Tres personas (A, B, C) comparten el costo de un regalo de 86€. Se plantea un sistema de ecuaciones para determinar cuánto paga cada persona, donde A paga el triple de B y C juntos, y C paga 3€ por cada 2€ de B. Usando el método de Gauss, se resuelve el sistema obteniendo que A paga 64.5€, B paga 8.6€, y C paga 12.9€.
1. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Tres personas A, B y C le van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 €. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de las siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 € que paga B , C paga 3 €. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.
2. Resolución de problemas mediante el método de Gauss X: Dinero que paga A Y: Dinero que paga B Z: Dinero que paga C Como el regalo les cuesta 86 €, la primera ecuación es: E1: X + Y + Z = 86 A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, tenemos: E2: X = 3( Y + Z ) Por cada 2 € que paga B , C paga 3 €, luego esto nos dice: E3: Y/2 = Z/3
3. Resolución de problemas mediante el método de Gauss El sistema lo escribimos en su forma estándar y luego sustituimos E2 por E1-E2, y nos queda: E1: X + Y + Z = 86 E1 X + Y + Z = 86 E2: X - 3Y - 3Z = 0 E1-E2 4Y + 4Z = 86 E3: 3Y - 2Z = 0 E3 3Y - 2Z = 0 Dividimos a la segunda ecuación por 4, y luego restamos a la tercera ecuación tres veces la segunda y queda: E1: X + Y + Z = 86 E1 X+ Y + Z = 86 E2/4: Y + Z = 21,5 E2 Y + Z = 21,5 E3: 3Y - 2Z = 0 E3-3E2 -5Z = -64,5
4. Resolución de problemas mediante el método de Gauss El último sistema es escalonado y es fácil resolverlo. En la última ecuación calculamos el valor de Z E1: X + Y + Z = 86 E2: Y + Z = 21,5 E3: -5Z = -64,5 Z = 12,9 En la segunda ecuación sustituimos Z por 12,9 y hallamos el valor de Y E1: X + Y + Z = 86 E2: Y + 12,9 = 21,5 Y = 8,6 E3: Z = 12,9 Por último, sustituimos en la primera ecuación Y por 7,6 y Z por 12,9 y obtenemos el valor de X E1: X + 8,6 + 12,9 = 86 X = 64,5
5. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Ya está resuelto el problema y la solución es: X: Dinero que paga A 64,5 € Y: Dinero que paga B 8,6 € Z: Dinero que paga C 12,9 € Por último comprobamos la solución en el sistema inicial: E1: X + Y + Z = 86 64,5 + 8,6 + 12,9 = 86 E2: X = 3( Y + Z ) 64,5 = 3(8,6+12,9) E3: Y/2 = Z/3 8,6/2 = 12,9/3
