejemplos de cómo calcular el área para círculos dados el radio o el diámetro. También explica cómo calcular el área de una corona circular restando el área del círculo interior del área del círculo exterior.
El documento explica cómo calcular el perímetro de una circunferencia utilizando la fórmula P = 2πr o P = πd. Proporciona ejemplos de cálculos del perímetro para circunferencias con diferentes radios y diámetros. También muestra cómo calcular el radio de una circunferencia si se conoce su perímetro, y cómo calcular el perímetro de media circunferencia.
Este documento explica cómo calcular el perímetro de una circunferencia utilizando la fórmula P = 2πr o P = πd. Proporciona ejemplos de cálculos del perímetro usando el radio o el diámetro de diferentes circunferencias. También muestra cómo calcular el radio de una circunferencia cuando se conoce su perímetro.
Este documento describe cómo calcular el tamaño de la muestra y el error en encuestas de proporciones. Explica que el error es la distancia entre el centro del intervalo de confianza y sus extremos, y que puede calcularse si se conoce la proporción muestral, el nivel de confianza y el tamaño de la muestra. Además, resuelve dos ejemplos para ilustrar cómo determinar el error de una encuesta o el tamaño de muestra necesario para alcanzar un error máximo dado.
Este documento explica cómo calcular un intervalo de confianza para estimar una proporción poblacional a partir de una muestra. Primero, se define la fórmula para calcular el intervalo de confianza, que depende de la proporción muestral p, el tamaño de la muestra n, y un valor z obtenido de la tabla normal. Luego, se provee un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar la fórmula. Finalmente, se propone un ejercicio para que el lector practique el cálculo.
Este documento introduce la distribución binomial y de proporciones muestrales. Explica que una distribución binomial se comporta como una distribución normal a partir de cierto tamaño de muestra, permitiendo calcular probabilidades usando la distribución normal. A continuación, presenta la fórmula para convertir una distribución binomial en una normal mediante la proporción p de la población y el tamaño n de la muestra.
Este documento introduce conceptos estadísticos básicos como la media, desviación típica y varianza. Explica cómo calcular estos parámetros estadísticos para conjuntos de datos usando una calculadora, y cómo estos parámetros pueden usarse para describir y comparar conjuntos de datos de manera más completa que solo usando la media. También introduce el coeficiente de variación como una medida que permite comparar la dispersión de conjuntos con diferentes escalas.
El documento explica cómo crear intervalos para variables continuas en tablas de frecuencias. Recomienda dividir el rango de datos en intervalos redondeados de tamaño similar, como intervalos de 5 unidades para datos entre 12-34, o intervalos de 10 unidades para datos entre 132-187. También define la "marca de clase" como el punto medio de cada intervalo usado para cálculos, y especifica que los datos se cuentan dentro del límite inferior de cada intervalo para agruparlos de manera consistente.
Este documento resume los conceptos básicos de la estadística, incluyendo su definición como el conjunto de técnicas para recopilar, organizar y analizar datos para inferir conclusiones. Explica que la población es el grupo total sobre el cual se realiza un estudio, mientras que la muestra es el subconjunto seleccionado de la población. También describe las variables cualitativas, cuantitativas discretas y continuas, y las ramas de la estadística descriptiva e inferencial. Finalmente, señala que un estudio estad
Este documento explica las parábolas y cómo graficarlas. Indica que una función cuadrática tiene la forma y=ax^2 + bx + c, donde a, b y c pueden ser cualquier número. Esto determina la orientación, vértice y puntos de corte de la parábola. Muestra un ejemplo de cómo graficar la parábola y=x^2 - 4x + 3 paso a paso determinando estos elementos y creando una tabla de valores. Finalmente, indica que a veces la ecuación puede no estar completa y que al resolver la ecuación de segundo gra
Este documento resume los conceptos básicos de las distribuciones normales e intervalos de confianza. Explica que la media de la muestra se relaciona con los parámetros de la población y cómo calcular el intervalo de confianza utilizando la desviación típica de la población, el tamaño de la muestra y el nivel de confianza deseado. También define el error como la cantidad que se suma o resta a la media dentro del intervalo de confianza.
