Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de geometría vectorial y analítica en dos capítulos. El capítulo 1 introduce vectores geométricos en el plano, incluyendo suma, producto por escalar, descomposición y proyección de vectores. El capítulo 2 describe vectores coordenados o algebraicos en R2, con definiciones de suma, producto por escalar, magnitud, dirección y otros conceptos clave.
Este documento presenta 60 problemas de física sobre el equilibrio de cuerpos sometidos a fuerzas y momentos. Los problemas cubren conceptos como determinar fuerzas resultantes, momentos con respecto a ejes y puntos, y representar sistemas de fuerzas como fuerzas y pares equivalentes. El documento proporciona una variedad de ejemplos para practicar el análisis estático de cuerpos bajo la acción de fuerzas.
Este documento describe un experimento para comprobar las condiciones de equilibrio de un sistema de fuerzas concurrentes. Se realizaron 3 experimentos usando pesas y poleas para aplicar fuerzas concurrentes a un punto. Se midieron los ángulos y magnitudes de las fuerzas, y se verificó que su suma resulta en cero, comprobando así la condición de equilibrio. Se analizaron los errores entre los valores teóricos y experimentales.
Este documento presenta información sobre fuerzas en estática. Define fuerza como todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o forma de los cuerpos. Explica que una fuerza tiene intensidad, dirección y punto de aplicación. También cubre clases de fuerzas, unidades de fuerza, resultante de fuerzas, descomposición de fuerzas y momento de fuerza. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta una guía de aplicaciones de la derivada que incluye ejercicios resueltos. Comienza con un prólogo dirigido a los estudiantes, luego presenta fórmulas de áreas, perímetros y volúmenes, fórmulas trigonométricas y una tabla de derivadas. También incluye definiciones y teoremas sobre derivadas. El contenido principal son dos capítulos con enunciados y resoluciones de ejercicios sobre derivadas y optimización. Finaliza con apéndices sobre unidades y ejercicios sug
Informe de laboratorio 1 errores y medicionesBoris Seminario
Este informe de laboratorio describe tres experimentos realizados para determinar errores y mediciones en física. El primer experimento midió el número de frijoles en puñados repetidos para determinar la incertidumbre. El segundo experimento midió un paralelepípedo con regla y vernier para comparar errores. El tercer experimento varió la longitud de un péndulo para relacionar período y longitud.
Este documento trata sobre el cálculo de derivadas parciales y derivadas direccionales. Explica que una curva braquistócrona es la trayectoria más rápida entre dos puntos bajo la acción de la gravedad. También cubre conceptos como el plano tangente, la recta normal y cómo calcular sus ecuaciones. Finalmente, proporciona definiciones y propiedades de la derivada direccional.
El maquinista de un tren frena al ver que se acerca a otro tren más lento. Para que ocurra un choque, la distancia inicial entre los trenes debe cumplir que sea menor a la distancia recorrida por el tren más rápido menos la distancia recorrida por el más lento, dividido por la aceleración de frenado del tren más rápido. De lo contrario, el tren frenado alcanzará a detenerse antes del posible choque.
Este documento presenta conceptos clave sobre la rotación de cuerpos rígidos, incluyendo el momento de inercia, energía cinética rotacional, trabajo y potencia rotacionales, y la aplicación del principio de conservación de la energía a problemas que involucran rotación. El objetivo es definir estas ideas fundamentales y aplicarlas a la solución de problemas físicos relacionados con la rotación de objetos.
Este documento presenta 60 problemas de física sobre el equilibrio de cuerpos sometidos a fuerzas y momentos. Los problemas cubren conceptos como determinar fuerzas resultantes, momentos con respecto a ejes y puntos, y representar sistemas de fuerzas como fuerzas y pares equivalentes. El documento proporciona una variedad de ejemplos para practicar el análisis estático de cuerpos bajo la acción de fuerzas.
Este documento describe un experimento para comprobar las condiciones de equilibrio de un sistema de fuerzas concurrentes. Se realizaron 3 experimentos usando pesas y poleas para aplicar fuerzas concurrentes a un punto. Se midieron los ángulos y magnitudes de las fuerzas, y se verificó que su suma resulta en cero, comprobando así la condición de equilibrio. Se analizaron los errores entre los valores teóricos y experimentales.
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Este documento presenta una guía de aplicaciones de la derivada que incluye ejercicios resueltos. Comienza con un prólogo dirigido a los estudiantes, luego presenta fórmulas de áreas, perímetros y volúmenes, fórmulas trigonométricas y una tabla de derivadas. También incluye definiciones y teoremas sobre derivadas. El contenido principal son dos capítulos con enunciados y resoluciones de ejercicios sobre derivadas y optimización. Finaliza con apéndices sobre unidades y ejercicios sug
Informe de laboratorio 1 errores y medicionesBoris Seminario
Este informe de laboratorio describe tres experimentos realizados para determinar errores y mediciones en física. El primer experimento midió el número de frijoles en puñados repetidos para determinar la incertidumbre. El segundo experimento midió un paralelepípedo con regla y vernier para comparar errores. El tercer experimento varió la longitud de un péndulo para relacionar período y longitud.
Este documento trata sobre el cálculo de derivadas parciales y derivadas direccionales. Explica que una curva braquistócrona es la trayectoria más rápida entre dos puntos bajo la acción de la gravedad. También cubre conceptos como el plano tangente, la recta normal y cómo calcular sus ecuaciones. Finalmente, proporciona definiciones y propiedades de la derivada direccional.
El maquinista de un tren frena al ver que se acerca a otro tren más lento. Para que ocurra un choque, la distancia inicial entre los trenes debe cumplir que sea menor a la distancia recorrida por el tren más rápido menos la distancia recorrida por el más lento, dividido por la aceleración de frenado del tren más rápido. De lo contrario, el tren frenado alcanzará a detenerse antes del posible choque.
Este documento presenta conceptos clave sobre la rotación de cuerpos rígidos, incluyendo el momento de inercia, energía cinética rotacional, trabajo y potencia rotacionales, y la aplicación del principio de conservación de la energía a problemas que involucran rotación. El objetivo es definir estas ideas fundamentales y aplicarlas a la solución de problemas físicos relacionados con la rotación de objetos.
Este documento presenta los resultados de un experimento sobre mediciones directas e indirectas y su análisis estadístico. Se midieron propiedades físicas de cilindros y esferas y se calcularon volúmenes y áreas, expresando los resultados con sus errores. Luego, se realizaron 100 mediciones de longitud para construir un histograma, calcular valores estadísticos como el promedio y desviación estándar, y trazar una curva de Gauss, concluyendo que la distribución es gaussiana y que mayor cantidad de datos reduce el error.
Este documento trata sobre funciones de varias variables. Introduce conceptos como función vectorial, función escalar, dominio de una función, conjunto de nivel, límites de funciones de varias variables, y continuidad. El objetivo es que los estudiantes comprendan estas nociones y puedan establecer límites, continuidad y derivadas de funciones de dos variables, así como determinar si una función es diferenciable.
Vectores, Características, Producto de un escalar por un vector, Suma de vectores, Propiedades de la suma de vectores,
Componentes de un vector, vectores unitarios, Suma y resta analitica de vectores, Producto escalar, Producto vectorial
Este documento contiene preguntas y ejercicios sobre conceptos básicos del movimiento como desplazamiento, espacio recorrido, trayectoria, posición, velocidad y aceleración. Se pide determinar estas cantidades para diversos escenarios de movimiento rectilíneo y circular, así como completar tablas de posición, velocidad y tiempo. También incluye preguntas conceptuales sobre la naturaleza del movimiento y la influencia del sistema de referencia.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría analítica vectorial. Define vectores y sus características como módulo, dirección y sentido. Explica cómo expresar un vector dado sus puntos extremos, la igualdad y suma de vectores, el módulo y distancia entre puntos. También cubre el producto de un vector por un número y producto escalar.
Las máquinas simples son mecanismos que se usan para transmitir fuerzas de manera que sus direcciones y magnitudes pueden cambiar pero nunca aumentar el trabajo producido. Algunas máquinas simples comunes son la palanca, la rampa y el plano inclinado, las cuales se usan para vencer fuerzas resistentes mediante otras llamadas potencias. La ventaja mecánica de una máquina simple es la relación entre la potencia y la resistencia. El documento luego explica detalladamente los tipos y características de la palanca, y proporciona ej
Este documento presenta un manual de física I. Contiene capítulos sobre la historia y desarrollo de la física, incluyendo los modelos del cosmos propuestos por Ptolomeo, Copérnico y Kepler. También cubre temas como la gravitación, vectores, fuerzas y equilibrio. El manual proporciona definiciones, ecuaciones y ejercicios resueltos para cada tema con el fin de introducir conceptos básicos de física a estudiantes.
1. El documento describe las diferencias entre cantidades vectoriales y escalares. Las cantidades vectoriales como la fuerza requieren una dirección y sentido, mientras que las cantidades escalares solo necesitan un valor numérico. 2. Se explican las características de un vector, incluyendo magnitud, dirección y sentido. 3. También se describen métodos gráficos como el triángulo, paralelogramo y polígono para sumar vectores.
Este documento presenta una introducción a los vectores en el espacio tridimensional. Explica los sistemas de coordenadas espaciales, cómo ubicar puntos y representar vectores utilizando vectores base. También define la magnitud y dirección de un vector, y describe las operaciones de producto punto y producto vectorial entre vectores.
1. El documento presenta 7 problemas de física relacionados con el principio de conservación de la energía mecánica. Los problemas involucran conceptos como caída libre, movimiento sobre planos inclinados, fuerzas elásticas y rozamiento.
2. Se resuelven los problemas aplicando las ecuaciones de la energía mecánica inicial y final, y considerando las diferentes formas de energía como cinética, potencial gravitatoria y elástica.
3. Los cálculos conducen a ecuaciones que permiten determinar variables como veloc
El documento presenta varios problemas de mecánica estática que involucran el cálculo de fuerzas y momentos en vigas, palancas y otros objetos sometidos a fuerzas. Los problemas deben resolverse aplicando las condiciones de equilibrio y el principio de momentos para determinar fuerzas y ángulos desconocidos.
El documento presenta la resolución de un problema que involucra hallar la serie de Maclaurin de la función f(x)=xex e integrar término a término entre 0 y 1. Se obtiene la serie de Maclaurin como una suma de potencias de x. Al integrar término a término se llega a la expresión 2/(1-n2)!.
Este documento presenta el análisis de una torre de agua mediante el uso de ecuaciones cuadráticas y cálculo vectorial. Se midieron y tabularon las dimensiones de los cilindros y otros elementos que componen la torre. Luego, se desarrollaron las ecuaciones cartesianas y paramétricas de cada elemento y se graficaron. Finalmente, se calcularon propiedades como el centro de masa, momentos de inercia y volumen, realizando una comparación con Autocad para validar los resultados.
