Euclides vivió en el siglo III a.C. y escribió los Elementos, un tratado de geometría compuesto por 13 libros que definía términos geométricos y contenía definiciones, postulados, nociones comunes y 465 proposiciones. Los Elementos se utilizaron como libro de texto durante más de 2000 años y fueron el segundo libro más reproducido en la historia de Occidente después de la Biblia. El libro I establece las bases de la geometría plana mediante definiciones, postulados y proposiciones sobre triángulos

1. 1.a. Euclides vivió en la época de Ptolomeo I, por el siglo III a.C., escribió un
importante tratado de geometría, los “Elementos” y se ha dicho que habría
bastado por sí sola para haber perpetuado la gloria de los pensadores griegos y
obligado al reconocimiento de su brillante labor por la comunidad científica de
todos los tiempos. Está compuesto por trece libros que contenían 5 postulados,
5 nociones comunes, 132 definiciones y 465 proposiciones. Fue utilizado como
libro de texto durante más de 2000 años y sus primeros capítulos, constituyeron
la base de la enseñanza de la geometría plana en las escuelas de todo el mundo.
Se cree que, después de la Biblia, este libro fue el más reproducido y estudiado
en historia de Occidente.
1.b. El libro I está compuesto por 23 definiciones, 5 postulados, 5 nociones
comunes y 48 Proposiciones.
Las 48 proposiciones se pueden dividir en tres bloques: las primeras 26 tratan
de las propiedades de los triángulos, de la 27 a la 32 establecen las teorías de
las paralelas y demuestran que la suma de los ángulos de un triángulo suma lo
mismo que dos ángulos rectos y a partir de la 33 a la 48 tratan de los
paralelogramos, triángulos, cuadrados, del teorema de Pitágoras y su inverso.
1.c. Euclides pretende definir todos los términos, su libro comienza dando
“definiciones” de aquello que habrá de emplear:
1. Punto es aquello que no tiene partes.
2. Línea es una longitud sin anchura.
3. Superficie los extremos de las líneas son puntos.
4. Línea recta es la que yace por igual sobre sus puntos.
5. Una superficie es lo que solo longitud y anchura.
6. Los extremos de una superficie son líneas.
7. Una superficie plana es aquella que yace por igual respecto de las líneas que
están en ellas.
8. Un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una
a otra en un plano y no están en línea recta.
9. Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, el ángulo se llama
rectilíneo.
10. Cuando una recta levantada sobre otra recta forma ángulos adyacentes
iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto y la levantada se llama
perpendicular a aquella sobre la que está.
11. Ángulo obtuso es el mayor que un recto.
12. Ángulo agudo es el menor que un recto.
13. Un límite es aquello que es extremo de algo.
14. Una figura es lo contenido por uno o varios límites.
15. Círculo es una figura plana limitada por una sola línea que se llama periferia,
respecto de la cual son iguales las rectas que inciden sobre ellas trazadas desde
uno de los puntos situado en el interior de la figura.
16. Ese punto se llama centro.