Este documento discute diferentes formas en que se pueden expresar los mismos conceptos estadísticos relacionados con el tamaño de la muestra y el error de muestreo. Explica que aunque la pregunta puede expresarse de manera diferente, siempre se está preguntando por el mismo concepto. Proporciona varios ejemplos de cómo se pueden expresar de forma equivalente conceptos como el intervalo de confianza, el error y la desviación típica.
Este documento discute diferentes formas de expresar el mismo problema estadístico de determinar el tamaño de la muestra. Explica que aunque la pregunta es la misma, la expresión puede variar y causar confusión. Proporciona ejemplos de cómo el error, intervalo de confianza, desviación estándar y otros términos pueden expresarse de maneras alternativas pero equivalentes. También cubre cómo calcular la desviación estándar a partir de la varianza cuando esta se proporciona en lugar de aquella.
Este documento explica los conceptos de tamaño de muestra y error en el contexto de estimación de parámetros poblacionales. Indica que el tamaño de muestra afecta la precisión del intervalo de confianza y que el error se refiere a la distancia entre los límites del intervalo de confianza y la media poblacional. Proporciona dos ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular el tamaño de muestra necesario para estimar una media poblacional con un error específico y un nivel de confianza dado.
Una función matemática es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto dominio exactamente un elemento de un conjunto codominio. Las funciones pueden representar relaciones matemáticas o situaciones cotidianas donde un valor depende de otro, como el costo de una llamada que depende de su duración.
Esta función matemática describe el crecimiento exponencial en diversos fenómenos naturales como el crecimiento de poblaciones bacterianas. La función exponencial relaciona un número real positivo (la base) con otro número real (el exponente) mediante la fórmula b^x. Esta función es importante para modelar procesos de crecimiento en biología, química, economía y otras áreas.
Aplicacion de las funciones atematicas a la vida diariaJhunior Romero
1) Las funciones matemáticas se pueden aplicar a muchas situaciones de la vida cotidiana para determinar las relaciones entre magnitudes.
2) Se describen diferentes tipos de funciones como funciones cuadráticas, logarítmicas y exponenciales, así como sus propiedades y aplicaciones.
3) Se dan ejemplos de cómo funciones cuadráticas describen el puente Golden Gate y el crecimiento de ratas, ilustrando cómo las matemáticas se usan para modelar fenómenos del mundo real.
El documento presenta los conceptos básicos de las funciones, incluyendo el reconocimiento de funciones en diagramas, tablas de valores y gráficos, la clasificación de funciones como sobreyectivas, inyectivas y biyectivas, y los elementos característicos de una función como el dominio, codominio e imagen. Se proveen ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
Este documento presenta la programación de matemáticas para el primer curso de bachillerato en el IES Sierra de las Villas para los años 2020-2021. La programación detalla los temas que se cubrirán en cada trimestre para las asignaturas de matemáticas de bachillerato científico-tecnológico y humanidades y ciencias sociales. Los temas incluyen aritmética, álgebra, trigonometría, geometría, análisis, estadística y probabilidad.
El documento explica cómo calcular el área de círculos y otras figuras circulares. Define que el área de un círculo se calcula como π multiplicado por el radio al cuadrado. Proporciona ejemplos de cómo calcular el área para círculos dados el radio o el diámetro. También explica cómo calcular el área de una corona circular restando el área del círculo interior del área del círculo exterior.
El documento explica cómo calcular el perímetro de una circunferencia utilizando la fórmula P = 2πr o P = πd. Proporciona ejemplos de cálculos del perímetro para circunferencias con diferentes radios y diámetros. También muestra cómo calcular el radio de una circunferencia si se conoce su perímetro, y cómo calcular el perímetro de media circunferencia.
