Tema 1: Revisión de conceptos: Análisis Vectorial
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Teoría de Campos Electromagnéticos Tema 1: Revisión de conceptos: Análisis Vectorial - Sistema de coordenadas y su transformación - Cálculo aplicado a vectores
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- 7. Vector Unitario Vector 𝑨: magnitud (escalar 𝑨 ) y dirección Vector unitario 𝒂 𝐴: vector cuya magnitud equivale a la unidad y cuya dirección sigue la dirección de 𝑨 𝒂 𝐴 = 𝑨 𝑨 • Representación • Componentes
- 8. Adición y Sustracción de Vectores SUMA SUSTRACCIÓN Regla del paralelogramo Regla del triángulo Regla del triángulo Propiedades: • Conmutativa • Asociativa • Distributiva
- 9. Multiplicación de Vectores Producto Punto o Escalar (𝑨 ∙ 𝑩): (def. geométrica) producto de las magnitudes de 𝑨 y 𝑩 y el cosemo del ángulo entre ellos 𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴𝐵 cos 𝜃 𝐴𝐵 Si: 𝑨 = (𝐴 𝑥, 𝐴 𝑦, 𝐴 𝑧) 𝑩 = (𝐵𝑥, 𝐵𝑦, 𝐵𝑧) 𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴 𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴 𝑧 𝐵𝑧 Propiedades: • Conmutativa • Distributiva Vectores ortogonales: 𝑨 ∙ 𝑩 = 𝟎
- 10. Multiplicación de Vectores Producto Cruz o vectorial (𝑨 × 𝑩): cantidad vectorial cuya magnitud es el área del paralelogramo formado por 𝑨 y 𝑩 y cuya dirección equivale a la dirección de avance de un tornillo de rosca derecha cuando 𝑨 se hace girar hacia 𝑩. 𝑨 × 𝑩 = 𝐴𝐵 sen 𝜃 𝐴𝐵 𝒂 𝑛 Si: 𝑨 = (𝐴 𝑥, 𝐴 𝑦, 𝐴 𝑧) 𝑩 = (𝐵𝑥, 𝐵𝑦, 𝐵𝑧) 𝑨 × 𝑩 = 𝒂 𝑥 𝒂 𝑦 𝒂 𝑧 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 𝐴 𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 Propiedades: • No Conmutativo • No asociativo • Distributivo • 𝑨 × 𝑨 = 0
- 11. Multiplicación de Vectores Triple Producto Escalar: 𝑨 ∙ 𝑩 × 𝑪 = 𝑩 ∙ 𝑪 × 𝑨 = 𝑪 ∙ (𝑨 × 𝑩) Si: 𝑨 = (𝐴 𝑥, 𝐴 𝑦, 𝐴 𝑧) 𝑩 = (𝐵𝑥, 𝐵𝑦, 𝐵𝑧) 𝑪 = (𝐶 𝑥, 𝐶 𝑦, 𝐶𝑧) 𝑨 ∙ 𝑩 × 𝑪 = 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 𝐴 𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐶 𝑥 𝐶 𝑦 𝐶𝑧 𝑨 × 𝑩 × 𝑪 = 𝑩 𝑨 ∙ 𝑪 − 𝑪(𝑨 ∙ 𝑩)Triple ProductoVectorial:
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- 13. Sistema ortogonal Aquel cuyas coordenadas son mutuamente perpendiculares Cartesiano (Rectangular) Cilíndrico circular Esférico Cilíndrico Esférico Cilíndrico Parabólico Cónico Esferoidal alargado Esferoidal achatado y elipsoidal
- 14. Coordenadas Cartesianas (x, y, z) 𝐴 𝑥 𝒂 𝑥 + 𝐴 𝑦 𝒂 𝑦 + 𝐴 𝑧 𝒂 𝑧 −∞ < 𝑥, 𝑦, 𝑧 < ∞