El documento presenta un manual de física para el Laboratorio Didáctico Móvil. [1] Busca estimular la creatividad y el desarrollo de los estudiantes mediante experiencias prácticas seguras y flexibles. [2] Incluye más de 100 prácticas sobre temas como medición, movimiento, fuerzas, óptica, electricidad y magnetismo.
El documento describe los conceptos de momento de una fuerza y equilibrio estático. Explica que el momento de una fuerza con respecto a un punto es igual a la fuerza multiplicada por la distancia a ese punto, y que para que un cuerpo esté en equilibrio, la suma de los momentos de todas las fuerzas aplicadas debe ser cero, además de que la suma de las fuerzas en cada dirección debe ser cero. También cubre el concepto de cupla y cómo dos fuerzas iguales y opuestas pueden causar rotación aun cuando la resultante neta sea cero.
El documento describe conceptos fundamentales de trabajo, energía y fuerza en física. Explica que el trabajo es la transmisión de movimiento por una fuerza, y se define como la fuerza por el desplazamiento. También define la energía cinética como la energía debida al movimiento de un cuerpo, y la energía potencial como la energía almacenada debido a la posición de un cuerpo. Además, introduce la ley de conservación de la energía, que establece que la energía total de un sistema aislado se mantiene constante aunque pueda transform
Este documento presenta información sobre la potencia mecánica. Define la potencia como la rapidez con la que se realiza un trabajo y se mide en vatios. Explica que la potencia depende del trabajo realizado y del tiempo en que se realiza. Proporciona ejemplos de cálculo de potencia y aplicaciones en motores e industrias.
El documento trata sobre límites al infinito de funciones. Explica que un límite al infinito indica a qué valor se aproxima una función cuando su variable independiente crece o decrece indefinidamente. Para funciones polinómicas y racionales, el límite depende del término de mayor grado. También analiza límites infinitos cuando una función aumenta o disminuye sin límite, y cómo calcular límites a partir de una gráfica.
Informe De física I - Velocidad media. Velocidad Instantánea, y aceleraciónJoe Arroyo Suárez
Este documento presenta un informe de laboratorio sobre velocidad media, velocidad instantánea y aceleración. Describe los objetivos y materiales del experimento, así como conceptos teóricos como velocidad media, velocidad instantánea y aceleración. También detalla la metodología para determinar la velocidad instantánea de un móvil en movimiento y su aceleración instantánea a través de mediciones de velocidad y tiempo.
Este documento describe vectores y fuerzas. Explica que los vectores se caracterizan por su módulo, dirección y sentido. También describe cómo sumar y restar vectores geométricamente usando el método del paralelogramo. Finalmente, explica que las fuerzas concurrentes son fuerzas que intersectan en un punto común o comparten el mismo punto de aplicación.
El documento describe las diferencias entre magnitudes escalares y vectoriales, y cómo los vectores requieren una magnitud, dirección y sentido para describirse completamente. También explica cómo representar vectores matemáticamente y define operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de vectores.
Este documento presenta los resultados de un experimento sobre mediciones directas e indirectas y su análisis estadístico. Se midieron propiedades físicas de cilindros y esferas y se calcularon volúmenes y áreas, expresando los resultados con sus errores. Luego, se realizaron 100 mediciones de longitud para construir un histograma, calcular valores estadísticos como el promedio y desviación estándar, y trazar una curva de Gauss, concluyendo que la distribución es gaussiana y que mayor cantidad de datos reduce el error.
Este documento trata sobre funciones de varias variables. Introduce conceptos como función vectorial, función escalar, dominio de una función, conjunto de nivel, límites de funciones de varias variables, y continuidad. El objetivo es que los estudiantes comprendan estas nociones y puedan establecer límites, continuidad y derivadas de funciones de dos variables, así como determinar si una función es diferenciable.
Vectores, Características, Producto de un escalar por un vector, Suma de vectores, Propiedades de la suma de vectores,
Componentes de un vector, vectores unitarios, Suma y resta analitica de vectores, Producto escalar, Producto vectorial
Este documento contiene preguntas y ejercicios sobre conceptos básicos del movimiento como desplazamiento, espacio recorrido, trayectoria, posición, velocidad y aceleración. Se pide determinar estas cantidades para diversos escenarios de movimiento rectilíneo y circular, así como completar tablas de posición, velocidad y tiempo. También incluye preguntas conceptuales sobre la naturaleza del movimiento y la influencia del sistema de referencia.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría analítica vectorial. Define vectores y sus características como módulo, dirección y sentido. Explica cómo expresar un vector dado sus puntos extremos, la igualdad y suma de vectores, el módulo y distancia entre puntos. También cubre el producto de un vector por un número y producto escalar.
Las máquinas simples son mecanismos que se usan para transmitir fuerzas de manera que sus direcciones y magnitudes pueden cambiar pero nunca aumentar el trabajo producido. Algunas máquinas simples comunes son la palanca, la rampa y el plano inclinado, las cuales se usan para vencer fuerzas resistentes mediante otras llamadas potencias. La ventaja mecánica de una máquina simple es la relación entre la potencia y la resistencia. El documento luego explica detalladamente los tipos y características de la palanca, y proporciona ej
Este documento presenta un manual de física I. Contiene capítulos sobre la historia y desarrollo de la física, incluyendo los modelos del cosmos propuestos por Ptolomeo, Copérnico y Kepler. También cubre temas como la gravitación, vectores, fuerzas y equilibrio. El manual proporciona definiciones, ecuaciones y ejercicios resueltos para cada tema con el fin de introducir conceptos básicos de física a estudiantes.
1. El documento describe las diferencias entre cantidades vectoriales y escalares. Las cantidades vectoriales como la fuerza requieren una dirección y sentido, mientras que las cantidades escalares solo necesitan un valor numérico. 2. Se explican las características de un vector, incluyendo magnitud, dirección y sentido. 3. También se describen métodos gráficos como el triángulo, paralelogramo y polígono para sumar vectores.
Este documento presenta una introducción a los vectores en el espacio tridimensional. Explica los sistemas de coordenadas espaciales, cómo ubicar puntos y representar vectores utilizando vectores base. También define la magnitud y dirección de un vector, y describe las operaciones de producto punto y producto vectorial entre vectores.
1. El documento presenta 7 problemas de física relacionados con el principio de conservación de la energía mecánica. Los problemas involucran conceptos como caída libre, movimiento sobre planos inclinados, fuerzas elásticas y rozamiento.
2. Se resuelven los problemas aplicando las ecuaciones de la energía mecánica inicial y final, y considerando las diferentes formas de energía como cinética, potencial gravitatoria y elástica.
3. Los cálculos conducen a ecuaciones que permiten determinar variables como veloc
El documento presenta varios problemas de mecánica estática que involucran el cálculo de fuerzas y momentos en vigas, palancas y otros objetos sometidos a fuerzas. Los problemas deben resolverse aplicando las condiciones de equilibrio y el principio de momentos para determinar fuerzas y ángulos desconocidos.
El documento presenta la resolución de un problema que involucra hallar la serie de Maclaurin de la función f(x)=xex e integrar término a término entre 0 y 1. Se obtiene la serie de Maclaurin como una suma de potencias de x. Al integrar término a término se llega a la expresión 2/(1-n2)!.
Este documento presenta el análisis de una torre de agua mediante el uso de ecuaciones cuadráticas y cálculo vectorial. Se midieron y tabularon las dimensiones de los cilindros y otros elementos que componen la torre. Luego, se desarrollaron las ecuaciones cartesianas y paramétricas de cada elemento y se graficaron. Finalmente, se calcularon propiedades como el centro de masa, momentos de inercia y volumen, realizando una comparación con Autocad para validar los resultados.
El documento presenta un manual de física para el Laboratorio Didáctico Móvil. [1] Busca estimular la creatividad y el desarrollo de los estudiantes mediante experiencias prácticas seguras y flexibles. [2] Incluye más de 100 prácticas sobre temas como medición, movimiento, fuerzas, óptica, electricidad y magnetismo.
El documento describe los conceptos de momento de una fuerza y equilibrio estático. Explica que el momento de una fuerza con respecto a un punto es igual a la fuerza multiplicada por la distancia a ese punto, y que para que un cuerpo esté en equilibrio, la suma de los momentos de todas las fuerzas aplicadas debe ser cero, además de que la suma de las fuerzas en cada dirección debe ser cero. También cubre el concepto de cupla y cómo dos fuerzas iguales y opuestas pueden causar rotación aun cuando la resultante neta sea cero.
El documento describe conceptos fundamentales de trabajo, energía y fuerza en física. Explica que el trabajo es la transmisión de movimiento por una fuerza, y se define como la fuerza por el desplazamiento. También define la energía cinética como la energía debida al movimiento de un cuerpo, y la energía potencial como la energía almacenada debido a la posición de un cuerpo. Además, introduce la ley de conservación de la energía, que establece que la energía total de un sistema aislado se mantiene constante aunque pueda transform
Este documento presenta información sobre la potencia mecánica. Define la potencia como la rapidez con la que se realiza un trabajo y se mide en vatios. Explica que la potencia depende del trabajo realizado y del tiempo en que se realiza. Proporciona ejemplos de cálculo de potencia y aplicaciones en motores e industrias.
El documento trata sobre límites al infinito de funciones. Explica que un límite al infinito indica a qué valor se aproxima una función cuando su variable independiente crece o decrece indefinidamente. Para funciones polinómicas y racionales, el límite depende del término de mayor grado. También analiza límites infinitos cuando una función aumenta o disminuye sin límite, y cómo calcular límites a partir de una gráfica.
Informe De física I - Velocidad media. Velocidad Instantánea, y aceleraciónJoe Arroyo Suárez
Este documento presenta un informe de laboratorio sobre velocidad media, velocidad instantánea y aceleración. Describe los objetivos y materiales del experimento, así como conceptos teóricos como velocidad media, velocidad instantánea y aceleración. También detalla la metodología para determinar la velocidad instantánea de un móvil en movimiento y su aceleración instantánea a través de mediciones de velocidad y tiempo.
Este documento describe vectores y fuerzas. Explica que los vectores se caracterizan por su módulo, dirección y sentido. También describe cómo sumar y restar vectores geométricamente usando el método del paralelogramo. Finalmente, explica que las fuerzas concurrentes son fuerzas que intersectan en un punto común o comparten el mismo punto de aplicación.
