Resolución de un problema mediante el método de Gauss

1. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Tres personas A, B y C le van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 €. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de las siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 € que paga B , C paga 3 €. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.

2. Planteamiento del problema X= lo que paga A Y = lo que paga B Z = lo que paga C Planteamos las ecuaciones: x+y+z=86 x=3(y+z) y/2=z/3

3. Planteamiento del problema Simplificamos las las ecuaciones: x+y+z=86 x-3y-3z=0 3y-2z=0

4. Aplicamos el método de Gauss En primer lugar hacemos ceros en la x, para ello a la segunda ecuación le restamos la primera, las otras dos se quedan como están: X + y + z = 86 -4y – 4z = -86 3Y – 2z = 0

5. Aplicamos el método de Gauss Ahora hacemos ceros en la y, para multiplicamos la segunda ecuación por 3 y la tercera por cuatro el resultado lo sumamos: X + y + z = 86 -4y – 4z = -86 – 20z = -258

6. Aplicamos el método de Gauss Despejamos la última ecuación: X + y + z = 86 -4y – 4z = -86 Z=-258/-20, es decir, z = 12,9

7. Aplicamos el método de Gauss Despejamos de la segunda ecuación: X + y + z = 86 -4y – 4(12,9) = -86;-4y – 51,6 = -86; -4y=-86+51,6; 4y= -34,4; y = 8,6 z = 12,9

8. Aplicamos el método de Gauss Despejamos de la primera ecuación: X = 86 - 12,9 – 8,6; X = 64,5 y = 8,6 z = 12,9