factorización tema de matemáticas

1. Factorizacion
factorizaciónesexpresarunobjetoonúmerocomoproductode otros objetosmáspequeños(factores),
que,al multiplicarlostodos,resultael objetooriginal. Se llamanfactores alostérminosque
multiplicadosentre sídancomo productola primeraexpresión.
Factor común
consiste enencontrarel elementocomúnaun conjuntode sumandos,unaoperaciónnuméricaaveces
se simplificasacandofactorcomún para realizarlaoperación.Tenpresente lapropiedaddistributiva
Factorizacion de un trinomio
expresiónalgebraicaformadapor3 términosendonde losdostérminosde losextremos,tienenraíz
cuadrada exacta,por tal motivopara obtenerlafactorizaciónde dichaexpresión,esnecesario
observarprimerosi estostérminoscumplencon esacondición,lafactorización se podaraobtener
mediante lossiguientespasos:
1) Obtenerlaraíz cuadradadel primertérmino.
2) Respetarel signoque antecede al segundotérmino.
3) Obtenerlaraíz cuadradadel tercertérmino.
4) Esta expresióndeberácolocarse entre paréntesisytodoelevarloal cuadrado.
Para obtenerlaraíces cuadradas sólodebesbuscar laexpresiónalgebraicaque al multiplicarlaporsi
mismote de como resultadoel productobuscado.
Factorizacion de una diferenciaal cuadrado
Para factorizar una diferencia de cuadrados es necesario saber identificarlos,esta ecuación solo
tiene dos términos. Ambos términos tienenraíces cuadradas exactas. En cuanto a los signos un
término es positivoy el otro es negativo, la operación que se realiza es una resta.
Factorizacion de una expresión 𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
Que cumplenconlas siguientescondiciones:
1) El coeficientedel primertérminoes1.
2) El primertérminoesunaletracualquiera elevadaal cuadrado.
3) El segundoterminotienelamismaletraque el primero,conexponente1y su coeficiente esuna
cantidadcualquiera,positivaonegativa.
4) El tercertérminoesindependientede laletraque aparece enel 1º y2o terminoyes una cantidad
cualquiera,positivaonegativa.
Reglaspara Factorizarun trinomiode laforma x2 + bx + c
1) El trinomiose descompone endosfactoresbinomios,cuyoprimertérminoesX
2) En el primerfactor despuésde Xse escribe el signodel segundotérminodeltrinomio,yenel
segundofactordespuésde Xse escribe el signoque resultade multiplicarel signodel segundotérmino
del trinomioporel signodel tercertérminodel mismo.
3) Si losdosfactoresbinomiostienenenlosmediossignosigualesse buscandosnúmeroscuyasuma
seael valor absolutode segundotérminodel trinomioycuyoproductoseael valorabsolutodel tercer
términodel trinomio.Estosnúmerossonlossegundostérminosde losbinomios.
4) Si losdosfactoresbinomiostienenenlosmediossignosdistintosse buscandosnúmeroscuyo
productosea el valorabsolutodel tercertérminodel trinomioycuyadiferenciaseael valorabsolutodel
segundotérminodel trinomio.