El documento describe las diferencias entre magnitudes escalares y vectoriales, y cómo los vectores requieren una magnitud, dirección y sentido para describirse completamente. También explica cómo representar vectores matemáticamente y define operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de vectores.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores en el plano, incluyendo: (1) la definición geométrica de un vector como un desplazamiento, (2) las operaciones de suma y multiplicación por escalar de vectores, y (3) la noción de producto escalar y sus propiedades.
El documento introduce los conceptos de escalares y vectores. Explica que los vectores, a diferencia de los escalares, requieren una magnitud, dirección y sentido para ser completamente especificados. Utiliza el ejemplo de un desplazamiento de una tortuga para ilustrar esto. Luego define las operaciones básicas entre vectores como la suma, resta, multiplicación por un escalar y división por un escalar. Introduce también los conceptos de componentes de un vector y vectores unitarios.
Este documento introduce los conceptos de vectores y escalares. Explica que los vectores, a diferencia de los escalares, requieren más de un número para ser descritos y están asociados con la magnitud y dirección. Define vectores unitarios i y j y explica cómo cualquier vector puede descomponerse como una combinación lineal de estos vectores unitarios.
Las magnitudes físicas pueden ser escalares o vectoriales. Las magnitudes escalares solo requieren un valor numérico para definirse, mientras que las magnitudes vectoriales también necesitan una dirección y sentido. Algunas magnitudes escalares son la temperatura y el tiempo, mientras que magnitudes vectoriales incluyen la velocidad y la fuerza.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores. Explica que un vector geométrico es un segmento de recta dirigido que tiene magnitud, dirección y sentido. También introduce vectores algebraicos, los cuales expresan un vector como un par ordenado de números reales llamados componentes. Finalmente, muestra cómo calcular las componentes y magnitud de un vector algebraico usando el Teorema de Pitágoras.
Este documento introduce conceptos básicos de geometría en el espacio tridimensional como coordenadas de vectores, producto escalar, producto vectorial y sistemas de referencia. Explica que cualquier vector puede expresarse como combinación lineal de tres vectores independientes que forman una base, y que el producto escalar y vectorial de vectores se definen en función de sus coordenadas en una base ortonormal.
Este documento trata sobre vectores y sus operaciones. Define un vector como un segmento orientado determinado por dos puntos, origen y extremo. Explica conceptos como módulo, dirección y sentido de un vector, así como igualdad, suma, resta y producto por un escalar. También cubre coordenadas de vectores, producto escalar, y aplicaciones como calcular el vector entre dos puntos o el punto medio de un segmento.
Este documento describe los elementos básicos de un vector, incluyendo su longitud, dirección y sentido. Explica cómo representar vectores utilizando componentes cartesianas y cómo calcular su módulo. También cubre conceptos como la suma y resta de vectores, vectores unitarios, y representar vectores en términos de vectores unitarios en los ejes x, y y z.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores en R2 y R3. Introduce la noción de vector como segmento dirigido y sus propiedades fundamentales como magnitud, dirección y sentido. Explica la suma y resta de vectores, producto por escalar, producto escalar, vectores ortogonales, proyecciones ortogonales y aplicaciones geométricas de estos conceptos. Finalmente, extiende estos conceptos a vectores en el espacio tridimensional R3.
1. Este documento presenta 20 problemas de álgebra lineal sobre vectores y sus propiedades como ortogonalidad, linealidad, bases y subespacios. Los problemas incluyen demostraciones de identidades como la de Apolonio y desigualdades como la de Bessel, así como hallar vectores, ángulos y combinaciones lineales.
2. Muchos problemas piden demostrar propiedades básicas de vectores como que la suma de dos vectores ortogonales a un tercero también lo es, o que dos vectores son linealmente dependientes si uno es múlt
Este documento describe los conceptos básicos de los vectores, incluyendo sus elementos (dirección, sentido y módulo), adición y sustracción, producto escalar, y producto de un escalar por un vector. Explica cómo calcular el módulo de un vector usando el teorema de Pitágoras, y cómo expresar un vector en términos de los versores i y j. También define el producto escalar de dos vectores.
Un vector es un segmento de recta orientado definido por su dirección, sentido y magnitud. Un vector puede representarse mediante sus coordenadas cartesianas o tridimensionales y caracterizarse por su módulo, dirección y sentido. Existen diferentes tipos de vectores como vectores libres, fijos, unitarios o concurrentes.
Este documento define y explica los conceptos básicos de los grafos, incluyendo los tipos de grafos (dirigidos y no dirigidos), sus representaciones (matriz de adyacencia y lista de adyacencia), y las ventajas y desventajas de cada representación. Explica que un grafo consta de un conjunto de vértices y aristas, y que puede representarse algebraicamente como G=(V,E). También describe las características específicas de los grafos dirigidos y no dirigidos, así como las formas de representar los costos asociados
Este documento presenta los conceptos básicos de vectores en el espacio, incluyendo definiciones de vectores, operaciones como suma y producto por un número, y expresión analítica de vectores mediante coordenadas respecto de una base. Explica que los vectores se representan con flechas sobre letras y que la igualdad de vectores depende de su módulo, dirección y sentido. Además, introduce conceptos como dependencia e independencia lineal de vectores y cómo expresar cualquier vector como combinación lineal de una base.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores, incluyendo: (1) la definición de un vector como un segmento orientado con módulo, dirección y sentido; (2) operaciones con vectores como suma, resta, producto por un escalar; (3) producto escalar de vectores; y (4) algunas aplicaciones como coordenadas de vectores y puntos alineados.
Este documento presenta los conceptos básicos de vectores, incluyendo definiciones de vectores, operaciones con vectores como suma, resta y producto escalar. Explica cómo representar vectores mediante coordenadas respecto de una base y cómo realizar operaciones con vectores usando sus coordenadas. También cubre conceptos como módulo de un vector, ángulo entre vectores, y aplicaciones como calcular el vector entre dos puntos.
Una magnitud física es cualquier cantidad que puede medirse, como distancia, velocidad o temperatura. Las magnitudes se clasifican en escalares, que solo requieren un valor numérico, o vectoriales, que también necesitan una dirección. Las magnitudes vectoriales se representan mediante flechas y su cálculo requiere reglas especiales como la adición y sustracción mediante métodos gráficos.
1. Geometria Analítica y
Vectorial
A b r a h a m A s m a r C h a rri s
P a tri ci a R e s t r e p o d e P e l á e z
R o s a Fran c o Arb elá ez
F ernando Varga s H ernández
2. Resumen
Geometría Vectorial y Analítica.
Una introducción al Algebra Lineal
Abraham Asmar Charris Patricia Restrepo de Peláez Rosa Franco Arbeláez
Fernando Vargas Hernández
Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín.
Capítulo 1. Vectores geométricos en el plano
1.1 Conceptos básicos
V ector geometrico: Segmento de recta orientado o dirigido. Se denota por: !, !, !,... o indicando el
u v w
!
punto inicial y …nal, AB.
1.2 Suma de vectores
Regla del paralelogramo
Si los vectores ! y ! no son paralelos, se hacen coincidir sus puntos iniciales
u v
y se construye el paralelogramo determinado por dichos vectores. El vector suma
! + ! se de…ne como el vector que va desde el punto inicial de ! y de !; hasta
u v u v
el vértice opuesto a este punto (…gura).
1
3. Regla del triángulo
Se dibuja ! a partir del extremo …nal de !: El vector suma ! + ! se de…ne como
v u u v
el vector que va desde el punto inicial de ! al punto …nal de ! (…gura).
u v
Propiedades básicas de la suma de vectores:
Sean !, ! y ! vectores geométricos cualesquiera.
u v z
1: ! + ! es un vector geométrico.
u v
2: ! + ! = ! + !
u v v u
3:(! + !) + ! = ! + (! + !)
u v z u v z
!
4: ! + 0 = !
u u
!
5: ! + ( !) = 0
u u
Para todo par de vectores ! y ! se cumple la desigualdad
u v
k! + !k
u v k!k + k!k
u v
la cual se denomina desigualdad triangular.
La igualdad k! + !k = k!k + k!k se da únicamente cuando ! y ! son paralelos con la misma
u v u v u v
dirección.
1.3 Producto de un escalar por un vector
De…nición:
ka!k = jaj k!k
u u
! !
a! = 0 si y sólo si a = 0 o ! = 0
u u
! es paralelo a !
au u
Propiedades básicas del producto de un escalar por un vector:
Cualesquiera sean los vectores ! y ! y los escalares a y b:
u v
2
4. 1: a! es un vector geométrico
u
2: a(b!) = (ab)!
u u
3: 1! = !
u u
4: a(! + !) = a! + a!
u v u v
5: (a + b)! = a! + b!
u u u
! y ! son paralelos si y sólo si ! es múltiplo escalar de !
u v v u
o ! es múltiplo escalar de !:
u v
Teorema de la proporción: Sean m y n números positivos y sea P el punto de un
segmento AB que lo divide de tal modo que
!
AP m
! = n
PB
Si O es cualquier punto del plano, entonces
! n ! m !
OP = OA + OB
m+n m+n
Como caso particular del teorema de la proporción se tiene que:
Si M es el punto medio de un segmento AB y O es cualquier punto del plano entonces
! 1 ! 1 !
OM = OA + OB
2 2
1.4 Descomposición de un vector
Descomposición de ! en las direcciones de los vectores ! y !.
z u v
Si ! y ! son vectores no paralelos entonces para todo vector !
u v z
existen únicos escalares a y b tales que
! = a! + b!
z u v
3
5. 1.5 Proyección de un vector sobre otro vector
Sea ! un vector no nulo y ! un vector cualquiera.
u z
! = !; P roy! ! = !:
Si z 0 u z 0
En este caso la componente escalar de ! en la dirección de ! es 0:
z u
!
Si ! 6= 0 y es el ángulo entre ! y !;
z z u
!u
P roy! ! = (k!k cos ) ! :
u z z
kuk
En este caso la componente escalar de ! en la dirección de ! es
z u
k!k cos
z
! = ! + !; donde ! = P roy! ! es paralelo a ! y ! es perpendicular a ! (ver …gura).
z p q p u z u q u
1.6 Producto escalar
Dados dos vectores geométricos cualesquiera ! y !, se de…ne el producto escalar ! !; como sigue :
v u v u
! !
Si ! = 0 o ! = 0 ; ! ! = 0
u v v u
! ! !
Si ! 6= 0 ; v 6= 0 y
u es el ángulo entre ! y !;
v u
! ! = k!k k!k cos
v u v u
Como consecuencia:
! ! = 0 si y sólo si ! y ! son perpendiculares
v u v u
Además:
4
6. j! !j
v u k!k k!k
v u
! !
Esta desigualdad, la cual es válida también para ! = 0 o ! = 0 ; se conoce como desigualdad de
u v
Cauchy-Schwarz.
