1. Convergencia de series num´ericas
2 de mayo de 2014
El estudio de la convergencia de series en donde todos los t´erminos tienen el mismo signo
no es el mismo del de la convergencia de series en donde los t´erminos pueden ir cambiando
de signo (al sumar cantidades positivas y negativas pueden producirse oscilaciones a medida
que el n´umero de t´erminos sumados tiende a infinito).
1. Series de t´erminos positivos (an > 0 ∀ n)
Si los t´erminos an son positivos entonces la sucesi´on de sumas parciales
{sN }N∈N =
N
n=1
an
n∈N
(1)
es creciente y el l´ımite l´ım
N→∞
sN , al que denotamos por an, siempre existe, aunque
puede valer +∞. Hay entonces s´olo dos posibilidades:
1. La sucesi´on {sN } es acotada (∃Λ : sN ≤ Λ ∀ N), caso en el cual an < ∞ (i.e. el
l´ımite l´ımN
N
1 an existe y es finito, la serie an converge).
2. La sucesi´on {sN } no puede acotarse superiormente (∀Λ∃N : sN > Λ), caso en el
cual an = ∞ (i.e. sN tiende a infinito, la serie diverge a infinito).
Si ∃N : an ≤ bn ∀ N > n entonces an ≤ bn. Esto implica que si bn < ∞
entonces an < ∞ (si bn converge entonces an converge) y si an = ∞ entonces
bn = ∞ (ambas series divergen a +∞).
Si
an
bn n∈N
converge a un l´ımite L y 0 < L < ∞ (desigualdades estrictas) entonces
an y bn ambas convergen o bien ambas divergen.
El estudio de series an en donde todos los t´erminos son negativos es equivalente al
de series en donde todos son positivos, basta escribir an como − |an|.
2. Series cualesquiera (en donde los t´erminos pueden
cambiar de signo)
Si an converge entonces an → 0; si {|an|} no converge o converge a un l´ımite distinto
de cero entonces la serie an necesariamente diverge.
Si |an| converge entonces an converge (decimos que an converge absolutamen-
te).
1

2. Si la serie es alternante (an+1 tiene el signo contrario al de an para todo n) y la sucesi´on
{|an|} es decreciente y tiende a cero, an converge (Leibniz).
Si
|an+1|
|an| n∈N
converge y el l´ımite q es estrictamente menor que 1 entonces an
converge absolutamente.
Si
|an+1|
|an| n∈N
y el l´ımite q es estrictamente mayor que 1 entonces an diverge
(|an| → ∞).
Si { n
|an|} converge y el l´ımite q es menor que 1 entonces an converge absoluta-
mente.
Si { n
|an|} converge y el l´ımite q es mayor que 1 entonces an diverge.
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