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Vector unitario tema 03
- 1. Mo. Carlos GoñyAmeri TEMA 03 VECTORES UNITARIOS DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES COSENOS DIRECTORES
- 2. 𝒙 𝒚 𝑷 𝑸 Análisis Vectorial 𝑨 =𝑸 − 𝑷 𝑨 𝑸 = 𝑷+𝑨 𝑨 = 𝑷𝑸 𝑷 𝟏, 𝑷 𝟐 𝑸 𝟏, 𝑸 𝟐
- 3. VECTOR UNITARIO En eldiagrama se observa un vector 𝑨 ; si en la misma dirección de 𝑨 trazamos otro vector 𝒖 𝑨 de módulo igual a la unidad diremos que 𝒖 𝑨 es el vector unitario 𝑨. 𝐴 𝒖 𝑨 𝐴 𝒖 𝑨 = 𝑨 𝑨 Vector unitario se define: 𝒙 𝒚 Donde el vertor unitario 𝒖 𝑨 tiene la misma Dirección del vector 𝑨 y su módulo es 1. 𝒖 𝑨 = 𝟏
- 4. Ejemplo: En elpunto inicial de un vector P(2,2) y el punto final Q(6,5). Hallar el vector unitario 𝐏𝐐. 𝒖 𝑷𝑸 𝒖 𝑷𝑸 = 𝑷𝑸 𝑷𝑸 𝒙 𝒚 𝟐 𝟐 𝟓 𝟔 P(2,2) Q(6,5) Hallando el vector : 𝐏𝐐 𝐏𝐐 = 𝐐 − 𝐏 𝐏𝐐 = 𝟔, 𝟓 − (𝟐, 𝟐) 𝐏𝐐 = (𝟒, 𝟑) 𝑷𝑸 = 𝟒 𝟐 + 𝟑 𝟐 = 𝟓 = (𝟒, 𝟑) 𝟓 ∴ 𝒖 𝑷𝑸= 4 5 , 3 5
- 5. DESCOMPOSICION DE VECTORESEN COORDENADAS CARTESIANAS.
- 6. En diagrama muestratres fuerzas coplanares concurrentes, calcule el módulo de la fuerza resultante y su vector unitario. 𝐮 𝐑 = 𝐑 𝐑 = (𝟏, 𝟔) 𝟑𝟕 = 𝟏 𝟑𝟕 , 𝟔 𝟑𝟕 𝒙 = 𝟖 − 𝟑 − 𝟒 = 𝟏 𝒚 = 𝟔 + 𝟒 − 𝟒 = 𝟔 𝐑 = (𝟏, 𝟔) 𝐑 = 𝟏 𝟐 + 𝟔 𝟐 𝐑 = 𝟑𝟕 𝟖 𝟔𝟒 𝟑 𝟒 𝟒
- 11. 𝒙 𝒚 𝒛 𝜶 𝜸 𝜷 𝑨 𝑨 𝒙 𝑨 𝒛 𝑨𝒚 COSENOS DIRECTORES
- 12. 𝑨 𝒙 𝑨 𝜶 𝑨 𝒙 𝑪𝑶𝑺𝜶= 𝑨 𝑥 𝑨 ∴ 𝑨 𝒙= 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜶
- 13. 𝑨 𝒚 𝑨 𝒚 𝑨 𝜷 𝑪𝑶𝑺𝜷= 𝑨 𝑦 𝑨 ∴ 𝑨 𝒚 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜷
- 14. 𝑨 𝒛 𝑨 𝒛 𝑨 𝜸 𝑪𝑶𝑺𝜸= 𝑨 𝒛 𝑨 ∴ 𝑨 𝒛 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜸
- 15. 𝑨 𝒙 =𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝑨 𝒚 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝑨 𝒛 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜸 𝑨 = (𝑨 𝒙 , 𝑨 𝒚, 𝑨 𝒛)
- 16. 𝑪𝑶𝑺𝜶 = 𝑨 𝒙 𝑨 𝑪𝑶𝑺𝜷= 𝑨 𝒚 𝑨 𝑪𝑶𝑺𝜸 = 𝑨 𝒛 𝑨 𝑪𝑶𝑺2 𝜶 + 𝑪𝑶𝑺2 𝜷 + 𝑪𝑶𝑺2 𝜸 = 𝑨 𝒙 𝑨 2 + 𝑨 𝒚 𝑨 2 + 𝑨 𝒛 𝑨 2 𝑪𝑶𝑺2 𝜶 + 𝑪𝑶𝑺2 𝜷 + 𝑪𝑶𝑺2 𝜸 = 𝑨 𝒙 2 + 𝑨 𝒚 2 + 𝑨 𝒛 2 𝑨 2 𝑪𝑶𝑺2 𝜶 + 𝑪𝑶𝑺2 𝜷 + 𝑪𝑶𝑺2 𝜸 = 𝑨 2 𝑨 2 = 1 ∴ 𝑪𝑶𝑺 𝟐 𝜶 + 𝑪𝑶𝑺 𝟐 𝜷 + 𝑪𝑶𝑺 𝟐 𝜸 = 𝟏