Este documento explica cómo calcular el perímetro de una circunferencia utilizando la fórmula P = 2πr o P = πd. Proporciona ejemplos de cálculos del perímetro usando el radio o el diámetro de diferentes circunferencias. También muestra cómo calcular el radio de una circunferencia cuando se conoce su perímetro.
Este documento describe cómo calcular el tamaño de la muestra y el error en encuestas de proporciones. Explica que el error es la distancia entre el centro del intervalo de confianza y sus extremos, y que puede calcularse si se conoce la proporción muestral, el nivel de confianza y el tamaño de la muestra. Además, resuelve dos ejemplos para ilustrar cómo determinar el error de una encuesta o el tamaño de muestra necesario para alcanzar un error máximo dado.
Este documento explica cómo calcular un intervalo de confianza para estimar una proporción poblacional a partir de una muestra. Primero, se define la fórmula para calcular el intervalo de confianza, que depende de la proporción muestral p, el tamaño de la muestra n, y un valor z obtenido de la tabla normal. Luego, se provee un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar la fórmula. Finalmente, se propone un ejercicio para que el lector practique el cálculo.
Este documento introduce la distribución binomial y de proporciones muestrales. Explica que una distribución binomial se comporta como una distribución normal a partir de cierto tamaño de muestra, permitiendo calcular probabilidades usando la distribución normal. A continuación, presenta la fórmula para convertir una distribución binomial en una normal mediante la proporción p de la población y el tamaño n de la muestra.
Este documento introduce conceptos estadísticos básicos como la media, desviación típica y varianza. Explica cómo calcular estos parámetros estadísticos para conjuntos de datos usando una calculadora, y cómo estos parámetros pueden usarse para describir y comparar conjuntos de datos de manera más completa que solo usando la media. También introduce el coeficiente de variación como una medida que permite comparar la dispersión de conjuntos con diferentes escalas.
El documento explica cómo crear intervalos para variables continuas en tablas de frecuencias. Recomienda dividir el rango de datos en intervalos redondeados de tamaño similar, como intervalos de 5 unidades para datos entre 12-34, o intervalos de 10 unidades para datos entre 132-187. También define la "marca de clase" como el punto medio de cada intervalo usado para cálculos, y especifica que los datos se cuentan dentro del límite inferior de cada intervalo para agruparlos de manera consistente.
Este documento resume los conceptos básicos de la estadística, incluyendo su definición como el conjunto de técnicas para recopilar, organizar y analizar datos para inferir conclusiones. Explica que la población es el grupo total sobre el cual se realiza un estudio, mientras que la muestra es el subconjunto seleccionado de la población. También describe las variables cualitativas, cuantitativas discretas y continuas, y las ramas de la estadística descriptiva e inferencial. Finalmente, señala que un estudio estad
Este documento explica las parábolas y cómo graficarlas. Indica que una función cuadrática tiene la forma y=ax^2 + bx + c, donde a, b y c pueden ser cualquier número. Esto determina la orientación, vértice y puntos de corte de la parábola. Muestra un ejemplo de cómo graficar la parábola y=x^2 - 4x + 3 paso a paso determinando estos elementos y creando una tabla de valores. Finalmente, indica que a veces la ecuación puede no estar completa y que al resolver la ecuación de segundo gra
Este documento resume los conceptos básicos de las distribuciones normales e intervalos de confianza. Explica que la media de la muestra se relaciona con los parámetros de la población y cómo calcular el intervalo de confianza utilizando la desviación típica de la población, el tamaño de la muestra y el nivel de confianza deseado. También define el error como la cantidad que se suma o resta a la media dentro del intervalo de confianza.
Este documento discute diferentes formas en que se pueden expresar los mismos conceptos estadísticos relacionados con el tamaño de la muestra y el error de muestreo. Explica que aunque la pregunta puede expresarse de manera diferente, siempre se está preguntando por el mismo concepto. Proporciona varios ejemplos de cómo se pueden expresar de forma equivalente conceptos como el intervalo de confianza, el error y la desviación típica.
