matematicas aplicadas

1. Centro de Estudios Tecnológicos industrial y
de servicios No. 155
“Josefa Ortiz de Domínguez”
TITULAR: DRA. MARÍA GUADALUPE SALAZAR GUERRA
Mayo 2018
NOMBRE DEL ALUMNO____________________________________________________________
GRUPO______________ESPECIALIDAD________________________________________________
MATEMÁTICAS APLICADAS
PROBLEMARIO No. 3
MODELACIÓN: FUNCIONES TRASCENDENTES

2. 2
INTRODUCCIÓN
Los modelos matemáticos son una aproximación a fenómenos del mundo real, las funciones
logarítmicas y exponenciales se ajustan de manera muy precisa a diversas situaciones y campos de
trabajo del hombre; tales como: Química, Física, Biología, Economía, Ingeniería y otras, donde
contribuyen a describir los fenómenos que pueden modelar.
En esta unidad se abordarán los modelos matemáticos basados en las funciones trascendentes
como lo son: la función exponencial y la función logarítmica. Se revisarán cinco de estos modelos :
• Crecimiento exponencial
• Decaimiento radiactivo
• Crecimiento logístico
• Modelos logarítmicos
• Modelo Gaussiano
Conforme al enfoque por competencias en esta unidad se estará promoviendo las siguientes
competencias:
C1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos y
operaciones aritméticas, algebraicas y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones
reales, hipotéticas o formales.
C4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos y
variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información
y la comunicación.

3. 3
Funciones Trascendentes
Las dos funciones trascendentes que estudiaremos serán la
función exponencial natural y la función logarítmica natural. El
erudito Robert Malthus, considerado el padre de la demografía,
publicó en 1798 el libro Ensayo sobre el principio de la
población. Entre sus principales puntos plantea que:
«La población tiende a crecer de acuerdo con una progresión
geométrica, en tanto que los medios de subsistencia lo hacen
en progresión aritmética ».
Observa atentamente el gráfico del crecimiento demográfico:
En la naturaleza el tipo de crecimiento
exponencial no es el más frecuente, pues las
poblaciones no crecen indefinidamente debido
a que la resistencia ambiental se opone a la
expresión del potencial biológico de una
población (capacidad para aumentar su
densidad).
Las funciones exponenciales y logarítmicas
tienen una amplia variedad de aplicaciones,
como el gasto en servicios de salud, el uso de
internet y la población mundial.
Muchos de los fenómenos naturales, como el fechado de carbono, el decaimiento radioactivo y el
crecimiento de los ahorros invertidos en una cuenta en la que el interés se capitaliza de forma
continua, puede describirse por medio de funciones exponenciales naturales.

4. 4
1. FUNCION EXPONENCIAL (y=ax
)
Recordaremos los siguientes aspectos de la función exponencial
• Características de función exponencial.
• Gráficos de la función exponencial.
• Análisis de situaciones en diversos ámbitos modeladas por una
función exponencial.
Las funciones exponenciales, son relaciones funcionales en las
cuales la variable independiente x es el exponente de la
potencia o parte de la potencia que conforma. y =ax
La función que a cada número real x le hace corresponder la
potencia ax
se llama función exponencial de base a y exponente x
Ejemplo: Dada la función y=f(x) = 3x
, evalúa la función para los valores en el intervalo: -4 , 4
Completa la tabla de valores y construye la gráfica correspondiente.
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)
Escala 1:4
Ejercicio 1
Realiza el mismo ejercicio con las funciones : y= 2x
y= 2x
+ 1 , realice cada gráfica con distinto color,
evaluando las funciones desde x=-4 a x=4
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y= 2x
y=2x
+ 1

5. 5
Ejercicio 2
1. Complete la tabla de las siguientes funciones, esboce sus gráficas y compárelas.