- 15. Coordenadas Cilíndricas circulares (𝜌, 𝜙, 𝑧) 0 ≤ 𝜌 < ∞ 0 ≤ 𝜙 < 2𝜋 −∞ ≤ 𝑧 < ∞ 𝐴 𝜌 𝒂 𝜌 + 𝐴 𝜙 𝒂 𝜙 + 𝐴 𝑧 𝒂 𝑧
- 16. Transformación de Coordenadas Cilíndricas – Rectangulares 𝜌 = 𝑥2 + 𝑦2 𝜙 = tan−1 𝑦 𝑥 𝑧 = 𝑧 Rectangulares a Cilíndricas 𝑥 = 𝜌 cos 𝜙 𝑦 = 𝜌 sen 𝜙 𝑧 = 𝑧 Cilíndricas a Rectangulares
- 17. Coordenadas Esféricas (𝑟, 𝜃, 𝜙) 0 ≤ 𝑟 < ∞ 0 ≤ 𝜃 < 𝜋 0 ≤ 𝜙 < 2𝜋 𝐴 𝑟 𝒂 𝑟 + 𝐴 𝜃 𝒂 𝜃 + 𝐴 𝜙 𝒂 𝜙
- 18. Transformación Coordenadas Esféricas – Rectangulares 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝜃 = tan−1 𝑥2 + 𝑦2 𝑧 𝜙 = tan−1 𝑦 𝑥 Rectangulares a Esféricas 𝑥 = 𝑟 sen 𝜃 cos 𝜙 𝑦 = 𝑟 sen 𝜃 sen 𝜙 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 Esféricas a Rectangulares
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- 24. C. Rectangulares Desplazamiento diferencial 𝒅𝐥 = 𝑑𝑥 𝒂 𝑥 + 𝑑𝑦 𝒂 𝑦 + 𝑑𝑧 𝒂 𝑧 Área normal diferencial Volumen diferencial d𝐒 = 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝒂 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝒂 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝒂 𝑧 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
- 25. C. Cilíndricas Desplazamiento diferencial 𝒅𝐥 = 𝑑𝜌 𝒂 𝜌 + 𝜌 𝑑𝜙 𝒂 𝜙 + 𝑑𝑧 𝒂 𝑧 Área normal diferencial Volumen diferencial d𝐒 = 𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝑧 𝒂 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝑧 𝒂 𝜙 ρ 𝑑𝜙 𝑑𝜌 𝒂 𝑧 𝑑𝑣 = 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝑧
- 26. C. Esféricas Desplazamiento diferencial 𝒅𝐥 = 𝑑𝑟 𝒂 𝑟 + 𝑟 𝑑𝜃 𝒂 𝜃 + r sen θ 𝑑𝜙 𝒂 𝜙 Área normal diferencial Volumen diferencial d𝐒 = 𝑟2 sen 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝒂 𝑟 r sen θ 𝑑𝑟 𝑑𝜙 𝒂 𝜃 r 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝒂 𝜙 𝑑𝑣 = 𝑟2 sen 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜙
- 28. Integral de línea 𝐿 𝑨 ∙ 𝑑𝐥 es la integral de la componente tangencial de 𝑨 a lo largo de la curva L. න 𝐿 𝑨 ∙ 𝑑𝐥 = න 𝑎 𝑏 𝑨 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝑙 A campo vectorial L curva
- 29. Integral de superficie y volumen Integral de superficie: 𝜓 = න 𝑆 𝑨 ∙ 𝑑𝑺 Integral de volumen: න 𝑣 𝜌 𝑣 𝑑𝑣
- 30. Operador gradiente (𝛻) 𝛻 = 𝜕 𝜕𝑥 𝒂 𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝒂 𝑦 + 𝜕 𝜕𝑧 𝒂 𝑧 Operador útil para definir: 1. El gradiente de un escalarV, el cual se escribe 𝛻𝑉. 2. La divergencia de un vector 𝑨, la cual se escribe 𝛻 ∙ 𝑨 3. El rotacional de un vector 𝑨, el cual se escribe 𝛻 × 𝑨 4. El laplaciano de un escalar 𝑉, el cual se escribe 𝛻2 𝑉. 𝛻 = 𝒂 𝜌 𝜕 𝜕𝜌 + 𝒂 𝜙 1 𝜌 𝜕 𝜕𝜙 + 𝒂 𝑧 𝜕 𝜕𝑧 C. cilíndricas: 𝛻 = 𝒂 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 + 𝒂 𝜃 1 𝑟 𝜕 𝜕𝜃 + 𝒂 𝜙 1 𝑟 sen 𝜃 𝜕 𝜕𝜙 C. esféricas:
