El documento describe las diferentes formas de representar una recta en el espacio tridimensional R3. Explica que dos puntos determinan una recta y cómo calcular su ecuación vectorial. Luego presenta las ecuaciones paramétricas y simétrica de una recta, y define cuando dos rectas son paralelas o perpendiculares. Por último, resuelve ejercicios aplicando estos conceptos.

1. RECTAS EN ℝ 𝟑
1. Introducción
En el plano ℝ 𝟐
se puede encontrar la ecuación de la recta si se conocen dos puntos sobre la recta, o bien,
un punto y la pendiente de la misma. En ℝ 𝟑
la intuición dice que las ideas básicas son las mismas. Como
dos puntos determinan una recta, debe poderse calcular la ecuación de una recta en el espacio si se
conocen dos puntos sobre ella. De manera alternativa, si se conoce un punto y la dirección de una recta,
también debe de ser posible encontrar su ecuación.
Comenzamos con dos puntos 𝑃 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y 𝑄 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) sobre una recta 𝐿. Un vector paralelo a 𝐿
es aquel con representación 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ . Entonces
𝐯 = (𝑥2 − 𝑥1)𝐢 + (𝑦2 − 𝑦1)𝐣 + (𝑧2 − 𝑧1)𝐤
es un vector paralelo a 𝐿. Ahora sea 𝑅 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) otro punto sobre la recta. Entonces 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ es paralelo a
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ , que a su vez es paralelo a 𝐯, de manera que 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡𝐯 para algún número real 𝑡. Las figuras muestran
los tres posibles casos.
En los tres casos 𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ , que al reemplazar 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ se tiene 𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑡𝐯
2. Ecuación vectorial de la recta
Los puntos 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) que están en la recta ℒ que pasa por 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) y es paralela al vector 𝑣 =
(𝑎, 𝑏, 𝑐) (llamado vector director), satisfacen la ecuación
ℒ ∶ 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡𝑣, 𝑡 ∈ ℝ
3. Ecuaciones paramétricas de la recta
En la ecuación vectorial tenemos (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + 𝑡(𝑎, 𝑏, 𝑐), de donde
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏
𝑧 = 𝑧0 + 𝑡𝑐
que son las ecuaciones paramétricas de la recta.
4. Ecuación simétrica de la recta
Eliminado el parámetro 𝑡 de las ecuaciones paramétricas de la recta, se tiene:
𝑥 − 𝑥0
𝑎
=
𝑦 − 𝑦0
𝑏
=
𝑧 − 𝑧0
𝑐
llamada la ecuación simétrica de la recta.
𝑦 𝑦 𝑦
𝑥 𝑥 𝑥
𝑧 𝑧 𝑧
𝑅
𝑃
𝑄
0 𝑃
𝑄
𝑅
0
𝑄
0𝑃
𝑅

2. 5. Rectas paralelas y rectas perpendiculares
Dos rectas son paralelas si sus vectores directores lo son, es decir:
𝐿1 ∶ 𝑃 = 𝑃1 + 𝑡𝑣1 ∕∕ 𝐿2 ∶ 𝑃 = 𝑃2 + 𝑡𝑣2 ⟺ 𝑣1 ∕∕ 𝑣2 ⟺ 𝑣1 × 𝑣2 = 𝟎
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores lo son, es decir:
𝐿1: 𝑃 = 𝑃1 + 𝑡𝑣1 ⊥ 𝐿2: 𝑃 = 𝑃2 + 𝑡𝑣2 ⟺ 𝑣1 ⊥ 𝑣2 ⟺ 𝑣1 ∙ 𝑣2 = 0
6. Ejercicios resueltos
a) Hallar la ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y simétrica de la recta que pasa por el punto 𝑃0 =
(−1,2,1) y cuyo vector director es 𝑣 = (4,5, −1)
Solución
Ecuación vectorial: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1,2,1) + 𝑡(4,5, −1)
Ecuaciones paramétricas:
𝑥 = −1 + 4𝑡
𝑦 = 2 + 5𝑡
𝑧 = 1 − 𝑡
Ecuación simétrica:
𝑥+1
4
=
𝑦−2
5
=
𝑧−1
−1
b) Hallar la ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y simétrica de la recta que pasa por los puntos
𝐴 = (3, −1,2), 𝐵 = (1,2,4)
Solución
El vector director 𝑣 = (−2,3,2) y elegimos el punto de paso 𝐴 = (3, −1,2)
Ecuación vectorial: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3, −1,2) + 𝑡(−2,3,2)
Ecuaciones paramétricas:
𝑥 = 3 − 2𝑡
𝑦 = −1 + 3𝑡
𝑧 = 2 + 2𝑡
Ecuación simétrica:
𝑥−3
−2
=
𝑦+1
3
=
𝑧−2
2
c) Halla la ecuación simétrica de la recta ℒ1 que pasa por el punto 𝑃0 = (2,1,4) y que es paralela a la
recta ℒ: 𝑥 = 3𝑡, 𝑦 = −2 + 4𝑡, 𝑧 = −5𝑡, 𝑡 ∈ ℝ
Solución
El vector director de la recta ℒ es 𝑣 = (3,4, −5). Como la recta ℒ1 es paralela a la recta ℒ entonces el
vector director de ℒ1 es 𝑣 = (3,4, −5).
Así la ecuación simétrica será:
𝑥−2
3
=
𝑦−1
4
=
𝑧−4
−5
d) Halla la ecuación de la recta ℒ que intercepta en ángulo recto a la recta ℒ1: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2,3) +
𝑡(2,1, −1), 𝑡 ∈ ℝ y que pasa por el punto 𝐴 = (1,0,2)
Solución
Sea 𝑃 ∈ ℒ ∩ ℒ1, entonces 𝑃 ∈ ℒ y 𝑃 ∈ ℒ1
Si 𝑃 ∈ ℒ1 entonces, 𝑃 = (1 + 2𝑡, 2 + 𝑡, 3 − 𝑡)
Además 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃 − 𝐴 = (1 + 2𝑡, 2 + 𝑡, 3 − 𝑡) − (1,0,2) = (2𝑡, 2 + 𝑡, 1 − 𝑡).
Como ℒ ⊥ ℒ1 se tiene que
(2𝑡, 2 + 𝑡, 1 − 𝑡) ∙ (2,1, −1) = 0 → 𝑡 = −
1
6
Luego 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = (
−2
6
,
11
6
,
7
6
) =
1
6
(−2,11,7), por lo tanto la ecuación de la recta ℒ es
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,0,2) + 𝑟(−2,11,7), 𝑟 ∈ ℝ
ℒ
𝑃
𝐴
ℒ1
𝑣