6. 6
Ejercicio 3
Completa la tabla valorando la función dada y esboza su gráfica

7. 7
2. FUNCION EXPONENCIAL NATURAL (y=ex
)
El número e se define como el valor al que se aproxima
(1 + 1/n)n
cuando n se vuelve grande. e es un número racional,
así que no se puede escribir si valor exacto en forma decimal. La
función exponencial natural es la función exponencial: f(x) =
con base e. Es común referirse a ella como la función
exponencial.
Aquí se puede apreciar la gráfica de la función exponencial
natural:
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex
, donde e es el número de
Euler, aproximadamente 2.71828.; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los
números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función.
El número “e”, también conocido como Número de Euler o
Constante de Napier es uno de los números reales más
relevantes, considerado como el número del cálculo por
excelencia.
Se relaciona con resultados importantes como la derivada de la
función exponencial: f( x ) = ex
Su valor aproximado es:
e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249
77572 47093 69995
El descubrimiento del número e se le acredita a Jakob Bernoulli,
que estudiaba un problema llamado interés compuesto.
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 1 +
1
𝑛
!
Jacob Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al valor de 2.71828... De aquí proviene
la definición que se da de e en finanzas: este número es el límite de una inversión de 1 UM con una
tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua.
Leonard Euler estableció la fórmula para obtener el valor de “e”, que se suele definir como la
sumatoria de 1 partido por los factoriales de todos los números enteros a desde el 0 hasta n:
Aunque otra definición habitual es:
𝑒 =
!
!!
+
!
!!
+
!
!!
+ ⋯ ∞ =2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249... ln e=1
La función exponencial que tiene como base el número e se le denomina como función exponente
natural y es la función expresada por: f(x) = ex

8. 8
3. FUNCIÓN LOGARÍTMICA (y=loga)
Se define logaritmo como el exponente de una
potencia con cierta base, es decir, el número al
cual se debe elevar una base dada para obtener un
resultado determinado.
Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza
con frecuencia en los cálculos y desarrollos de las
matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias
sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para
«comprimir» la escala de medida de magnitudes cuyo
crecimiento, demasiado rápido, dificulta su
representación visual o la sistematización del
fenómeno que representado.
Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) = logax, siendo a la
base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que: loga x = b ⇔ ab = x
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
ACTIVIDAD No.1
Resuelve los ejercicios aplicando las propiedades de los
logaritmos en la página 10
4. FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL (y= ln x)
El término logaritmo neperiano suele referirse
informalmente al logaritmo natural, aunque
esencialmente son conceptos distintos.
En matemáticas, el logaritmo neperiano fue definido
por primera vez por Leibniz dentro de una carta que
remitió a Huygens en 1690, (en la cual usaba la
notación b en lugar de e). No obstante, ya en 1618, en
un apéndice de la obra de John Napier sobre
logaritmos, aparecen calculados los logaritmos
naturales de varios números.

9. 9
Sin embargo, en esa fecha la forma en que se conceptualizaban y calculaban los logaritmos no
incluía el concepto de base e. La notación con base e, empezó a utilizarse a partir de los trabajos
de Euler en 1731.
En matemáticas se denomina logaritmo natural o
informalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya
base es el número e, un número irracional cuyo valor
aproximado es 2,7182818284590452353602874713527.
El logaritmo natural notado como ln(x), como loge(x) y
en algunos contextos como log(x), porque para ese
número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale
1.
El logaritmo natural de un número x es entonces el
exponente a al que debe ser elevado el número e para
obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya
que e2
=7,38905... El logaritmo natural de e es 1, ya que
e1
=e.
Desde el punto de vista analítico, puede definirse para cualquier número real positivo x>0 como el
área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta definición es la que justifica la
denominación de «natural» para el logaritmo con esta base concreta.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que:
Si observamos la siguiente gráfica, confirmamos además que la
función inversa de la función e es el logaritmo natural o neperiano (lnx).
f(x)= a del logaritmo natural
EJERCICIOS
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

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Ejercicio 1: Aplicando las propiedades de los logaritmos, desarrolla las siguientes expresiones:
Ejercicio 2: Aplicando las propiedades de los logaritmos, reduce a la mínima expresión
logarítmica los siguientes desarrollos
Ejercicio 3 : Sabiendo que log 2 = 0.3, calcula:
a) log 8 b) log 5 c) log 125 d) log 0.64
Ejercicio 4: Sabiendo que log 5 = 0,699 halla:
a) log 25 b) log 2 c) log 20 d) log 0.5