Este documento discute diferentes formas de expresar el mismo problema estadístico de determinar el tamaño de la muestra. Explica que aunque la pregunta es la misma, la expresión puede variar y causar confusión. Proporciona ejemplos de cómo el error, intervalo de confianza, desviación estándar y otros términos pueden expresarse de maneras alternativas pero equivalentes. También cubre cómo calcular la desviación estándar a partir de la varianza cuando esta se proporciona en lugar de aquella.
Este documento explica los conceptos de tamaño de muestra y error en el contexto de estimación de parámetros poblacionales. Indica que el tamaño de muestra afecta la precisión del intervalo de confianza y que el error se refiere a la distancia entre los límites del intervalo de confianza y la media poblacional. Proporciona dos ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular el tamaño de muestra necesario para estimar una media poblacional con un error específico y un nivel de confianza dado.
El documento describe cómo calcular intervalos de confianza a partir de una muestra. Explica que el cálculo se puede hacer de forma mecánica sin rigor matemático. A continuación, presenta un ejemplo numérico para ilustrar cómo calcular un intervalo de confianza del 95% para la media de ventas diarias de una población de comerciantes, a partir de una muestra de 25 comerciantes.
Este documento describe vectores y rectas perpendiculares. Explica que dos vectores son perpendiculares si forman un ángulo de 90 grados y tienen un producto escalar de cero. Muestra cómo encontrar un vector perpendicular a uno dado y cómo determinar si dos vectores son perpendiculares mediante el cálculo de su producto escalar. También explica cómo encontrar una recta perpendicular a otra recta dada, ya sea mediante el cambio del vector o la determinación de la ecuación de la recta perpendicular.
Este documento explica los conceptos de vectores y rectas paralelos y perpendiculares. Define que dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección pero no necesitan tener la misma longitud o sentido. Para comprobar si vectores son paralelos, se debe verificar que tienen la misma pendiente. También explica cómo encontrar un vector paralelo a uno dado y cómo identificar rectas paralelas basadas en su pendiente y condiciones de paso por puntos dados.
Este documento explica cómo calcular el intervalo de confianza para una media poblacional a partir de una muestra. Proporciona un ejemplo numérico donde, teniendo una muestra de 25 comerciantes con una media de ventas de 180€ y una desviación típica poblacional de 30€, calcula el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional, el cual resulta ser (168.24, 191.76).
El documento explica los conceptos de intervalo de confianza y nivel de confianza. Un intervalo de confianza proporciona un rango de valores dentro del cual es probable que se encuentre el parámetro de interés de toda la población, como la media, con un determinado nivel de confianza. Entre mayor sea el intervalo de confianza, mayor será el nivel de confianza de que la media poblacional realmente se encuentre dentro de ese rango.
1. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
9 Funciones
LECTURA INICIAL
ESQUEMA
INTERNET
ACTIVIDAD
Las funciones no tienen una forma
única de expresión, y sin embargo,
de todas ellas podemos extraer
propiedades.
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2. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
G. W. Leibniz
Busca en la web
El calculo
Trabajando por separado y con
métodos distintos, Newton antes y
sin dar publicidad a sus
resultados, y Leibniz unos años
después, pero publicándolos
antes, van a crear la herramienta Enlace a la biografía de
más potente y universal de la Leibniz
historia de las Matemáticas y de
todas las ciencias: el Cálculo.
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3. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Esquema de contenidos
Funciones
Coordenadas cartesianas
Concepto de función
Representación gráfica
Tablas
Dominio y recorrido
Funciones definidas a trozos
Estudio de una función
Continuidad
Puntos de corte
Crecimiento y decrecimiento
Simetrías
Periodicidad
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4. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas de un punto P en el plano
vienen determinadas por un par ordenado de
números, x e y, llamados coordenadas
cartesianas del punto, y se escribe:
P (x , y)
SIGUIENTE
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5. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Concepto de función
Una función es una relación entre
dos variables numéricas, x e y, de
manera que a cada valor de x le
corresponde un único valor de y.