Propiedades del producto escalar: Cualesquiera sean los vectores !, !, ! y el escalar r; se satisface
u v w
lo siguiente:
1. ! !=! !
u v v u
2. ! ! = k!k2
u u u
3. (r!) ! = r(! !) = !
u v u v u (r!)
v
4. ! (! + !) = ! ! + !
u v w u v u !
w
(! + !) ! = ! ! + !
u v w u w v !
w
1.7 Vectores geométricos en el plano cartesiano. Descomposición canónica
! !
Si consideramos los vectores unitarios i y j en las direcciones positivas de los ejes x y y respectivamente,
! !
Para todo vector !, existen únicos escalares a y b tales que ! = a i + b j
u u
! !
La descomposición ! = a i + b j , de un vector ! se llama descomposición canónica de !.
u u u
! ! ! a
OP = a i + b j si y sólo si P =
b
La …gura ilustra la descomposición para a < 0 y b > 0.
5
7. a c !
Si P = yQ= entonces la descomposición canónica de P Q es
b d
! ! !
P Q = (c a) i + (d b) j
y así
! ! c a
P Q = OR donde R =
d b
La descomposición canónica de cualquier vector ! es única, es decir:
u
! ! ! !
Si ! = a i + b j y ! = a0 i + b0 j entonces
u v
! = ! si y sólo si a = a0 y b = b0
u v
! ! !
En particular, como 0 = 0 i + 0 j ;
! !
Si ! = a i + b j entonces
u
!
! = 0 si y sólo si a = 0 y b = 0
u
Si se conoce la decomposición canónica de vectores ! y ! es muy sencillo hallar ! + ! y también r!;
u v u v u
para cualquier r 2 R. En efecto, se tiene que:
! ! ! !
Si ! = a i + b j y ! = c i + d j entonces
u v
! + ! = (a + c)! + (b + d)!
u v i j
! !
r! = (ra) i + (rb) j
u
! ! ! !
Si ! = a i + b j y ! = c i + d j entonces ! ! = ac + bd
u v u v
6
8. ! !
Si ! 6= 0 y ! 6= 0 ; el ángulo entre ! y ! es tal que
u v u v
! !
u v
cos = ! !
kukk v k
! !
u
!
Si ! 6= 0 ; la componente escalar de ! en la dirección de
v ! es u v
u
! k!k
u
! !
u v !u ! !
u v ! !u !
v !
y así, P roy! ! =
u v !k !k = !k2 u = ! ! u
ku ku ku u u
7
9. Resumen
Geometría Vectorial y Analítica.
Una introducción al Algebra Lineal
Abraham Asmar Charris Patricia Restrepo de Peláez Rosa Franco Arbeláez
Fernando Vargas Hernández
Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín.
Capítulo 2. Vectores coordenados o algebraicos.
2.1 Introducción
Considerando el plano dotado de un sistema cartesiano xy, se puede identi…car cada punto del plano con un
a
par ordenado de números reales:
b
a
Cada vector con punto inicial en el origen O determina un único punto P = del plano el cual es su
b
a
extremo …nal y, recíprocamente, cada punto P = del plano es el extremo …nal de un único vector con
b
!
punto inicial en el origen, el cual es el vector OP , es decir, el vector de posición del punto P .
Tenemos así la correspondencia biunívoca
!
OP ! P
entre el conjunto de los vectores con su punto inicial en el origen y el conjunto de los puntos del plano, es
decir, entre el conjunto de los vectores de posición y el conjunto R2 :
2.2 Suma y producto por escalar en R2
Estas operaciones en R2 se de…nen de tal modo que
! ! !
X +U =R , OX + OU = OR
! !
rX = S , rOX = OS
1
10. y en general,
! ! !
rX + tU = T , rOX + tOU = OT
cualesquiera sean X; U; R; S; T en R2 y r; t en R.
Los elementos de R2 se llamarán también vectores coordenados o vectores algebraicos.
Dado X en R2 ; todo vector de la forma rX; con r 2 R; se dirá un múltiplo escalar de X.
0
El vector algebraico es llamado el vector nulo o vector cero de R2 y se denotará por la letra O:
0
Este vector es tal que
X + O = X para cualquier X 2 R2 :
x x
El inverso aditivo del vector X = ; denotado X; se de…ne como X= :
y y
Se tiene que
X + ( X) = O y X = ( 1)X:
Propiedades básicas: Para cualesquiera vectores X; Y; Z de R2 y todo par de números reales r y s:
1: X + Y 2 R2
2: X + Y = Y + X
3: (X + Y ) + Z = X + (Y + Z)
4: X + O = X
5: X + ( X) = O
6: rX 2 R2
7: 1X = X
8: r(sX) = (rs)X
9: r(X + Y ) = rX + rY
10: (r + s)X = rX + sX
La diferencia X U es:
x u x u
X U= = :
y v y v
! !
U X = OR con R = X U
2
11. Además, cualesquiera sean U; X; Y; Z en R2 se tiene
! !
U X = Y Z si y sólo si X U =Z Y
Teorema de la proporción en R2 : Si m y n son números positivos y P es el punto
!
AP m
del segmento AB que lo divide de tal modo que ! = , entonces
PB n
n m
P = A+ B:
m+n m+n
Como caso particular del teorema de la proporción se tiene que
Si M es el punto medio de un segmento de recta AB entonces
M = 1 (A + B)
2
2.3 Magnitud, dirección y otros conceptos en R2
x
Sea X = en R2 : Llamaremos magnitud de X; denotada kXk ; a la magnitud del vector de posición
y
!
OX (vea …gura), es decir,
! p
kXk = OX = x2 + y 2
Consideremos X 2 R2 : Si X 6= O llamaremos dirección de X; denotada dir (X) ; a la dirección del
!
vector de posición OX (En la …gura, el ángulo es la dirección del vector algebraico X).
3
12. u x
La distancia entre los puntos U = yX= es
p v y
kX U k = (x u)2 + (y v)2
Dos vectores de R2 son paralelos si y sólo si uno de ellos es múltiplo escalar del otro.
Un vector de R2 se dice un vector unitario si tiene magnitud 1: Los vectores unitarios de R2 conforman
1
la circunferencia de centro en el origen y radio 1. Si X 2 R2 y X 6= O entonces el vector X es unitario,
kXk
pues
1 1
X = kXk = 1;
kXk kXk
4
13. 1
y tiene la misma dirección de X ya que > 0.
kXk
! !
En la misma medida en que son importantes los vectores geométricos i y j , lo son los vectores
1 0
E1 = y E2 = en R2 ; los cuales llamaremos vectores canónicos de R2 :
0 1
x
La descomposición canónica de un vector X = de R2 es
y
X = xE1 + yE2
x u
El producto escalar de los vectores X = yU= es el escalar
y v
X U = xu + yv
Propiedades del producto escalar entre vectores de R2 : Cualesquiera sean X, U , Z en R2 y r 2 R;
1. X U es un escalar
2
2. X X = kXk
3. X U =U X
4. (rX) U = r(X U ) = X (rU )
5. X (U + Z) = X U + X Z y (X + U ) Z = X Z + U Z
6. jX U j kXk kU k (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)
Si X y U son vectores no nulos de R2 ; el ángulo entre X y U se de…ne como el ángulo entre los
! !
vectores OX y OU (…gura).
5
14. Si es el ángulo entre los vectores no nulos X y U entonces
X U
cos =
kXk kU k
Vectores ortogonales:
X es ortogonal a U si y sólo si X U = 0
Proyección de X sobre U :
! !
P royU X = P si y sólo si P royOU OX=OP
!
!
X U U X U X U
P royU X = = 2 U= U
kU k kU k kU k U U
6
15. Resumen
Geometría Vectorial y Analítica.
Una introducción al Algebra Lineal
Abraham Asmar Charris Patricia Restrepo de Peláez Rosa Franco Arbeláez
Fernando Vargas Hernández
Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín.
Capítulo 3. La línea recta en el plano.
3.1 Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas
!
Cualquier vector no nulo AB paralelo a una recta se dirá un vector director de dicha recta.
!
Consideremos una recta L y sean P0 un punto …jo de L y OD un vector director de L.
Ecuación vectorial paramétrica o simplemente una ecuación vectorial para la recta L:
X = P0 + tD; t2R
Si la recta L pasa por el origen, una ecuación vectorial para L es X = tD; t 2 R y diremos que L es la
recta generada por el vector D:
Ecuaciones escalares paramétricas o simplemente unas ecuaciones paramétricas de la recta que
x0 d1
pasa por y que tiene vector director :
y0 d2
x = x0 + td1
t2R
y = y0 + td2
1
16. Segmento de recta P Q
Dados dos puntos P y Q, el segmento de recta P Q; se puede expresar así:
P Q = X 2 R2 X = P + t(Q P ); 0 t 1
3.2 Ángulo de inclinación y pendiente
Consideremos una recta L no paralela al eje x: El ángulo de inclinación de L es el ángulo que se forma
partiendo del eje x y avanzando en sentido antihorario hasta encontrar por primera vez a L. (Ver …gura).
Si L es una recta horizontal diremos que su ángulo de inclinación es de 0 (o 0 radianes).
Nótese que el ángulo de inclinación de cualquier recta es tal que 0 < 180 (o 0 < si se
mide en radianes).
Pendiente de una recta:
m = tan
La pendiente queda de…nida para todas las rectas del plano, exceptuando únicamente las verticales (para las
cuales el ángulo de inclinación es de 90 ).
Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.
La pendiente m; al igual que el ángulo de inclinación ; es una medida de la inclinación de la recta y se
tiene que
m > 0 si y sólo si 0 < < 90
m < 0 si y sólo si 90 < < 180
m = 0 si y sólo si = 0
2
17. x1 x2
Si P1 = y P2 = son dos puntos distintos cualesquiera de una recta no vertical L entonces la
y1 y2
pendiente m de dicha recta es:
y2 y1
m=
x2 x1
d1 d2
Dado un vector director D = para una recta no vertical L, la pendiente m de L es m = :
d2 d1
1
Si m es la pendiente de una recta L entonces D = es un vector director de L.
m
3
18. 3.3 Ecuaciones escalares no paramétricas
x0
Sea L una recta en el plano que pasa por el punto P0 = .
y0
Si L es horizontal, una ecuación para L es
y = y0
Si L es vertical, una ecuación para L es
x = x0
d1
Si L no es horizontal ni vertical y un vector director de L es D = , una
d2
ecuación para L , en forma simétrica, es
x x0 y y0
=
d1 d2
Si L tiene pendiente m; una ecuación para L en la forma punto - pendiente, es
y y0 = m(x x0 )
0
Si L tiene pendiente m y corta al eje y en el punto ; una ecuación para L en
b
la forma pendiente - intercepto, es
y = mx + b
Toda recta en el plano tiene una ecuación de la forma
ax + by = c
con a; b; c constantes, a 6= 0 o b 6= 0, y toda ecuación de esta forma, llamada forma general,
corresponde a una recta en el plano.