11. 11
OPERACIONES Y SOLUCIÓN

12. 12
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE FUNCIONES TRASCENDENTES
Las siguientes situaciones tienen que ver con el uso de modelos de funciones trascendentes, para
ello en la solución realiza las operaciones correspondientes y con ayuda de Excel construye la tabla
y gráfica correspondiente.
1. Fechado con carbono
La edad de un objeto antiguo se puede determinar por la cantidad de carbono 14 radioactivo que
permanece en él. Si D0 es la cantidad original de carbono 14 y D es la
cantidad restante, entonces la edad A del objeto (en años) se determina por:
Encuentre la edad de un objeto si la cantidad D carbono 14 que permanece en el objeto es 73% de
la cantidad original D0.
Datos Función Operaciones Resultado
2. Decaimiento radiactivo
Una sustancia radiactiva se desintegra de tal manera que la cantidad de
masa que permanece después de t días se expresa mediante la función:
donde m(t) se mide en kilogramos.
a) Encuentre la masa en el tiempo t = 0
b) ¿Cuánta masa permanece después de 45 días?
Datos Función Resultados
a) En el tiempo 0 la masa es
b) Después de 45 días la masa
es:
Desarrollo

13. 13
3. Decaimiento radiactivo
Los médicos emplean el yodo radiactivo como trazador para
diagnosticas ciertos trastornos de la glándula tiroides. Este tipo de
yodo se desintegra de tal manera que la masa restante después de
t días se determina mediante la función:
donde m(t) se mide en kilogramos.
a) Encuentre la masa en el tiempo t = 0
b) ¿Cuánta masa permanece después de 45 días?
Desarrollo:
Datos Función Resultados
a) La masa en el tiempo 0 es de
.
b) Después de 20 días la masa
es
Desarrollo
4. Fármacos
Cuando se administró cierto fármaco a un paciente, el número de miligramos que permanecen en
el torrente sanguíneo del paciente después de t horas se modela mediante:
¿Cuántos miligramos del fármaco permanecen en el torrente sanguíneo del
paciente después de tres horas?
Datos Función Desarrollo Resultado

14. 14
5. Paracaidismo
Un paracaidista salta desde una altura razonable sobre el suelo. La resistencia
del aire que experimenta es proporcional a su velocidad, y la constante de
proporcionalidad es 0.2. Se puede demostrar que la velocidad de descenso del
paracaidista en el tiempo t se expresa como:
donde t se mide en segundos y v(t) se mide en pies por segundo (pies/s).
a) Encuentre la velocidad inicial del paracaidista.
b) Calcule la velocidad después de 5s y después de 10s.
c) Dibuje la gráfica de una función de velocidad v(t).
d) La velocidad máxima de un objeto que cae con resistencia del viento se llama velocidad
terminal. De la gráfica del inciso c) encuentre la velocidad terminal de este paracaidista.
Datos Función
Desarrollo
Resultados
a) La velocidad inicial del
paracaidista es
b) La velocidad a los 5s:
después de 10s :
d) La velocidad terminal del objeto :
6. Mezclas y concentraciones
Un barril de 50 galones se llena por completo con agua pura. A
continuación se bombea hacia el barril agua salada con una concentración
de 0.3 lb/gal, y la mezcla resultante sale a si
misma tasa. La cantidad de sal en el barril
en el tiempo t se determina mediante:
Donde t se mide en minutos y Q(t) se mide en libras.
a) ¿Cuánta sal esta en el barril después de 5 min?
b) ¿Cuánta sal esta en el barril después de 10 min?
c) Dibuje una grafica de función Q(t).
d) Use la grafica del inciso para determinar el valor a que se aproxima la cantidad de sal en el
barril cuando t se vuelve grande. ¿es esto lo que esperaría?