SIGUIENTE
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6. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Concepto de función
No es Una función es una relación entre
función dos variables numéricas, x e y, de
manera que a cada valor de x le
corresponde un único valor de y.
Sí es
función
SIGUIENTE
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7. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Concepto de función
No es Una función es una relación entre
función dos variables numéricas, x e y, de
manera que a cada valor de x le
corresponde un único valor de y.
La variable x es la variable independiente,
y es un valor prefijado. Sí es
función
Y la variable y es la variable dependiente,
y su valor depende del valor de x.
SIGUIENTE
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8. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Función expresada mediante tabla de valores
Representar gráficamente los siguientes datos que
relacionan las horas transcurridas desde la apertura
de una exposición con el número de personas que
asisten.
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 100 150 50 150 250 100 200 50
Nº personas
H
SIGUIENTE
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9. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Dominio y recorrido
Se llama dominio de una función f(x) a todos
los valores de la variable independiente que
tienen imagen.
Dom f(x)
El recorrido o la imagen de una función f(x) es
todos los valores de la variable dependiente
que son imagen de algún valor de la variable
independiente.
Im f(x)
SIGUIENTE
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10. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Dominio y recorrido
Se llama dominio de una función f(x) a todos
los valores de la variable independiente que
tienen imagen.
Dom f(x)
Dom f(x) = ( - ∞,0] ∪ [ 2,5] ∪ [ 6,+∞ )
El recorrido o la imagen de una función f(x) es
todos los valores de la variable dependiente
que son imagen de algún valor de la variable
independiente.
Im f(x)
Im f(x) = [ − 1,+∞ ) SIGUIENTE
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11. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Funciones definidas a trozos
En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de
la función de forma global, pero sus valores responden a
distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que
estamos.
Cuando definimos una función
con expresiones parciales y se
especifica el dominio de cada
una de ellas, estamos
definiendo una función a
trozos.
SIGUIENTE
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12. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Funciones definidas a trozos
En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de
la función de forma global, pero sus valores responden a
distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que
estamos.
Cuando definimos una función
con expresiones parciales y se
especifica el dominio de cada
una de ellas, estamos
definiendo una función a
trozos.
La función definida es:
2 − ∞ < x ≤ −2
f ( x ) = − 2 x −2 <x < 4
− x
+5 4 ≤ x < +∞
2 SIGUIENTE
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13. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Propiedades de funciones
Continuidad
Puntos de corte
Crecimiento y decrecimiento
Simetrías
Periodicidad
SIGUIENTE
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14. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Función continua
Una función es continua si su gráfica se puede
dibujar de un solo trazo.
Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar
de un solo trazo.
Los puntos donde se corta el trazo de la función
se llaman puntos de discontinuidad de la
función.
SIGUIENTE
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15. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Función continua
Una función es continua si su gráfica se puede
dibujar de un solo trazo.
Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de
un solo trazo.
discontinua
discontinua
continua
Los puntos donde se corta el trazo de la función
se llaman puntos de discontinuidad de la
función.
continua SIGUIENTE
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16. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Puntos de corte
Los puntos de corte con los ejes coordenados de
una función son los puntos de intersección de su
gráfica con los ejes coordenados.
EJE X, y = 0
Son de la forma (a, 0).
Se hallan calculando los valores de la variable x,
cuando la variable y toma el valor 0.
EJE Y, x = 0
Son de la forma (0, b).
Se hallan calculando los valores de la variable y
cuando la variable x toma el valor 0.
SIGUIENTE
ANTERIOR SALIR
17. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Puntos de corte
Los puntos de corte con los ejes coordenados de
una función son los puntos de intersección de su
gráfica con los ejes coordenados.
