Este documento presenta una nueva técnica para simplificar una raíz cúbica especial a la suma de un número y una raíz cuadrada. La técnica involucra igualar los términos de la ecuación resultante de elevar la expresión original al cubo, lo que genera un sistema de ecuaciones que puede resolverse para encontrar los valores necesarios para la simplificación. Se provee un ejemplo numérico para ilustrar la aplicación de la técnica.

1. TÉCNICA PARA REDUCIR UNA RAÍZ CÚBICA ESPECIAL A LA SUMA DE UN
NÚMERO Y UNA RAÍZ CUADRADA
Realizado por: Jorge Gabriel Chié García
En un artículo anterior, expuse una manera de poder simplificar raíces cuadradas anidadas
mediante la suma de dos raíces cuadradas. Ahora, por primera vez les presento una nueva
técnica que desarrollé para poder simplificar una raíz cúbica a la suma de un número y una raíz
cuadrada. El problema planteado es encontrar y de la siguiente expresión:
+ √ = + √
La raíz cúbica anterior se parece a un desarrollo de raíces anidadas (véase el artículo “Los
Radicales Anidados”). Para poder simplificar la raíz cúbica anterior, nos vamos a basar en
encontrar el valor de , dado por la siguiente expresión:
= + √ + − √
Nos podemos dar cuenta que la expresión anterior proviene de una ecuación cúbica. Para ser
más precisos, proviene de la siguiente ecuación cúbica:
− 3 − = 2
Si uno cuenta con los valores de , , , entonces uno puede calcular las raíces cúbicas de la
expresión anterior, mediante algún método conocido.
Supongamos ahora que:
+ √ = + √
donde y son los valores que queremos encontrar. Se puede demostrar que si elevamos al
cubo la expresión anterior y si se igualan términos semejantes, se llega al siguiente sistema de
ecuaciones:
= + 3
√ = √ (3 + )
Hemos llegado a un sistema de ecuaciones de 2x2. Después de un manipuleo algebraico del
sistema anterior, se llega a:
−
3
4
−
15 − 27
64
−
64
= 0

2. donde = , que es una ecuación cúbica. Podemos resolverla por el método de Cardano-
Tartaglia, del cual se obtiene la siguiente solución:
=
4
+
3
8
− + √ + − √
Si nos damos cuenta, lo que está en el paréntesis es precisamente , por lo que la podemos
expresar como:
=
4
+
3
8
−
Ahora ven la importancia de calcular en un principio. Considerando que = √ , hemos
llegado a una expresión algebraica, que permite calcular el valor de .
El valor de , ya es más fácil de calcular:
=
−
3
Entonces; si sustituimos las expresiones anteriores, se llega a la siguiente expresión:
+ √ = √ 1 +
−
3
donde √ es una raíz cúbica exacta.
Ejemplo:
Simplificar
26 + 15√3
Se observa que a=26, b=15, c=3. Con estos valores, se procede a calcular el valor de ,
mediante la siguiente expresión:
− 3 − = 2
Para el caso particular en que a=26, b=15 y c=3, se tiene que:
− 3 − 52 = 0

3. La idea ahora es encontrar de manera que sea un número entero. Eso es fácil, ya que al
resolver la ecuación cúbica anterior por algún método conocido, se llega a que = 4. Esto
quiere decir que:
26 + 15√3 + 26 − 15√3 = 4
Ahora, se calcula el valor de :
=
26
4
+
3
8
(1)(4) = 8
Al sustituir = 8 en la expresión que calculamos, se llega a que:
26 + 15√3 = 2 + √3
Solo hay que notar que no todas las raíces cúbicas de este tipo se pueden simplificar de esta
manera. Depende de que el valor de sea un número entero y de que la raíz cúbica de sea
raíz exacta, de lo contrario no es posible realizar su simplificación.
Este problema es uno de tantas aplicaciones que pueden tener las ecuaciones cúbicas. Por ello
hago mucho énfasis en que se conozca a fondo este tema.