2. 17. Un diámetro del círculo es una recta cualquiera trazada a través del centro y
limitado en
ambos sentidos por la circunferencia del círculo, recta que también divide el
círculo en dos partes iguales.
18. Un semicírculo es la figura comprendida entre el diámetro y la circunferencia
por él cortada. Y el centro del semicírculo es el mismo que el del círculo.
19. Figuras rectilíneas son limitadas por rectas. Triláteras si lo están por tres,
cuadriláteras si lo están por cuatro y multiláteras por más de cuatro.
20. Entre las figuras triláteras, el triángulo es equilátero si tiene los tres lados
iguales, isósceles si tiene dos lados iguales y escaleno si sus tres lados son
desiguales.
21. Entre las figuras triláteras, triángulo rectángulo es la que tiene un ángulo
recto, obtusángulo la que tiene un ángulo obtuso, acutángulo la que tiene los tres
ángulos agudos.
22. De entre las figuras cuadriláteras, cuadrado es la que es equilátera y
rectangular, rectángulo la que es rectangular pero no equilátera, rombo la que
es equilátera pero no rectangular, romboide la que tiene los ángulos y los lados
opuestos iguales entre sí, pero no es equilátera ni rectangular; y trapecios las
demás figuras cuadriláteras.
23. Rectas paralelas son las que, estando en el mismo plano y prolongadas
indefinidamente, no se encuentran.
Luego de las definiciones, Euclides considera los “postulados”, que son
verdades que se aplican solamente a la geometría:
1. Desde un punto se puede conducir siempre una recta hasta otro punto.
2. Una recta puede prolongarse indefinidamente en cualquiera de sus
direcciones.
3. Los ángulos rectos son iguales.
4. Dado un punto y un segmento siempre se puede construir una circunferencia
con centro en ese punto y radio ese segmento.
5. Si una recta corta a otra en dos de modo tal que una de sus lados se formen
ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos, esas dos rectas
prolongadas indefinidamente se encuentran en aquella parte en la cual los
ángulos interiores suman menos de dos rectos.
A continuación de estos, enuncia las “Nociones Comunes”, que llama
“Axiomas”, que se aplican a todas las disciplinas (o al menos a ciertos grupos de
disciplinas):
1. Cosas iguales a una misma cosa, son iguales entre sí.
2. Si a cosas iguales se les agregan cosas iguales se obtienen cosas iguales.
3. Si a cosas iguales se les quitan cosas iguales se obtienen cosas iguales.
4. Cosas que pueden superponerse, son iguales entre sí.
5. El todo es mayor que cualquiera de las partes.

3. El Postulado 5 dice que “si una recta corta a otra en dos de modo tal que una
de sus lados se formen ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos,
esas dos rectas prolongadas indefinidamente se encuentran en aquella parte en
la cual los ángulos interiores suman menos de dos rectos”
En la figura, la recta 𝒓 es cortada por dos rectas 𝒎 y 𝒏 de modo tal que la suma
de los ángulos interiores de un mismo lado, α y β, es menor que dos ángulos
rectos; por lo tanto, 𝒎 y 𝒏 se cortan del lado de la recta donde se hallan dichos
ángulos (en el punto 𝑷).
Mientras los cuatro primeros postulados pueden verificarse empíricamente, para
el “5º”, es imposible dicha verificación. Además, el recíproco de esta afirmación
es demostrado por Euclides en la proposición I.17. Por ello, él trata de evitar o
posponer su utilización y demuestra más de veinte proposiciones sin usarlo.
Estas razones llevaron a dudar del mismo, de su independencia y su verdad.
Esto dio pie a una controversia que duró más de 2000 años que durante ese
tiempo recibió el nombre del axioma de las paralelas. Todos los fracasos por
demostrar el quinto postulado fueron agrandando más y más la figura de
Euclides, pero también condujeron a la invención de nuevas geometrías en el
siglo XIX, las geometrías no euclidianas.
Para que la geometría euclidiana resultara completa, fue necesario agregar o
reformular postulados explícitamente. A fines de ese siglo la misma fue
presentada por el gran matemático alemán David Hilbert en sus Fundamentos
de la geometría (1899). Con esta reformulación se perfeccionó la obra de
Euclides agregándosele precisamente los axiomas de orden de los puntos de
una recta, de continuidad y de congruencia, ausentes en los Elementos.
1.d. Las “proposiciones” son lo que hoy llamamos teoremas, una mezcla un tanto
extraña de problemas y al mismo tiempo de tesis afirmativas. A partir de esto, se
puede decir que la geometría surgió de problemas y, a partir de estos, forjó
proposiciones. Muchas de las de Euclides son, especies de teoremas de
existencia que se resuelven con una construcción, pero en algunos casos ello no
ocurre.