(0, 2) corte
EJE X, y = 0 con eje Y
Son de la forma (a, 0).
Se hallan calculando los valores de la variable x,
cuando la variable y toma el valor 0.
EJE Y, x = 0
Son de la forma (0, b).
(-3, 0) corte
Se hallan calculando los valores de la variable y con eje X
cuando la variable x toma el valor 0.
SIGUIENTE
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18. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Crecimiento y decrecimiento
Una función es creciente en un tramo si, al aumentar
el valor de x, también aumenta el valor de y.
Una función es decreciente en un tramo si, al
aumentar el valor de x, disminuye el valor de y.
SIGUIENTE
ANTERIOR SALIR
19. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Crecimiento y decrecimiento
Una función es creciente en un tramo si, al aumentar
el valor de x, también aumenta el valor de y.
Una función es decreciente en un tramo si, al
aumentar el valor de x, disminuye el valor de y.
Decreciente Creciente
en (-∞, -5) en (5, 4)
Decreciente
en (4, + ∞)
SIGUIENTE
ANTERIOR SALIR
20. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Máximos y mínimos
En los puntos donde la gráfica pasa de ser
creciente a decreciente
se dice que la función alcanza un máximo.
En los puntos donde la gráfica pasa de ser
decreciente a creciente
se dice que la función alcanza un mínimo.
Mínimo en x = -5
Máximo
en x = 4
SIGUIENTE
ANTERIOR SALIR
21. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Simetrías
Simetría respecto del eje de ordenadas (eje Y)
o simetría par
Una función es simétrica respecto del eje de
ordenadas cuando
f ( x ) = f (− x )
Simetría respecto del origen
o simetría impar
Una función es simétrica respecto del origen cuando
f ( − x ) = −f ( x )
SIGUIENTE
ANTERIOR SALIR
22. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Simetrías
f (x) = x2 − 4
Simetría par f ( x ) = f ( −x )
f ( x ) = x 2 − 4
f ( − x ) = ( − x ) − 4 = x − 4
2 2
f ( x ) = x 3 + 5x
Simetría impar f ( x ) = −f ( − x )
f ( x ) = x 3 + 5 x
[ ] [ ]
− f ( − x ) = − ( − x ) 3 + 5( − x ) = − − x 3 − 5 x = x 3 + 5 x
SIGUIENTE
ANTERIOR SALIR
23. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Periodicidad
Una función es periódica si su gráfica, o las imágenes de los valores de x, se
repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo, T, se le llama periodo.
Conocido el valor de la
función en un intervalo
de amplitud T, se
puede construir el resto
de la gráfica
trasladándola a la
derecha e izquierda
periodo por todo el dominio.
T =2
SIGUIENTE
ANTERIOR SALIR
24. INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción B
Unidad 9: Funciones
Estudio de una función
Dominio:
Dom f (x ) = (− ∞,+∞) → todos los números reales
Recorrido:
Im f ( x ) = (− ∞, +∞) → todos los números reales
Puntos de corte:
Eje X : x = -5 P(-5,0) Eje Y : y = 0 P(0,0)
x = 0 P(0,0)
Continuidad: la función es continua.
decrecient e (-3,0)
Crecimiento y decrecimiento: creciente (- ∞,-3) ∪ (0, + ∞)
máximo en (-3,3)
Máximos y mínimos:
mínimo en (0,0)
No es simétrica.
No es periódica.
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Unidad 9: Funciones
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Unidad 9: Funciones
Actividad: La función lineal y la función afín
Dirección:
http://www.santillana.cl/mat2/unidad3b.htm
En la sección chilena de la Editorial
Santillana, se propone una actividad en
la que se podrá realizar la gráfica de la
función f (x)= ax + b y g (x)= mx + n para
distintos valores de la variable x y los
parámetros m, n, a y b.
Para conocerlo, sigue este enlace.
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