Sistemas de gauss jordan

1. Bachiller:
Jorge Franco Calkitis
C.I: 10.292.157
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Ingeniería Industrial
Cátedra: Algebra Lineal
Sede Barcelona
Profesora: Milagros Maita
PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS

2. MÉTODO DE GAUSS
APLICACION DEL METODO DE GAUSS
MÉTODO DE GAUSS-
JORDAN
APLICACIÓN DE GAUSS-
JORDAN
PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS

3. El método de Gauss para la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales consiste en transformar un
sistema en otro equivalente con forma triangular,
cuya resolución es sencilla.
Para ello se mantiene invariable la primera ecuación
y se sustituyen las siguientes ecuaciones por las que
resultan de eliminar la primera incógnita entre la
primera ecuación y cada una de las restantes
Se mantendrán invariables las ecuaciones por las
que se obtienen de eliminar la segunda incógnita
entra la segunda ecuación y cada una de las
siguientes.
Se continúa así el proceso hasta obtener un sistema
en forma triangular
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4. Reducir a forma triangular los siguientes sistemas:
x + y + z = 3
x+ 2y + 3z = 2
x + 4y + 9z = - 2
( m =3, n = 3)
Sobre la matriz del sistema eliminamos la x entre la primera
ecuación y las dos restantes. Para ello:
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5. 1 1 1 3 1 1 1 3
1 2 3 2 0 1 2 -1
1 4 9 -2 -f1 + f2 0 3 8 -5
-f1 + f3
ahora eliminamos la y entre la segunda y la tercera ecuación,
1 1 1 3 1 1 1 3
1 2 3 -1 0 1 2 -1
0 3 8 -5 -3 / 2 + f3 0 0 2 -2
obtenemos así el sistema equivalente en forma triangular y +
2z = -1
x + y + z = 3
2z = -2
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6. -2x + y + z = 1
x – 2y + z = -2 (m = n = 3)
x + y – 2z = 4
-2 1 1 1 -2 1 1 1
1 -2 1 -2 0 -3 3 -3
1 1-2 4 f1 + 2f2 0 3 -3 9 f2 + f3
f1 + 2f3
-2 1 1 1
0 -3 3 –3
0 0 0 6
obteniendo el sistema triangular equivalente al original:
-2x + y + z = 1
-3y + 3z = -3
0 = 6
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7. 2x + y +z = 1 (m = 2 n =3)
3x + y – z = 0
efectuando transformaciones:
2 1 1 1 2 1 1 1
3 1 -1 0 -3f1 + 2f2 0 –1 –5 -3
y obtenemos el sistema triangular :
2x + y + z = 1
-y – 5z = -3
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8. Es similar al método de Gauss. Se emplea en la resolución de sistemas
lineales de tantas ecuaciones como incógnitas.
Se emplean las mismas reglas de sistemas equivalentes que en el
Método de Gauss.
OBJETIVO: Conseguir que los coeficientes de la diagonal principal
de un sistema sean unos y el resto de los coeficientes valgan cero.
Sea: a.x + b.y + c.z = d
a´.x + b’.y + c’.z = d’
a”.x + b”.y + c”.z = d”
Opero mediante el Método de Gauss, obteniendo:
a.x + b.y + c.z = d
+ e.y + f.z = g
h.z = j
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9. Aplico el método de Jordan:
Resto a la 2º fila la 3º fila multiplicada por f / h
Resto a la 1º fila la 3º fila multiplicada por c / h
Queda:
a.x + b.y = k
+ e.y = p
h.z = j
Resto a la 1º fila la 2º fila multiplicada por b / e
Queda:
a.x = q  x = q / a
e.y = p  y = p / e
h.z = j  z = j / h
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10. La suma de las tres cifras de un número es 14. La cifra de las
centenas y la de las decenas suman la de las unidades.
Si invertimos el orden de las cifras el número aumenta en 396
unidades. ¿De qué número se trata?.
Resolución:
Sea N = zyx el número pedido
Sea x = la cifra de las unidades.
Sea y = la cifra de las decenas.
Sea z = la cifra de las centenas.
Tenemos:
x+y+z = 14  x + y + z = 14
z+y=x  x – y – z = 0
xyz=zyx+396  100.x+10.y+z = 100.z + 10.y + x + 396
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11. PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS
0 – 99 – 198 – 990
El sistema de ecuaciones quedará así:
x + y + z = 14
x – y – z = 0
99.x – 99.z = 396
Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los
coeficientes y los términos independientes:
1 1 1 14
1 -1 -1 0
99 0 -99 396
Aplicando el método de Gauss:
F3 = F3 – 99F1 y F2 = F2 - F1
1 1 1 14
0 – 2 – 2 – 14

12. Dividiendo entre - 2 la segunda y entre – 99 la tercera, queda:
1 1 1 14
0 1 1 7
0 1 2 10
A la tercera fila o ecuación la resto la segunda fila o ecuación.
F3 = F3 – F2
1 1 1 14
0 1 1 7
0 0 1 3
Aplicando el método de Jordan:
A la primera fila la resto la segunda y a la segunda la resto la
primera:
1 0 0 7  x = 7
0 1 0 4  y = 4
0 0 1 3  z = 3
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