4. 1.e. PROPOSICIÓN I.1: Sobre un segmento construir un triángulo
equilátero.
Esta proposición afirma la existencia de los triángulos equiláteros, Euclides sabía
que no basta definir un ente para asegurar su existencia. La misma constituye
entonces, una Demostración de existencia.
Sea 𝑨𝑩
̅̅̅̅ un segmento.
Con centro en A y radio 𝑨𝑩
̅̅̅̅ se describe una circunferencia. (postulado 4:
“Dado un punto y un segmento siempre se puede construir una
circunferencia con centro en ese punto y radio ese segmento.”)
Con centro en B y radio 𝑩𝑨
̅̅̅̅ se describe una circunferencia. (postulado 4:
“Dado un punto y un segmento siempre se puede construir una
circunferencia con centro en ese punto y radio ese segmento.”)
Desde el punto C de intersección de las dos circunferencias se trazan los
segmentos 𝑪𝑨
̅̅̅̅ y 𝑪𝑩
̅̅̅̅̅̅(postulado 1: “Desde un punto se puede conducir
siempre una recta hasta otro punto”)
Como 𝑪𝑨
̅̅̅̅ = 𝑪𝑩
̅̅̅̅ (definición 15: “Un círculo es una figura plana
comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que
todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que
están dentro de la figura son iguales entre sí.”)
y 𝑩𝑪
̅̅̅̅ = 𝑨𝑩
̅̅̅̅ (definición 15: “Un círculo es una figura plana
comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que
todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que
están dentro de la figura son iguales entre sí.”)
resulta 𝑪𝑨
̅̅̅̅ y 𝑪𝑩
̅̅̅̅̅ (noción común 1: Cosas iguales a una tercera son iguales
entre sí.)

5. luego el triángulo construido es equilátero. (definición 20: Y un número cubo
el multiplicado dos veces por sí mismo o el comprendido por tres números
iguales.)
Esta demostración no es válida ya que a pesar de que la existencia de la
circunferencia puede certificarse por el postulado 4, la del punto C de la
intersección de las circunferencias no es asegurada por ninguno de los
postulados enunciados. Para poder demostrarla sería necesario utilizar algún
postulado equivalente al de continuidad. Euclides ha aprobado implícitamente un
postulado que no aparece entre los mencionados en su labor. Tendría que pasar
mucho tiempo para que este fuera explicitado.
1.f. PROPOSICIÓN I. 2 : Por un punto dado (como extremo) llevar (construir)
un segmento igual a otro segmento dado.
• Sea 𝑨 el punto dado y 𝑩𝑪
̅̅̅̅ el segmento dado.
• Trácese el segmento 𝑨𝑩
̅̅̅̅ (Postulado 1: Por dos puntos diferentes pasa
una sola línea recta)
• Se construye sobre 𝑨𝑩
̅̅̅̅ el triángulo equilátero 𝐴𝐵𝐷 (Proposición 1: “Los
polígonos semejantes inscritos en círculos son el uno al otro como los
cuadrados de sus diámetros”)