4
19. Toda recta que pasa por el origen tiene una ecuación de la forma
ax + by = 0
con a; b constantes, a 6= 0 o b 6= 0, y toda ecuación de esta forma
corresponde a una recta que pasa por el origen.
3.4 Ecuación en forma normal
Todo vector no nulo perpendicular a algún vector director de una recta se dirá un vector normal a dicha
recta
a
Si N = es un vector normal a una recta L que pasa por un punto P0 ; entonces
b
una ecuación para L es
ax + by = c
donde la constante c = N P0 :
a
Si ax + by = c es una ecuación para una recta L entonces N = es un vector
b
b b
normal a L y D1 = y D2 = son vectores directores de L.
a a
3.5 Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores correspondientes son ortogonales
Si las rectas L1 ; L2 tienen pendientes m1 ; m2 respectivamente entonces
L1 ? L2 si y sólo si m1 m2 = 1:
L1 ? L2 , D1 y D2 son ortogonales
, D1 D2 = 0
, 1 + m1 m2 = 0
, m1 m2 = 1
5
20. 3.6 Ángulo entre rectas
Llamaremos ángulo de L1 a L2 al ángulo medido en sentido antihorario desde L1 hasta encontrar por
primera vez L2 :
En la …gura dicho ángulo es y 180 es el ángulo de L2 a L1 :
Consideremos la …gura siguiente en la cual es el ángulo de L1 a L2 ; el de L2 a L1 y 1; 2 los ángulos
de inclinación de L1 y L2 , respectivamente.
= 2 1
Si ninguno de los ángulos ; 1 y 2 es recto entonces
tan 2 tan 1
tan = tan ( 2 1) =
1 + tan 1 tan 2
Si m1 y m2 son las pendientes de L1 y L2 respectivamente entonces tan 1 = m1 y tan 2 = m2 por lo
tanto
m2 m1
tan =
1 + m1 m2
Nótese que la fórmula anterior no es aplicable cuando alguna de las rectas es vertical o cuando las rectas
son perpendiculares.
En cuanto al ángulo tenemos que = 180 y por tanto
m1 m2
tan = tan (180 )= tan =
1 + m1 m2
6
21. 3.7 Distancia de un punto a una recta
x0
La distancia d del punto X0 = a la recta L con ecuación
y0
ax + by = c; es
jax0 + by0 cj
d= p :
a2 + b2
3.8 Ecuaciones lineales, combinaciones lineales, dependencia e independencia
lineal
Si ! y ! son vectores geométricos del plano, todo vector de la forma
u v
a! + b!
u v
con a y b escalares, se dice una combinación lineal de los vectores ! y !: De manera similar, si X y Y
u v
son vectores de R2 ; todo vector de la forma
aX + bY
con a y b escalares, se dice una combinación lineal de los vectores X y Y:
Dos vectores X; Y de R2 son linealmente dependientes (L.D.) si alguno de los dos es múltiplo escalar
del otro. En caso contrario, se dice que los vectores son linealmente independientes (L.I.). De igual
forma, dos vectores geométricos ! y ! se dicen linealmente dependientes (L.D.) si alguno de los dos
u v
es múltiplo escalar del otro, es decir, si son paralelos; en caso contrario los vectores se dicen linealmente
independientes (L.I.).
7
22. Resumen
Geometría Vectorial y Analítica.
Una introducción al Algebra Lineal
Abraham Asmar Charris Patricia Restrepo de Peláez Rosa Franco Arbeláez
Fernando Vargas Hernández
Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín.
Capítulo 4. Transformaciones lineales del plano y matrices 2 2.
4.1 Transformaciones del plano
En este capítulo nos interesan sólo las funciones del plano en sí mismo, es decir, funciones de R2 en R2 a
las cuales nos referiremos como transformaciones del plano. Dichas transformaciones las denotaremos
mediante letras mayúsculas como P; Q; R; S; T::::
Proyección sobre la recta L.
Sean U un vector no nulo de R2 y L la recta generada por U: Si X es un vector cualquiera de R2 ; el vector
P royU X; el cual está sobre L, lo llamaremos también la proyección de X sobre L (Ver …gura).
Denotaremos PU la transformación del plano que asigna a cada vector X de R2 ; su proyección sobre la
recta L. Es decir,
PU : R2 ! R2
X 7! PU (X) = P royU X
La transformación PU la llamaremos proyección sobre la recta L.
Re‡exión respecto a la recta L.
Sean U un vector no nulo de R2 y L la recta generada por U: Denotaremos SU la transformación del
plano que asigna a cada vector X de R2 la re‡exión de X respecto a la recta L. Es decir, para cada X de R2 ;
SU (X) es el otro extremo del segmento de recta trazado desde X perpendicularmente a la recta L y cuyo
punto medio es el punto PU (X) : (Ver …gura).
1
23. De manera que
SU : R2 ! R2
X 7! SU (X) = 2PU (X) X
A la transformación SU la llamaremos re‡exión respecto a la recta L.
Transformación múltiplo escalar.
Sea Dr : R2 ! R2 la transformación que asigna a cada vector X de R2 el vector rX: (Si r = 2, ver …gura).
Dr : R2 ! R2
X 7! Dr (X) = rX
x
Si X = ; entonces
y
x rx
Dr (X) = rX = r = :
y ry
Rotación por el ángulo .
Fijemos un número real ; 2 < < 2 : Consideremos la transformación R : R2 ! R2 ; la cual
llamaremos rotación por el ángulo , de…nida como se indica a continuación: para cada X de R2 ; R (X)
!
es el punto …nal del vector de posición obtenido al rotar el vector OX alrededor del origen un ángulo de
radianes. Convenimos en realizar la rotación en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj
cuando > 0, y en el mismo sentido de dicho movimiento cuando < 0. (Ver …gura).
2
24. x x cos ysen
R =
y xsen + y cos
x0 x
Si =R ; la igualdad anterior es equivalente a las ecuaciones:
y0 y
x0 = x cos ysen
y 0 = xsen + y cos
conocidas como ecuaciones de rotación:
Traslación por el vector U:
Fijemos un vector U de R2 y consideremos la transformación TU ; de…nida por TU (X) = X + U; para
todo X de R2 (ver …gura). Es decir,
T U : R2 ! R2
X 7! TU (X) = X + U
La transformación TU se llamará traslación por el vector U ya que para cada X de R2 ; TU (X) es el
!
punto que se obtiene trasladando el punto X en la dirección del vector U (o OU ) una distancia kU k :
x x0
Si X = yU= entonces
y y0
x x0 x + x0
TU (X) = X + U = + =
y y0 y + y0
x0 x
o también si = TU entonces
y0 y
x0 = x + x0
:
y 0 = y + y0
3
25. x x
La transformación que a cada de R2 le asigna como imagen el mismo vector ; se llamará la
y y
transformación identidad y se denotará I.
x 0
La transformación que a cada de R2 le asigna como imagen el vector ; se llamará la transfor-
y 0
mación nula y se denotará O:
Obsérvese que D0 = O; D1 = I; R0 = I y To = I:
4.2 Transformaciones lineales y matrices
x ax + by
Toda transformación T : R2 ! R2 del tipo T = con a; b; c; d constantes reales, es
y cx + dy
llamada una transformación lineal del plano. La denominación “lineal” tiene que ver con la forma lineal
x
de las expresiones ax + by y cx + dy para las coordenadas del vector T :
y
Cada una de las transformaciones PU ; SU ; Dr ; R ; Identidad y Nula, es una transformación lineal del
0
plano. La transformación TU es transformación lineal únicamente en el caso U = ; caso en el cual TU = I.
0
x ax + by
Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal de…nida por T = con a; b; c; d constantes:
y cx + dy
Es claro que los números a; b; c; d y sus posiciones en las igualdades anteriores determinan de manera única
a T: Pues bien, el símbolo o arreglo
a b
c d
se llama matriz de T y se denotará m (T ) :
En general, todo arreglo de números como el anterior se dirá una matriz de dos …las y dos columnas,
una matriz 2 2, o una matriz de orden 2.
a b a0 b0
Dos matrices y se dicen iguales, y se escribe
c d c0 d0
a b a0 b0
=
c d c0 d0
si a = a0 ; b = b0 ; c = c0 y d = d0 :
2
Si U = ; las matrices de las transformaciones lineales PU ; SU ; Dr y R antes consideradas son:
1
4=5 2=5 3=5 4=5
m (PU ) = m (SU ) =
2=5 1=5 4=5 3=5
r 0 cos sen
m (Dr ) = m (R ) =
0 r sen cos
Además,
1 0 0 0
m (I) = y m (O) =
0 1 0 0
La matriz m (I) se llamará matriz identidad de orden 2 y se denotará I2 , mientras que la matriz
m (O) se llamará matriz nula de orden 2 y se denotrá O:
4
26. Obsérvese que cada transformación lineal T determina una matriz 2 2 la cual es m (T ) y recíprocamente,
a b
cada matriz es la matriz de una única transformación lineal del plano, la cual es la transformación
c d
T : R2 ! R2 de…nida por
x ax + by
T = :
y cx + dy
Queda así establecida una correspondencia biunívoca entre las transformaciones del plano y las matrices
2 2:
Sea T la transformación lineal de…nida por
x ax + by
T = :
y cx + dy
a b x
Como la matriz determina la transformación T , es natural escribir, para cada de R2 ;
c d y
a b x x
=T
c d y y
notación en la cual la matriz de T aparece sustituyendo al símbolo T:
De acuerdo con la igualdad anterior, la de…nición del producto de una matriz 2 2 por un vector
de R2 ; es:
a b x ax + by
= :
c d y cx + dy
4.3 Propiedades básicas de las transformaciones lineales
Una transformación T : R2 ! R2 es una transformación lineal si y sólo si
T (X + U ) = T (X) + T (U ) y T (rX) = rT (X)
para todo par de vectores X; U de R2 y todo escalar r:
Las dos propiedades anteriores se pueden sustituir por la propiedad
T (rX + sU ) = rT (X) + sT (U )
2
cualesquiera sean X; U en R y r; s en R:
Además toda transformación lineal T : R2 ! R2 tiene las siguientes propiedades:
x
Para cualquier vector de R2 ;
y
x
T = xT (E1 ) + yT (E2 ) :
y
Así, una transformación lineal T del plano queda completamente
determinada por los vectores T (E1 ) y T (E2 ) ; es decir, por las imágenes
que ella asigne a los vectores canónicos E1 y E2 :
a b a b
T (E1 ) = y T (E2 ) = si y sólo si m (T ) = :
c d c d
0 0
T = :
0 0
5
27. 4.4 Imagen de un conjunto bajo una transformación
Sea T una transformación del plano y C un conjunto de puntos del plano. Llamaremos imagen de C bajo
T al conjunto denotado T (C) y conformado por todos los vectores T (X) con X 2 C, es decir,
T (C) = fT (X) / X 2 C g :
Como una primera propiedad geométrica de las transformaciones lineales tenemos:
1. La imagen de una recta L bajo una transformación lineal T es una recta o es un
conjunto con un solo punto. Más precisamente:
a) Si L es la recta que pasa por los puntos distintos P y Q entonces T (L)es la recta que
pasa por T (P ) y T (Q) si T (P ) 6= T (Q) ; si T (P ) = T (Q) entonces T (L) = fT (P )g :
b) Si L pasa por el punto P y tiene vector director U entonces T (L) es la recta que
pasa por el punto T (P ) y tiene vector director T (U ) si T (U ) 6= O; si T (U ) = O;
entonces T (L) = fT (P )g :
2. La imagen de un segmento de recta P Q; bajo una transformación lineal T; es el
segmento de recta de extremos T (P ) y T (Q), el cual se reduce al conjunto fT (P )g
cuando T (P ) = T (Q) :
La imagen bajo una transformación lineal T del paralelogramo determinado
por dos vectores X y U linealmente independientes, es el paralelogramo
determinado por T (X) y T (U ) ; si estos vectores son linealmente independientes.