- 31. Gradiente de un Escalar El gradiente de un campo escalar 𝑉 es un vector que representa tanto la magnitud como la dirección de la máxima rapidez de incremento espacial de 𝑉. 𝛻𝑉 = 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝒂 𝑥 + 𝜕𝑉 𝜕𝑦 𝒂 𝑦 + 𝜕𝑉 𝜕𝑧 𝒂 𝑧C. rectangulares: 𝛻𝑉 = 𝒂 𝜌 𝜕𝑉 𝜕𝜌 + 𝒂 𝜙 1 𝜌 𝜕𝑉 𝜕𝜙 + 𝒂 𝑧 𝜕𝑉 𝜕𝑧 C. cilíndricas: 𝛻𝑉 = 𝒂 𝑟 𝜕𝑉 𝜕𝑟 + 𝒂 𝜃 1 𝑟 𝜕𝑉 𝜕𝜃 + 𝒂 𝜙 1 𝑟 sen 𝜃 𝜕𝑉 𝜕𝜙 C. esféricas:
- 32. Divergencia de un vector La divergencia de 𝑨 en un punto dado P es el flujo hacia fuera por unidad de volumen a medida que el volumen se contrae alrededor de P. 𝛻 ∙ 𝑨 = 𝜕𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝐴 𝑧 𝜕𝑥 C. rectangulares: 𝛻 ∙ 𝑨 = 1 𝜌 𝜕 𝜕𝜌 (𝜌 𝐴 𝜌) + 1 𝜌 𝜕𝐴 𝜙 𝜕𝜙 + 𝒂 𝑧 𝜕𝐴 𝑧 𝜕𝑧 C. cilíndricas: 𝛻 ∙ 𝑨 = 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2 𝐴 𝑟) + 1 𝑟 sen 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 (𝐴 𝜃 sen 𝜃) + 1 𝑟 sen 𝜃 𝜕𝐴 𝜙 𝜕𝜙 C. esféricas:
- 33. Teorema de la Divergencia El teorema de la divergencia establece que el flujo total hacia fuera de un campo vectorial 𝑨 a través de la superficie cerrada 𝑆 equivale a la integral de volumen de la divergencia de 𝑨. ර 𝑆 𝑨 ∙ 𝑑𝑺 = න 𝑣 𝛻 ∙ 𝑨 𝑑𝑣
- 34. Rotacional de un vector El rotacional de 𝑨 es un vector axial (o rotacional) cuya magnitud es la circulación máxima de 𝑨 por unidad de área conforme el área tiende a cero y cuya dirección es la dirección normal del área cuando el área se orienta de tal forma que de ello resulta la circulación máxima. 𝛻 × 𝑨 = 𝜕𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒂 𝑥 + 𝜕𝐴 𝑥 𝜕𝑧 − 𝜕𝐴 𝑧 𝜕𝑥 𝒂 𝑦 + 𝜕𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒂 𝑧 C. Rectangulares 𝛻 × 𝑨 = 1 𝜌 𝜕𝐴 𝑧 𝜕𝜙 − 𝜕𝐴 𝜙 𝜕𝑧 𝒂 𝜌 + 𝜕𝐴 𝜌 𝜕𝑧 − 𝜕𝐴 𝑧 𝜕𝜌 𝒂 𝜙 + 1 𝜌 𝜕(𝜌𝐴 𝜙) 𝜕𝜌 − 𝜕𝐴 𝜌 𝜕𝜙 𝒂 𝑧 C. Cilíndricas 𝛻 × 𝑨 = C. Esféricas
- 35. Teorema de Stokes El teorema de Stokes establece que la circulación de un campo vectorial 𝑨 alrededor de una trayectoria (cerrada) 𝐿 es igual a la integral de superficie del rotacional de 𝑨 sobre la superficie abierta 𝑆 circunscrita por 𝐿, siempre que 𝑨 y 𝛻 × 𝑨 sean continuos en 𝑆. ර 𝐿 𝑨 ∙ 𝑑𝐥 = න 𝑆 (𝛻 × 𝑨) ∙ 𝑑𝑺
- 36. Laplaciano de un Escalar El laplaciano de un campo escalar 𝑉, el cual se escribe 𝛻2 𝑉, es la divergencia del gradiente de 𝑉. 𝛻2 𝑉 = 𝜕2 𝑉 𝜕𝑥2 𝒂 𝑥 + 𝜕2 𝑉 𝜕𝑦2 𝒂 𝑦 + 𝜕2 𝑉 𝜕𝑧2 𝒂 𝑧 C. rectangulares:
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