- 18. 𝒖 𝑨 = 𝑨 𝑨 𝒖𝑨 = 𝑨 𝒙 𝒊 + 𝑨 𝒚 𝒋 + 𝑨 𝒛 𝒌 𝑨 𝒖 𝑨 = 𝑨 𝒙 𝑨 𝒊 + 𝑨 𝑦 𝑨 𝑗 + 𝑨 𝑧 𝑨 𝑘 𝒖 𝑨 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝑨 𝒊 + 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝑨 𝑗 + 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜸 𝑨 𝑘 ∴ 𝒖 𝑨= 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝑗 + 𝒄𝒐𝒔𝜸 𝑘 𝑨 = 𝑨 𝒖 𝑨 𝑨 = 𝑨 (𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝑗 + 𝒄𝒐𝒔𝜸 𝑘) 𝑨 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒊 + 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝑗 + 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜸 𝑘 ∴ 𝑨 = 𝑨 𝒙 𝒊 + 𝑨 𝑦 𝑗 + 𝑨 𝑧 𝑘 PROPIEDAD 01 PROPIEDAD 02 ∴ 𝒖 𝑨= (𝒄𝒐𝒔𝜶 , 𝒄𝒐𝒔𝜷 , 𝒄𝒐𝒔𝜸 ) ∴ 𝑨 = (𝑨 𝒙 , 𝑨 𝑦 , 𝑨 𝑧 )
- 19. 𝑨′ = 𝑨 𝒔𝒆𝒏∅ 𝑨𝒛 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔∅ Ahora, al aplicar trigonometría al otro TRIÁNGULO RECTÁNGULO INFERIOR sombreado. Algunas veces, la dirección de 𝐀 puede especificarse mediante dos ángulos, 𝜽 y ∅ ,como se muestra en la figura, entonces, las componentes de 𝐀 pueden determinarse al aplicar primero trigonometría al TRIÁNGULO RECTÁNGULO SUPERIOR, de donde se obtiene. 𝑨 𝒙 = 𝑨′ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏∅ 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝑨 𝒚 = 𝑨′ 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒔𝒊 𝑨 = 𝑨 𝒙 𝒊 + 𝑨 𝒚 𝒋 + 𝑨 𝒛 𝒌 𝑨 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏∅ 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒊 + 𝑨 𝒔𝒆𝒏∅ 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒋 + 𝑨 𝒄𝒐𝒔∅𝒌 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏∅ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ∴ 𝑨 = 𝑨 (𝒄𝒐𝒔∅𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔∅𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒋 + 𝒄𝒐𝒔∅ 𝒌 )
- 21. 𝑨 = 𝑨(𝒄𝒐𝒔∅𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔∅𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒋 + 𝒄𝒐𝒔∅ 𝒌 ) 𝑨 = 𝟏𝟎𝟎 (𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎°𝒄𝒐𝒔(−𝟒𝟓°) 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎°𝒔𝒆𝒏(−𝟒𝟓°) 𝒋 + 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° 𝒌 ) 𝑨 = 𝟏𝟎𝟎 ( 𝟎. 𝟔𝟏 𝒊 − 𝟎. 𝟔𝟏 𝒋 + 𝟎. 𝟖𝟕 𝒌 ) 𝑨 = 𝟔𝟏 𝒊 + 𝟔𝟏 𝒋 + 𝟖𝟕 𝒌