Si T (X) y T (U ) son linealmente dependientes entonces dicha imagen es un segmento
0
de recta o es el conjunto :
0
4.5 Operaciones con transformaciones lineales y con matrices
Sean T y S dos transformaciones del plano. La suma de T y S, denotada T + S, es la transformación del
plano de…nida así,
T + S : R2 ! R2
X 7! (T + S) (X) = T (X) + S (X)
Para cada transformación T del plano se tiene la transformación denotada T y de…nida, para cada
X 2 R2 , por
( T ) (X) = (T (X)) :
La transformación T es tal que T + ( T ) = O donde, como se ha convenido, O denota la transformación
nula.
La suma entre transformaciones del plano goza de las siguientes propiedades. En ellas T; S y R son
transformaciones del plano y O es la transformación nula.
1. T + S = S + T:
2. (T + S) + R = T + (S + R) :
3. T + O = T:
4. T + ( T ) = O:
6
28. La suma entre dos matrices 2 2 se de…ne de la siguiente manera:
a b a0 b0 a + a0 b + b0
+ = :
c d c0 d0 c + c0 d + d0
Si T y S son transformaciones lineales del plano, con
a b a0 b0
m (T ) = y m (S) =
c d c0 d0
entonces T + S también es una transformación lineal del plano y
a + a0 b + b0
m (T + S) = = m (T ) + m (S) :
c + c0 d + d0
Es de esperar que la suma entre matrices tenga las mismas propiedades algebraicas de la suma entre
transformaciones lineales. En efecto si A; B; C son matrices 2 2 cualesquiera y O es la matriz nula 2 2,
se tiene que:
1. A + B = B + A:
2. (A + B) + C = A + (B + C) :
3. A+O =A
4. A + ( A) = O:
Sean r un escalar y T : R2 ! R2 : El producto de r por T; denotado rT; es la transformación del plano
de…nida, para cada X de R2 ; por
(rT ) (X) = r (T (X)) :
Así,
rT : R2 ! R2
X 7! (rT ) (X) = r (T (X))
Propiedades básicas: Cualesquiera sean las transformaciones T; S del plano y los números r; s,
1. r (sT ) = (rs) T = s (rT ) :
2. 1T = T:
3. r (T + S) = rT + rS:
4. (r + s) T = rT + sT:
a b a b
El Producto r de un escalar r por una matriz se de…ne en la forma
c d c d
a b ra rb
r = :
c d rc rd
Tenemos así que:
7
29. Si r es un escalar y T es una transformación lineal del plano con
a b
m (T ) =
c d
entonces rT también es una transformación lineal del plano y
ra rb
m (rT ) = = r (m (T )) :
rc rd
El producto de un escalar por una matriz 2 2 hereda las propiedades algebraicas del producto de un
escalar por una transformación lineal. Si A; B son matrices 2 2 y r; s son escalares, se tiene que
1. r (sA) = (rs) A = s (rA) :
2. 1A = A:
3. r (A + B) = rA + rB:
4. (r + s) A = rA + sA:
Se denomina compuesta de T y S; denotada T S; a la transformación del plano de…nida, para cada
X de R2 ; así:
T S : R2 ! R2
X 7! (T S) (X) = T (S (X))
Propiedades básicas de la composición entre transformaciones lineales: Si T; S; R son trans-
formaciones lineales del plano, r es un escalar, I la transformación identidad y O la transformación nula,
entonces:
1. T (S R) = (T S) R:
2. T I = T = I T:
3. T (S + R) = (T S) + (T R) :
4. (S + R) T = (S T ) + (R T ) :
5. (rT ) S = r (T S) = T (rS) :
6. T O = O = O T:
Se advierte al lector que algunas de dichas propiedades no son exclusivas de las transformaciones lineales.
La compuesta T S de dos transformaciones lineales T y S es llamada producto de T y S y también
se denota T S:
Si T y S son transformaciones lineales del plano con
a b a0 b0
m (T ) = y m (S) =
c d c0 d0
entonces el producto (la compuesta) T S también es una transformación
lineal del plano y
aa0 + bc0 ab0 + bd0
m (T S) = = m (T ) m (S) :
ca0 + dc0 cb0 + dd0
8
30. Con base en esta igualdad se de…ne el producto de dos matrices 2 2 en la forma siguiente:
a b a0 b0 aa0 + bc0 ab0 + bd0
= :
c d c0 d0 ca0 + dc0 cb0 + dd0
El producto entre matrices 2 2 no es conmutativo.
En general, el producto entre matrices 2 2 se comporta algebraicamente como el producto (compuesta)
entre transformaciones lineales del plano. En efecto, se tiene que si A; B; C son matrices 2 2 y r es un
escalar, entonces:
1. (AB) C = A (BC) :
2. AI2 = A = I2 A:
3. A (B + C) = AB + AC:
4. (B + C) A = BA + CA:
5. (rA) B = r (AB) = A (rB) :
6. AO = O = OA:
Propiedades básicas del producto.de una matriz 2 2 por un vector de R2 : Cualesquiera sean
las matrices A; B; los vectores X; U de R2 y r en R se tiene:
1. A (X + U ) = AX + AU:
2. A (rX) = r (AX) :
3. (A + B) X = AX + BX:
4. (rA) X = r (AX) :
5. (AB) X = A (BX) :
4.6 Inversas para transformaciones lineales y matrices
Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal. Si existe una transformación lineal
S : R2 ! R2 tal que T S = ST = I decimos que T es invertible y su inversa es T 1
= S:
a b
Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal con m (T ) = :
c d
Las siguientes a…rmaciones son equivalentes:
1. T es invertible.
2. T es uno a uno y sobre.
3. El único vector X de R2 tal que T (X) = O es X = O:
a b
4. Las columnas y de m (T ) son linealmente independientes.
c d
5. ad bc 6= 0:
9
31. a b
Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal con m (T ) = :
c d
Si T es invertible entonces
d= b= 1 d b
m T 1 = =
c= a= c a
donde = ad bc:
Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal. Si existe una transformación lineal
S : R2 ! R2 tal que T S = I entonces ST = I y por tanto T es invertible y T 1 = S:
Sea A una matriz 2 2 y sea T : R2 ! R2 la transformación lineal tal que m (T ) = A: Diremos que la
matriz A es invertible si la transformación lineal T es invertible. Si éste es el caso, a la matriz m T 1 la
llamaremos la inversa de A y la denotaremos A 1 :
a b
Sea A = :
c d
1. Las a…rmaciones siguientes son equivalentes.
a) A es invertible.
b) El único vector X de R2 tal que AX = O es X = O:
c) Las columnas de A son linealmente independientes.
d) ad bc 6= 0:
1 d b
2. Si ad bc 6= 0 entonces A 1 = donde = ad bc:
c a
3. Si existe una matriz B de orden 2 tal que AB = I2 entonces BA = I2
y por tanto A es invertible y A 1 = B:
10
32. Resumen
Geometría Vectorial y Analítica.
Una introducción al Algebra Lineal
Abraham Asmar Charris Patricia Restrepo de Peláez Rosa Franco Arbeláez
Fernando Vargas Hernández
Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín.
Capítulo 5. Sistemas de ecuaciones lineales 2 2.
5.1 Conceptos y resultados básicos
Recordemos que una ecuación lineal en dos variables x; y es una ecuación de la forma
ax + by = u
en la cual a; b y u son números reales dados.
x0
Una solución de una tal ecuación es un par ordenado de R2 tal que al sustituir x por x0 y y por
y0
y0 ; la ecuación se satisface, es decir
ax0 + by0 = u:
El conjunto de todas las soluciones de una ecuación lineal se dirá su conjunto solución. Dos ecuaciones
lineales se dirán equivalentes si tienen el mismo conjunto solución; cuando se multiplican los dos miembros
de una ecuación por un escalar no nulo se obtiene una ecuación equivalente.
Como sabemos, si a 6= 0 o b 6= 0; la ecuación lineal anterior corresponde a una línea recta, de manera que
en tal caso el conjunto solución de la ecuación lineal es dicha línea recta.
Consideremos ahora un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
ax + by = u
cx + dy = v
(a; b; c; d; u y v son números reales dados).
x0
Una solución de tal sistema es un par ordenado de R2 ; el cual es solución de cada una de las dos
y0
ecuaciones del sistema.
El sistema anterior se dice soluble o consistente si tiene al menos una solución; en caso contrario, el
sistema se dice no soluble o inconsistente. El conjunto de todas las soluciones de un sistema como el
anterior se dirá su conjunto solución.
Si en el sistema anterior se tiene a = 0 y b = 0 o se tiene c = 0 y d = 0; entonces el conjunto solución es
una recta , todo R2 :o el conjunto vacío. En lo que sigue centraremos la atención en el caso no trivial
a 6= 0 o b 6= 0 y c 6= 0 o d 6= 0:
1
33. En este caso el conjunto solución de la primera ecuación es una línea recta L1 y el de la segunda una línea
recta L2 ; por tanto, el conjunto solución del sistema es la intersección de L1 y L2 :
Ahora bien, para dichas rectas L1 , L2 se da una y sólo una de las tres posibilidades siguientes (ver …gura):
L1 = L2 :
L1 y L2 son paralelas y L1 6= L2 .
L1 y L2 se cortan en un único punto.