15. 15
Datos
Función
Desarrollo
Resultados
a) La cantidad de
sal en el barril
después de 5 min.
es:
La cantidad de sal en el barril
después de 10 min. es
d) Cómo se comporta la cantidad de
sal en el barril cuando t se vuelve
grande:
7. Crecimiento logístico
Las poblaciones animales no pueden crecer sin restricción debido a la
limitación de hábitat y suministros de alimento. En tales condiciones la
población siguiente un modelo de crecimiento logístico.
Donde c, d y k son constantes positivas. Para cierta población de peces, en un pequeño
estanque
d = 1200, k = 11, c = 0.2, y t se mide en años. Los peces se introdujeron en el estanque en el
tiempo t = 0.
a) ¿Cuántos peces se colocaron originalmente en el estanque?
b) ¿Calcule la población después de10, 20 y 30 años.
c) Evalúe P(t) para valores grandes de t. ¿A qué valor tiende la población cuando t → ∞? ¿La
grafica mostrada confirma sus cálculos?
Datos
Función
Desarrollo Resultados
a) Población inicial de peces:
b) Población a los 10 años
Población a los 20 años
Población a los 30 años
d) Población cuando t → ∞?:

16. 16
8. La población de aves
La población de cierta especie de ave está limitada por el tipo de
hábitat requerido para anidar. La población se comporta de acuerdo
con el modelo de crecimiento logístico
Donde t se mide en años.
a) Encuentre la población inicial de aves.
b) Dibuje la grafica de la función n(t).
c) ¿Qué tamaño tiene la población a los 50 a?
Datos
Función
Desarrollo Resultados
a) Población inicial de aves:
b) Población a los 50 años
9. Diámetro de un árbol
Para cierto tipo de árbol el diámetro D (en pies) depende de la edad del
árbol t (en años) de acuerdo con el modelo de crecimiento logístico:
Determine el diámetro de un árbol de 20 años.
Datos
Función
Desarrollo Resultados
El diámetro de un árbol a
los 20 años es:
10. Absorción de luz
Un espectrofotómetro mide la concentración de una muestra disuelta en agua al irradiar una luz por
ésta y registrar la cantidad de luz que emerge. En otras palabras, si se conoce la cantidad de luz
absorbida, se puede calcular la concentración en la muestra.
Para cierta sustancia, la concentración (en moles/litro) se encuentra por
medio de la fórmula:
Donde Io es la intensidad de la luz incidente e I es la intensidad de luz que
emerge. Encuentre la concentración (C) de la sustancia si la intensidad es I es 70% de I0.

17. 17
Datos
Función
Desarrollo Resultados
La concentración de la
sustancia si la intensidad es
70% , es:
11. Colonia de bacterias
Cierta cepa de bacterias se divide cada tres horas. Si una colonia comienza
con 50 bacterias, entonces el tiempo t (en horas) requerido para que la colonia
crezca a N bacterias se expresa como:
Calcule el tiempo requerido para que la colonia crezca en un millón de bacterias.
Datos
Función
Desarrollo Resultados
El tiempo requerido para
que la colonia de bacterias
crezca en un millón de
bacterias es:
12. Inversión
El tiempo requerido para duplicar la cantidad de una inversión a una tasa de interés
capitalizable de una manera continua está dado por
Determine el tiempo requerido para duplicar una inversión en 6 por ciento, 7 por ciento y 8 por
ciento.
Datos
Función
Desarrollo
Resultados
El tiempo requerido para
duplicar una inversión en 6% es
El tiempo requerido para
duplicar una inversión en 7% es
El tiempo requerido para
duplicar una inversión en 8%
es.

18. 18
13. Dificultad de una tarea
La dificultad en “lograr un objetivo” depende de la distancia al objetivo y el tamaño de este. En los
estudios del HCI (interfaz Humano-Computadora) se refiere a la ley de Fitts como la velocidad y
precisión del movimiento muscular humano para apuntar a un objetivo.
La ley de Fitts se usa para modelar el acto de apuntar, tanto en el mundo
real, por ejemplo con una mano o dedo, como en los ordenadores, por
ejemplo con un ratón.
De acuerdo con la ley de Flitts, el índice de dificultad (ID), esta dado por:
Donde W es el ancho del objetivo y A es la distancia al centro del objetivo. Compare la dificultad
de dar clic en uno de 5mm de ancho y otro a 10mm de ancho. En cada caso, suponga que el ratón
está a 100mm del icono
Datos
W=
W=
A=
Función
Desarrollo
Resultados
Dificultad a 5 mm de ancho Dificultad a 10 mm de ancho Conclusión
CONCLUSIONES