Este documento describe los métodos para resolver ecuaciones cúbicas. Explica que las ecuaciones cúbicas siempre tienen 3 raíces, aunque algunas pueden ser complejas. Detalla que el método de Cardano, publicado en 1545, usa el discriminante para determinar si las raíces son reales, iguales o complejas. También cubre cómo calcular raíces múltiples y aplica las fórmulas para encontrar las raíces en cada caso.

1. El caso real
Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes
reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo
tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C,
extensión algebraica cerrada de R. La distinción aparece cuando se calcula el discriminante
de la ecuación. Se puede notar que siempre hay por lo menos una solución real,
independientemente de que el discriminante Δ sea mayor, menor o igual a cero. Es debido a
que las funciones poligonales no constantes tienen límites infinitos en +∞ y -∞ y las de
grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones continuas, tienen que
pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios.
También es posible resolverla con el método de Newton-Raphson, ya que se sabe que al
menos habrá una solución real.
Raíces reales de la ecuación cúbica
Partiendo de la ecuación canónica
Dividiendo entre a y haciendo una transformación de Tschirnhaus (sustituyendo
) se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma
reducida:
con lo cual,
Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante de la ecuación
auxiliar .4
La ecuación cúbica incompleta
posee tres raíces reales cuando el discriminante , pero donde y posee
cualquier valor y signo. Tales raíces se calculan como
, para

2. Donde el signo positivo se usa si y el signo negativo se usa si . Mientras que
está dada por
De modo que si queremos calcular las tres raíces de la ecuación cúbica completa
, entonces podemos obtenerlas fácilmente como
, para
Raíces múltiples
En cualquier ecuación cúbica es posible que se presenten raíces múltiples, es decir, raíces
de multiplicidad dos y tres, esto es, que dos o tres de las raíces sean iguales entre sí. Las
raíces de multiplicidad unitaria ya fueron descritas antes, ahora la raíz doble se puede
presentar si y sólo si se cumple la condición de que
Y las raíces de la ecuación cúbica incompleta serán
Mientras que las raíces triples se presentan cuando se cumpla la condición de que
Con lo que las raíces de la ecuación cúbica completa se calcularán fácilmente como
.
El caso general
Sea un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible
resolver la ecuación.
En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o
ecuación cúbica) tiene tres raíces. Este es el caso, por ejemplo, del cuerpo de los números
complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

3. La solución de la ecuación algebraica cúbica fue dada por primera vez en el libro Ars
Magna (del latín, que significa 'Gran Arte' o 'Arte Magno') por el matemático italiano
GerolamoCardano (1501-1576) que publicó en el año de 1545, razón por la cual se le llama
método de Cardano.
Fórmula general
Artículo principal:Método de Cardano.
Dada la ecuación cúbica
Se calculan las siguientes cantidades:
En ese caso las tres raíces se pueden escribir simplemente como:
(*)
Al ser el discriminante se tiene:
i) una de las raíces es real y dos de ellas son complejas si D> 0.
ii) todas las raíces son reales y al menos dos son iguales si D = 0.
iii) todas las raíces son reales y distintas si D< 0.
En este último caso el cálculo de las raíces se simplifica un poco si se reescriben las
soluciones (*) mediante fórmulas trigonométricas:

4. Practicar para agregar fórmulas nuevas.
Formulas originales Formulas realizadas