6. • Se prolongan en línea recta 𝑫𝑨
̅̅̅̅ y 𝑫𝑩
̅̅̅̅̅ en las rectas 𝑩𝑭
̅̅̅̅ y 𝑨𝑬
̅̅̅̅ (Postulado 2:
Un segmento rectilíneo puede ser siempre alargado)
• Con centro en 𝑩 y radio 𝑩𝑪
̅̅̅̅ se describe una circunferencia que corta a la
recta 𝑩𝑭
̅̅̅̅ en el punto 𝑮. (Postulado 4: Todos los ángulos rectos son
iguales)
• Con centro en 𝑫 y radio 𝑫𝑮
̅̅̅̅̅se describe una circunferencia que corta a la
recta 𝑨𝑬
̅̅̅̅ en el punto 𝑳. (Postulado 4: Todos los ángulos rectos son
iguales)
• Resulta 𝑩𝑪
̅̅̅̅ =𝑩𝑮
̅̅̅̅ (Definición 15: “Un círculo es una figura plana
comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo
que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de
los que están dentro de la figura son iguales entre sí” y definición 16:
“Y el punto se llama centro del círculo”
• Además 𝑫𝑳
̅̅̅̅̅=𝑫𝑮
̅̅̅̅̅ (Definición 15: “Un círculo es una figura plana
comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo
que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de
los que están dentro de la figura son iguales entre sí” y definición 16:
“Y el punto se llama centro del círculo”
• Como 𝑫𝑨
̅̅̅̅ = 𝑫𝑩
̅̅̅̅̅, entonces 𝑨𝑳
̅̅̅̅=𝑩𝑮
̅̅̅̅̅ (Noción común 3: “Si a cosas iguales
se quitan cosas iguales, los restos son iguales también”)
• Luego 𝑨𝑳
̅̅̅̅=𝑩𝑪
̅̅̅̅̅ (Noción común 1: “Cosas iguales a una tercera son
iguales entre sí”)
Esta segunda proposición pone en evidencia otra particularidad de la geometría
helénica: La posibilidad de transportar un segmento. Como podemos ver
Euclides elimina todo razonamiento basado en los movimientos físicos ¿quién
hubiera creído que era necesario demostrar la posibilidad de transportar un
segmento? La misma es una de las tantas evidencias de la inteligencia de
Euclides.
1.g. PROPOSICIÓN I. 3: Dados dos segmentos desiguales, quitar del mayor
un segmento igual al menor.
Sean, entonces:
Una figura que sugiere la demostración es la siguiente:

7. Se construye con origen en 𝑨 el segmento 𝑨𝑫
̅̅̅̅̅igual al 𝑴𝑵
̅̅̅̅̅ (Proposición I. 2:
“Por un punto dado (como extremo) llevar (construir) un segmento igual a
otro segmento dado”)
▪ Con centro en 𝑨 y radio 𝑨𝑫 se describe una circunferencia (Postulado 4:
“Todos los ángulos rectos son iguales”)
▪ Como 𝑨 es el centro de la circunferencia 𝑫𝑬𝒁, el segmento 𝑨𝑬
̅̅̅̅̅ es igual al
𝑨𝑫
̅̅̅̅̅ (Definición 15: “Un círculo es una figura plana comprendida por una
sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas
dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro
de la figura son iguales entre sí” y definición 16: “Y el punto se llama
centro del círculo”
▪ Como 𝑴𝑵
̅̅̅̅̅̅= 𝑨𝑫
̅̅̅̅̅ resulta 𝑨𝑬=𝑴𝑵 (Noción común 1: “cosas iguales a una
tercera son iguales entre sí”).
▪ Luego, de dos segmentos desiguales, del mayor se ha separado un
segmento igual al menor.
2. La polémica acerca de si Euclides debe de ser considerado platónico o
aristotélico ha hecho correr muchos ríos de tinta. A favor de la primera creencia,
sostenida por el matemático ítalo–argentino, Beppo Levi, puede utilizarse el
hecho de que en ninguna de las 465 proposiciones que encontramos en los
Elementos se señalan aplicaciones prácticas, algo que se hubiese complacido a
Platón por el carácter de “conocimiento puro” que se advierte en la obra. Sin
embargo, la metodología aristotélica aparece claramente en la sistematización
que propone Euclides. Las definiciones, los postulados y las nociones comunes,
con los que comienza su libro son similares a los “puntos de partida”, a similares
“puntos de partida” empleados para Aristóteles. Por momentos, es
evidentemente platónico, pues está pensando en la figura geométrica como una
entidad autónoma de por sí. Pero también habla de movimientos, de
desplazamientos y hasta del transcurso del tiempo, y evidentemente allí se está
refiriendo al espacio real, concreto.
Según el filósofo Proclo de Licia, Euclides se había formado en la Academia de
Platón, cuya influencia se aprecia en su obra, que dedica una parte a la

8. construcción de los cinco sólidos platónicos (tetraedro, cubo, octaedro,
dodecaedro e icosaedro).
De todas maneras, la opinión de los historiadores de la ciencia es que no se
puede desgajar con claridad cuál fue el propio más pensamiento de Euclides a
ese especto y que en su obra conviven aspectos de las posiciones, la platónica
y la aristotélica.