Así, admitiendo lo anterior, podemos a…rmar lo siguiente:
Para el sistema de dos ecuaciones lineales, bajo la condición de no trivialidad, se da uno y sólo uno de los
siguientes casos:
Caso 1. El sistema tiene in…nitas soluciones, siendo su conjunto solución
una línea recta. Cualquiera de las dos ecuaciones del sistema es una
ecuación para dicha recta.
Caso 2. El sistema carece de soluciones.
Caso 3. El sistema tiene solamente una solución, la cual es el punto de
intersección de las rectas L1 y L2 :
Dos sistemas de dos ecuaciones lineales se dicen equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.
Cuando se sustituye una de las ecuaciones de un sistema por la suma de esa ecuación y un múltiplo escalar
de la otra, se obtiene un sistema equivalente.
Uno de los procedimientos más empleados para resolver un sistema es el llamado método de elimi-
nación, el cual consiste en eliminar una de las incógnitas en alguna de las ecuaciones sin alterar el conjunto
solución del sistema.
5.2 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Un sistema de dos ecuaciones lineales puede escribirse, usando matrices 2 2 y vectores de R2 ; en la forma
matricial:
a b x u
=
c d y v
O sea
AX = U
2
34. a b x u
con A = ;X= yU= :
c d y v
Nótese que un vector X0 de R2 es una solución del sistema anterior si y sólo si AX0 = U:
Para cualquier matriz A de orden 2 y cualquier vector U de R2 :se tiene:
El sistema AX = U tiene solamente una solución si y sólo si la matriz A
es invertible.
Cuando A es invertible, la única solución del sistema es X0 = A 1 U:
0
Si en el sistema AX = U se tiene U = el sistema se dice homogéneo. Cualquiera sea la matriz A;
0
0
el sistema homogéneo AX = O es soluble ya que este sistema posee al menos la solución X = ; la cual
0
se dirá la solución trivial.
Posibilidades para el conjunto solución de un sistema homogéneo AX = O:
Cualquiera sea la matriz A de orden 2;
a) El sistema AX = O tiene únicamente la solución trivial X = O
si y sólo si A es invertible.
b) Si A no es invertible y A 6= O; el conjunto solución del sistema
AX = O es una línea recta que pasa por el origen.
c) Si A = O; el conjunto solución del sistema AX = O es todo R2 :
Dado un sistema no homogéneo AX = U; el sistema AX = O se dirá su sistema homogéneo asociado.
Sea A una matriz 2 2 no nula y no invertible y sea U un vector no nulo de R2 :
Si X0 es una solución particular del sistema AX = U y la recta
0
L = ftD j t 2 Rg (D 2 R2 ; D …jo)
es el conjunto solución del sistema homogéneo asociado AX = O entonces
el conjunto solución del sistema AX = U es la recta
L = fX0 + tD j t 2 Rg
es decir, la recta
L = TX0 (L0 )
la cual pasa por el punto X0 y es paralela a L0 :
El sistema AX = U es soluble si y sólo si el vector U es combinación
lineal de las columnas de la matriz A:
a b
Sea A = : Si A es no nula y no invertible entonces el conjunto de los vectores
c d
u u a
para los cuales el sistema AX = es soluble es la recta generada por si
v v c
a 0 b b 0
6= ; o por si 6= :
c 0 d d 0
3
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Una introducción al Algebra Lineal
Abraham Asmar Charris Patricia Restrepo de Peláez Rosa Franco Arbeláez
Fernando Vargas Hernández
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Capítulo 6. Determinantes de orden 2.
6.1 De…nición y resultados básicos.
a b
Consideremos una matriz A = o bien la transformación lineal T : R2 ! R2 cuya matriz es A:
c d
El escalar ad bc es llamado determinante de la matriz A o también determinante de la transformación
T: Lo denotaremos de cualquiera de las formas siguientes:
a b
; det (A) o det (T ) :
c d
Empleando el concepto de determinante, podemos reescribir algunos resultados de capítulos previos así:
Sea T : R2 ! R2 la transformación lineal cuya matriz es
a b
A= :
c d
A es invertible si y sólo si det (A) 6= 0
T es invertible si y sólo si det (T ) 6= 0.
Si det (A) 6= 0;
1 d b
m T 1 = A 1 = det(A) :
c a
Las columnas de la matriz A son linealmente independientes
si y sólo si det (A) 6= 0:
u x u
Cualquiera sea el vector ; el sistema A = tiene
v y v
solución única si y sólo si det (A) 6= 0:
1
36. 6.3 Determinantes y áreas de paralelogramos
x1
Si P es el paralelogramo determinado por dos vectores X1 = y
y1
x2
X2 = ; linealmente independientes, entonces
y2
x1 x2
Área de P = valor absoluto de
y1 y2
Si T : R2 ! R2 es una transformación lineal invertible y P es el paralel-
x1
ogramo determinado por dos vectores linealmente independientes X1 = ;
y1
x2
X2 = entonces
y2
Área de T (P) = jdet (T )j Área de P:
6.4 Fórmulas de Cramer
Las siguientes fórmulas para x y y en un sistema de dos ecuaciones lineales ( de solución única) se conocen
como fórmulas de Cramer.
a b
Si 6= 0; el sistema
c d
ax + by = u
cx + dy = v
tiene una y sólo una solución dada por
u b a u
v d c v
x= y y=
a b a b
c d c d
2
37. 6.5 Propiedades
Cualesquiera sean las matrices A y B de orden 2;
det (AB) = det (A) det (B)
De esta propiedad se sigue que
Si A es una matriz 2 2 invertible entonces
1 1
det A =
det (A)
Otras propiedades del determinante.
a c a b
1. = :
b d c d
Es decir, det AT = det (A) donde AT denota la transpuesta de la matriz A.
c d a b
2. = .
a b c d
Es decir, cuando se intercambian las …las de una matriz A el determinante de la nueva matriz es det (A) :
ta tb a b a b a b
3. =t y =t :
c d c d tc td c d
Es decir, cuando se multiplica una de las …las de una matriz A por un escalar t, el determinante de la
nueva matriz es t det (A) :
a + a0 b + b0 a b a0 b0
4. = + y
c d c d c d
a b a b a b
= +
c + c0 d + d0 c d c0 d0
a b tc td
5. =0 y = 0:
ta tb c d
Es decir, si las …las de una matriz A son linealmente dependientes entonces det (A) = 0:
a b a b a + tc b + td a b
6. = y = :
c + ta d + tb c d c d c d
Es decir, si una …la de una matriz A se sustituye por la suma de ella con un múltiplo escalar de la otra
…la de A; el determinante de la nueva matriz es igual a det (A) :
Nótese que las propiedades 2: a 6: se re…eren a movimientos, operaciones o sustituciones en las …las de la
matriz. Se sigue de la propiedad 1: que dichas propiedades 2: a 6: también son válidas si esos movimientos,
operaciones o sustituciones se re…eren a las columnas de la matriz.
3
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Capítulo 7. Valores propios y vectores propios.
7.1 De…niciones. Cálculo de valores y vectores propios
Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal y sea un escalar. Si existe un vector X de R2 ; X 6= O; tal que
T (X) = X
se dice que es un valor propio de T: Si es un valor propio de T; cada vector no nulo X de R2 tal que
T (X) = X se dice un vector propio de T correspondiente a :
La ecuación
a b
= 0:
c d
con como su incógnita, se llama ecuación característica de T (de A); desarrollando el determinante,
dicha ecuación se convierte en
(a ) (d ) bc = 0
que también podemos escribir como
2
(a + d) + (ad bc) = 0:
Las raíces reales de esta ecuación son entonces los valores propios de T (de A).
a b
Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal con matriz A = y sea
c d
un número real.
es un valor propio de T (de A) si y sólo si es una raíz de la ecuación
característica de T (de A)
a b
= 0:
c d
La transformación T (la matriz A) tiene a lo más dos valores propios distintos.
Si es un valor propio de T (de A), los vectores propios de T (de A)
correspondientes a son las soluciones no triviales del sistema homogéneo
a b x 0
= :
c d y 0
1
39. 1
7.2 Factorización A = P DP
x1 x2
Sea A una matriz 2 2. Si ; son vectores propios de A linealmente
y1 y2
independientes, correspondientes respectivamente a los valores propios 1 ; 2
de A (puede ser 1 = 2 ) entonces
A = P DP 1
donde
x1 x2 1 0
P = yD= :
y1 y2 0 2
Una matriz A es factorizable en la forma P DP 1 si y sólo si
A tiene dos vectores propios linealmente independientes.
1 0
De una matriz de la forma se dice que es una matriz diagonal.
0 2
7.3 Valores propios y vectores propios de matrices simétricas
Una matriz 2 2 se dice simétrica si tiene la forma
a b
b d
o equivalentemente, si ella es igual a su traspuesta.
Sea A una matriz simétrica de orden 2:
Las raíces de la ecuación característica de A son ambas reales y por tanto
A siempre tiene valores propios.
a 0
Si A es de la forma entonces los valores propios de A son 1 = 2 = a:
0 a
a 0
Si A no es de la forma entonces A tiene dos valores propios distintos.
0 a
Sea A una matriz 2 2 simétrica. A siempre podrá factorizarse en la forma
1
A = P DP
con P matriz invertible y D matriz diagonal.
Una matriz P de orden 2; invertible y con la propiedad P 1 = P T es llamada una matriz ortogonal.
Esta denominación se debe a que las matrices con tal propiedad son las que tienen sus columnas ortogonales
y unitarias.
2
40. Sea A una matriz simétrica de orden 2; con dos valores propios distintos 1 ; 2 :
Si X1 ; X2 son vectores propios de A correspondientes a 1 ; 2 respectivamente
entonces
X1 ? X2
Otras propiedades de las matrices simétricas:
1: Para toda matriz simétrica A; con valores propios 1 ; 2 (no necesariamente
distintos) existe una matriz ortogonal P tal que
1 0
P 1 AP =
0 2
o, equivalentemente , tal que
1 0
P T AP = :
0 2
2: Si A es una matriz simétrica no diagonal, entonces A siempre tiene dos vectores
propios (unitarios y ortogonales) de la forma
cos sen
y
sen cos
con 0 < < 2 . La matriz
cos sen
Q=
sen cos
la cual es la matriz de la rotación R , es una matriz ortogonal tal que
1 0
QT AQ =
0 2
donde 1 ; 2 son los valores propios de A y 1 denota aquel valor propio al
cos
cual corresponde el vector propio : Ver …gura siguiente.
sen
3
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Capítulo 8. Secciones Cónicas.
Introducción
Los antiguos geómetras griegos descubrieron que cortando un cono circular recto de dos hojas (o mantos)
con planos que no pasan por el vértice del cono, se obtienen tres tipos básicos de curvas, las cuales se
denominan secciones cónicas, o simplemente cónicas.
