2. Teorema
si es una sucesión monótona decreciente con límite
0, la serie alternada
Converge.
Si S designa su suma y Su suma parcial n- sima, se tienen
las desigualdades.
3. SERIES
ALTERNANTES
ES UN TIPO DE SERIES INFINITAS QUE
CONSTA DE
TERMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS,
CUYOS
TERMINOS SON ALTERNADAMENTE ,
POSITIVOS Y NEGATIVOS .
4. Si para todos los números enteros positivos n,
entonces la series pueden ser con su primer término
Positivo:
Y con su primer número negativo:
7. Una serie alternante es convergente si los valores
absolutos
De sus términos decrecen y el límite n- esimo
término es cero.
Este criterio también se le conoce como el
Criterio de Leibniz para series alternantes
debido a que fue formulado por él en 1705.
8. TEOREMA DEL CRITERIO DE LAS
SERIES ALTERNANTES
Suponga que se tiene la serie alternante:
Para todos los números enteros positivos n.
Entonces la serie alternante es convergente.
10. Por hipótesis se tiene que:
Cada cantidad en la hipótesis es positiva :
También se puede escribir como :
11. Como , cada cantidad dentro de los paréntesis
es positiva. Por lo tanto:
Para cada número positivo n.
De (3) y (4) :
Para cada número positivo n.
De modo que la sucesión es monótona acotada entonces
ES CONVERGENTE.
12. Suponga que el límite de esta sucesión es , esto es:
entonces
como
Por hipótesis
13. 0entonces
entonces
Por lo tanto, la sucesión de sumas parciales de los términos
Pares y la sucesión de sumas de los términos impares
Tienen el mismo límite S.