2. 5) El mayor de losnúmerosencontradosenla reglanúmerocuatro(4) esel segundotérminodel
primerbinomioyel menoresel segundotérminodel segundobinomio.
Ecuacioncuadrática
a, b, y c puedentenercualquiervalor,exceptoque ano puede ser0.
La letra"x"esla variable oincógnita,y lasletrasa, b y c sonlos coeficientes.Yel
nombre cuadráticaviene de "cuad"que quiere decircuadrado,porque el exponentemásgrande esun
cuadrado ( 𝒙 𝟐)
Las ecuacionescuadráticasse puedenresolverusandounafórmulaespecial llamada fórmulacuadrática:
El "±" quiere decirque tienesque hacermásY menos,asíque normalmente hay
dos soluciones
La parte azul (b2 - 4ac) se llamadiscriminante,porquesirve para"discriminar"(decidir) entre lostipos
posiblesde respuesta:
si es positivo,hayDOSsoluciones
si es cerosólohay UNA solución
,y si esnegativohaydos solucionesque incluyen númerosimaginarios Pararesolverla,sóloponlos
valoresde a,by c enla fórmulacuadráticay haz loscálculos.
Rotaciony traslación
Demostracionde Pitágoras
Se estimaque se demostróel teoremamediante semejanzade triángulos:suslados
homólogossonproporcionales. Seael triánguloABC,rectánguloenC.El segmentoCHes
la alturarelativaa lahipotenusa,enlaque determinalossegmentos a’ yb’,
proyeccionesenellade loscatetos a y b,respectivamente.
Los triángulosrectángulosABC,AHCyBHC tienensustresbasesiguales:todostienen
dos basesencomún,y losángulosagudossonigualesbienporsercomunes,bienpor
tenersusladosperpendiculares.Enconsecuenciadichostriángulossonsemejantes.
De lasemejanzaentre ABCyAHC:
y dostriangulossonsemejantessi haydoso más ánguloscongruentes.
Aplicación
Conocidouncateto yla hipotenusa,calcularel otrocateto.
En este caso debemos despejarel valordel cateto. a2+ b2 = c2 , de donde b2 = c2- a2 ,o biena2 = c2 -
b2 que sonlasexpresionesque debemosaplicar.
1.-La hipotenusade untriángulorectángulomide5cm. y uno de loscatetos,3,2 cm. Calculalamedida
del otro cateto.
Conocidosloslados,sabersi el triánguloes obtusángulo,rectángulooacutángulo.
Comohemosvistoenun triángulorectángulo,el cuadradode lahipotenusaesigual ala sumade los
cuadradosde loscatetos.
En triángulosnorectángulosnose hablade catetose hipotenusa,perosi ladomayor,...

3. Observalafigurade laderecha,lostressegmentosrepresentanlosladosde untriángulo(encasode
que exista).
Para facilitarlaconstrucciónse representael ladomayor(verde) enhorizontal,alaizquierda(azul) el
medianoya la derecha(rojo) el menor.
Compruebaque si el cuadradodel ladomayor esmayor que lasuma de loscuadrados de losotros dos,
el triánguloesobtusángulo.Acutángulosi el cuadradodel ladomayoresmenorque lasuma de los
cuadrados de losotrosdos.
El triánguloesrectángulosi el cuadradodel mayoresigual a la suma del cuadradode losotros dos.
Si llamamosa,al ladomayor, b al medianoyc al pequeño.Se calculaa2 y se comparacon b2 + c2 .
a2 > b2 + c2 Obtusángulo a2 = b2 + c2 Rectángulo a2 < b2 + c2 Acutángulo
3.- En muchas figurasgeométricaspodemosaplicarel Teoremade Pitágorasparacalculardimensiones
desconocidas.
El ladode un triánguloequiláteroes4cm. ¿Cuántovale la altura?
Comovesen lafigurapuede aplicarse el Teoremade Pitágorasconstruyendountriángulorectángulo
por el puntomediode unode loslados.
Eventos de probabilidad
Las Probabilidadespertenecenalarama de lamatemáticaque estudiaciertosexperimentosllamados
aleatorios,o searegidosporel azar, enque se conocentodos losresultadosposibles,peronoesposible
tenercertezade cuál seráenparticularel resultadodel experimento.Porejemplo,experimentos
aleatorioscotidianossonel lanzamientode unamoneda,el lanzamientode undado,extracciónde una
carta de un mazode naipes.
Evento o Suceso.Se llamaeventoosucesoa todo subconjuntode unespaciomuestral.
Eventos mutuamente excluyentes.- Doseventossonmutuamente excluyentessi nopuedenocurriren
formasimultánea,estoes,si ysólosi su intersecciónesvacía.
Eventos Complementarios.- Si A B = y A B = E, se dice que A y B son eventoscomplementarios:
Ac = B y
Bc = A