Un cono circular recto de dos hojas es una super…cie en el espacio conformada por todas las rectas que
pasan por un punto …jo P y forman un ángulo constante ; 0 < < 90 ; con una recta …ja L que pasa por
P (ver …gura). La recta L es el eje del cono, el punto P es el vértice del cono y cada recta que es parte del
cono se dice un elemento del cono. El vértice P separa al cono en dos partes, a las que se llama hojas.
Cuando un plano, que no pasa por el vértice P; corta todos los elementos de una sola hoja, la curva
intersección del plano con el cono se llama elipse (ver …gura a); si el plano es paralelo a un elemento, la
correspondiente curva intersección se llama parábola (ver …gura b), y si el plano corta ambas hojas, la curva
resultante se llama hipérbola (ver …gura c). Cuando se corta el cono con un plano que pasa por el vértice
del cono, la intersección resultante puede ser un punto, una recta o dos rectas que se cortan en el vértice. A
este tipo de intersecciones se les llama cónicas degeneradas.
1
42. Un caso particular de elipse es la circunferencia, curva que se obtiene cortando al cono con un plano que
no pase por el vértice y que sea perpendicular al eje del cono.
Se ha encontrado que las secciones cónicas se pueden de…nir (sin hacer referencia a un cono) como ciertos
lugares geométricos del plano, es decir, como ciertos conjuntos de puntos del plano que cumplen determinadas
condiciones.
8.1 La circunferencia
Se denomina circunferencia al conjunto de todos los puntos del plano que equidistan (están a igual distancia)
de un punto …jo del plano. Al punto …jo se le llama centro y a la distancia del centro a cualquier punto de
la circunferencia se le llama radio. (Ver …gura a.)
Consideremos ahora el plano dotado de un sistema de coordenadas cartesianas xy; (ver …gura b)
h
Una ecuación para la circunferencia con centro en el punto y radio r es
k
2 2
(x h) + (y k) = r2 :
Si el centro es el origen (es decir, h = 0 y k = 0), la ecuación anterior adopta la forma más simple
x2 + y 2 = r2
2
43. la cual es llamada forma canónica de la ecuación de la circunferencia.
En general, una circunferencia tiene una ecuación de la forma:
x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0:
la cual, puede llervarse a la forma anterior completando los cuadrados en las variables x y y:
Se advierte al lector que no toda ecuación de la forma anterior representa una circunferencia,.porque es
posible que al completar los cuadrados se obtenga una ecuación de la forma
2 2
(x h) + (y k) = d
x h
con d = 0 o con d < 0: Es claro que en el primer caso la ecuación sólo es satisfecha por el punto = ;
y k
x
mientras que en el segundo caso ningún punto de R2 la satisface.
y
8.2 Traslación de ejes
La forma de una ecuación para una curva dada, referida a un cierto sistema cartesiano, depende de la
ubicación de la curva respecto a los correspondientes ejes coordenados.
En muchos casos es posible transformar una ecuación dada para una curva, referida a un sistema xy, en
una ecuación más simple, cambiando a un nuevo sistema cartesiano x0 y 0 : Debe tenerse presente que cuando
se efectúa un tal cambio de sistema, cada punto P del plano con coordenadas x; y relativas al sistema xy;
adquiere nuevas coordenadas x0 ; y 0 relativas al nuevo sistema x0 y 0 : Es necesario disponer de la relación entre
las viejas coordenadas x; y y las nuevas x0 ; y 0 para poder pasar de un sistema al otro.
Traslación de ejes. Es el cambio más sencillo de un sistema cartesiano xy a otro sistema cartesiano
x0 y 0 : aquel en el cual los nuevos ejes x0 ; y 0 son respectivamente paralelos a los ejes x; y; están orientados en
el mismo sentido y además se conserva en cada uno de ellos la unidad de medida (ver …gura).
Supongamos que se trasladan los ejes coordenados x; y de modo que el
h
nuevo origen es el punto O0 = ; respecto al sistema xy:
k
x x0
Si y son, respectivamente, los vectores de coordenadas de un
y y0
mismo punto P del plano, respecto al sistema xy y respecto al nuevo sistema x0 y 0
entonces
x = x0 + h y y = y0 + k
o, equivalentemente,
x0 = x h y y 0 = y k:
3
44. 8.3 La parábola
Se denomina parábola al conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto …jo (del plano)
llamado foco, y de una recta …ja (también del plano) llamada directriz, la cual no contiene al foco. En la
…gura, el punto F es el foco y la recta L es la directriz.
La recta que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz L se llama eje focal. El punto en el
cual el eje focal intersecta la parábola se llama vértice; es claro que este punto (el cual es el punto V en la
…gura) está ubicado a la mitad de la distancia entre el foco F y la directriz L.
La recta que pasa por el foco F y es paralela a la directriz L corta a la parábola en dos puntos P 0 y P ;
el segmento P 0 P es llamado lado recto de la parábola. (Ver …gura anterior).
0
Una ecuación para la parábola con vértice en el origen y foco F = ; p 6= 0; es
p
1 2
y= x :
4p
Si p > 0; la parábola abre hacia arriba y si p < 0; la parábola abre hacia abajo.
p
Una ecuación para la parábola con vértice en el origen y foco F = ; p 6= 0; es
0
1 2
x= y :
4p
Si p > 0; la parábola abre hacia la derecha y si p < 0; la parábola abre hacia la izquierda.
Estas ecuaciones son las más simples para la parábola, por tal razón a ellas se les llama formas canónicas.
4
45. La parábola es simétrica respecto a su eje focal. La longitud del lado recto de P es kP P 0 k = 4 jpj : Así,
entre más grande sea jpj ; más abierta es la parábola y entre más pequeño sea jpj ; más cerrada es la misma.
Vale la pena resaltar que el número p, es tal que jpj es la distancia del foco F al vértice, como también del
vértice a la directriz.
Una parábola se dice vertical, respecto a un sistema cartesiano xy; si su eje focal coincide con el eje
y o es paralelo a dicho eje. Si el eje focal coincide con el eje x o es paralelo a este eje, la parábola se dice
horizontal.
5
46. h
Una ecuación para la parábola vertical con vértice V = y
k
h
foco F = ; p 6= 0; es
k+p
1 2
y k= (x h) :
4p
Si p > 0; la parábola abre hacia arriba y si p < 0; la parábola abre hacia abajo.
h
Una ecuación para la parábola horizontal con vértice V = y
k
h+p
foco F = ; p 6= 0; es
k
1 2
x h= (y k) :
4p
Si p > 0; la parábola abre hacia la derecha y si p < 0; la parábola abre hacia la izquierda.
Es claro que en cualquiera de los dos casos anteriores, jpj sigue siendo la distancia del foco al vértice y de
éste a la directriz, y que la longitud del lado recto sigue siendo también 4 jpj :
Toda parábola vertical tiene una ecuación de la forma
y = ax2 + bx + c; a 6= 0
con a > 0 si la parábola abre hacia arriba y a < 0 si la parábola abre hacia
abajo. Recíprocamente, toda ecuación de la forma anterior representa una
parábola vertical, la cual abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0:
Toda parábola horizontal tiene una ecuación de la forma
x = ay 2 + by + c; a 6= 0
con a > 0 si la parábola abre hacia la derecha y a < 0 si la parábola abre hacia
la izquierda. Recíprocamente, toda ecuación de la forma anterior representa una
parábola horizontal, la cual abre hacia la derecha si a > 0 y hacia la izquierda
si a < 0:
Cada una de las ecuaciones
1 2 1 2
y k= (x h) y x h= (y k) :
4p 4p
6
47. se puede llevar a una ecuación de la forma
Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
con A 6= 0 y C = 0 o bien A = 0 y C 6= 0:
Podemos a…rmar entonces que toda parábola horizontal o vertical tiene una ecuación de la forma anterior.
Ahora, si se parte de una ecuación de la forma anterior para una parábola dada, podemos transformarla en
1 2 1 2
una ecuación de la forma y k = 4p (x h) o en una de la forma x h = 4p (y k) , según corresponda,
completando el cuadrado en la variable x si A 6= 0 o en la variable y si C 6= 0:
Algunas ecuaciones de esta última forma, con A y C como se ha indicado, no representan parábolas.
Dependiendo de sus características puede representar un par de rectas paralelas o una sola recta. También
puede ocurrir que no represente lugar geométrico alguno.
8.4 La elipse
Se denomina elipse al conjunto de todos los puntos P del plano tales que la suma de las distancias de P
a dos puntos …jos del plano F 0 y F es constante, siendo esa constante mayor que la distancia entre dichos
puntos. Los puntos …jos F 0 y F son llamados focos de la elipse (ver …gura).
La recta L que pasa por los focos se llama eje focal, y los puntos V 0 ; V donde el eje focal corta la elipse,
se llaman vértices. El segmento V 0 V se llama eje mayor. El punto C; el cual es el punto medio del
segmento F 0 F ; se llama centro. La recta L0 que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal, se llama
eje normal. El segmento A0 A; donde A0 y A son los puntos de corte del eje normal con la elipse, se llama
eje menor.
7
48. Sea E una elipse con focos F 0 y F tal que la suma de las distancias de cada uno de sus
puntos a los focos es la constante 2a:
c c
Si F 0 = yF = ;0 c < a entonces una ecuación para la elipse E es
0 0
x2 y2
+ 2 =1
a2 b
donde b es el número positivo tal que b2 = a2 c2 .
0 0
Si F 0 = yF = ;0 c < a entonces una ecuación para la elipse E es
c c
y2 x2
2
+ 2 =1
a b
donde b es el número positivo tal que b2 = a2 c2 .
Las ecuaciones anteriores son las más simples para la elipse y se les llama formas canónicas.
La elipse E es simétrica respecto al eje focal y respecto al eje normal. De estas dos simetrías se sigue que
la elipse E también es simétrica respecto a su centro (el origen).
a a
Cuando el eje mayor de la elipse está sobre el eje x, los vértices son los punstos V 0 = yV =
0 0
0 0
y los extremos del eje menor son los puntos A = y A0 = .
b b
Cuando el eje mayor de la elipse está sobre el eje y; y el centro es el origen, los vértices son los puntos
0 0 b b
V0 = yV = y los extremos del eje menor son los puntos A0 = yA= .
a a 0 0
En ambos casos, el número a es la distancia del centro a cada vértice, el número b es la distancia del
centro a cada extremo del eje menor. Así, la longitud kV V 0 k del eje mayor es 2a y la longitud kA A0 k
del eje menor es 2b.
Supongamos que se mantiene …jo el número a (la mitad de la longitud del eje mayor). Nótese que:
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