Educacion

1. Elaborado por:
M. En C.T.E. Cecilia Vargas Velasco
Equipo de trabajo
TecNM – TESCI
Educación a Distancia

2. Desigualdades de segundo grado
Una desigualdad de segundo grado tiene la forma 𝑎𝑥2 +
𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑜, para resolverla se pondrá un ejemplo para
explicar el procedimiento, para ello se da el siguiente
ejercicio:
Resolver la siguiente desigualdad:
𝑥2 − 8 ≥ 𝑥

3. Ejemplo 1:
Encontrar las raíces de la desigualdad, para ello pasaremos
todos los términos del lado izquierdo.
𝑥2
− 8 ≥ 2𝑥
𝑥2 − 8 − 2𝑥 ≥ 0
𝑥2
− 2𝑥 − 8 ≥ 0

4. 2. Encontrar las raíces de la desigualdad:
Para encontrar las raíces se pueden utilizar dos métodos, que
serían los mismos si se trataran de una ecuación de segundo
grado: por factorización o por fórmula general
Se iguala cada factor a cero y se despeja “x”
Método 1: Factorización 𝑥2−2𝑥 − 8 ≥ 0
𝑥 − 4 𝑥 + 2 ≥ 0
𝑥 − 4 = 0 𝑥 + 2 = 0
𝑥 = 4 𝑥 = −2

5. Método 2: Por fórmula general
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(−2) ± (−2)2−4(1)(−8)
2(1)
𝑥 =
2 ± 4 − 32
2
𝑥 =
2 ± 6
2
𝑥1 =
2 + 6
2
= 4
𝑥2 =
2 − 6
2
= −2
𝑥2
− 2𝑥 − 8
𝑎 = 𝑁ú𝑚 𝑎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎ñ𝑎 𝑥2
𝑏 = 𝑁ú𝑚 𝑎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎ñ𝑎 𝑥
𝑐 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜
𝑎 = 1
𝑏 = −2
𝑐 = −8
Signo contrario
𝑥2 − 2𝑥 − 8 = (𝑥 − 4)(𝑥 + 2)

6. 2. Determinar la solución de la desigualdad
Sabemos que
𝑥2
− 2𝑥 − 8 ≥ 0
(𝑥 − 4)(𝑥 + 2) ≥ 0
Nuestras raíces son 𝑥 = 4 𝑦 𝑥 = −2
Vamos a construir un intervalo de (-∞, ∞) que se segmente en cada
valor crítico de la siguiente forma:
Intervalo
−∞, −𝟐
[−𝟐, 𝟒]
[𝟒, ∞)

7. Ahora vamos a asignar un valor arbitrario en cada intervalo que este
dentro de ese intervalo, al cual denominaremos “k”
Intervalo K
−∞, −𝟐 −3
[−𝟐, 𝟒] 1
[𝟒, ∞) 7
Vamos a resolver la desigualdad para saber qué valor tomaría
asignándole a “x” el valor de K

8. Intervalo K 𝒙 − 𝟒 (𝒙 + 𝟐) (𝒙 − 𝟒) 𝒙 + 𝟐
−∞, −𝟐 −3 −4 − 3 = 7 −3 + 2 = 1 +
[−𝟐, 𝟒] 1 1 − 4 = −3 1 + 2 = 3 −
[𝟒, ∞) 7 7 − 4 = 3 7 + 2 = 9 +
NOTA: Se quieren los valores mayores o iguales
a cero, es decir los positivos, de acuerdo al signo
de la desigualdad, la solución es la primera y
tercera columna, donde sea positivo.

9. Para determinar la solución de la ecuación recordemos la
desigualdad
𝑥2 − 2𝑥 − 8 ≥ 0
El signo es mayor igual a cero, los valores
mayores a cero son los positivos, por lo tanto la
solución será los intervalos que en la última
columna nos den positivos

10. Intervalo K 𝒙 − 𝟒 (𝒙 + 𝟐) (𝒙 − 𝟒) 𝒙 + 𝟐
−∞, −𝟐 −3 −4 − 3 = 7 −3 + 2 = 1 +
[−𝟐, 𝟒] 1 1 − 4 = −3 1 + 2 = 3 −
[𝟒, ∞) 7 7 − 4 = 3 7 + 2 = 9 +
Solución: 𝒙 ∈ −∞, −𝟐 ∪ [𝟒, ∞)

11. Ejemplo 2
−6𝑥2 − 8𝑥 + 1 ≥ 3𝑥2 + 4𝑥 + 5
1. Encontrar las raíces de la desigualdad:
Para encontrar las raíces en este caso utilizaremos la fórmula general.
Ahora se iguala cada factor a cero y se despeja “x”
−6𝑥2 − 8𝑥 + 1 ≥ 3𝑥2 + 4𝑥 + 5
−6𝑥2 − 8𝑥 + 1 − 3𝑥2 − 4𝑥 − 5 ≥ 0
−9𝑥2
− 12𝑥 − 4 ≥ 0 − 1
9𝑥2 + 12𝑥 + 4 ≤ 0
NOTA:
Cuando 𝑥2
sea negativa
multiplicar toda la
desigualdad por 1.

12. 𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(12) ± (12)2−4(9)(4)
2(9)
𝑥 =
−12 ± 144 − 144
18
𝑥 =
−12 ± 0
18
𝑥1 = 𝑥2 = −
12
8
𝑥1 = 𝑥2 = −
2
3
a= 9
b= 12
c= 4

13. Recordar que nuestras raíces son
𝑥1 = 𝑥2 = −
2
3
Y para escribir la ecuación se consideran con signo contrario, por lo
tanto la ecuación sería la siguiente:
𝑥 +
2
3
𝑥 +
2
3
≤ 0
Vamos a construir un intervalo de (-∞, ∞) que se segmente en cada
valor crítico de la siguiente forma:
Intervalo
−∞,
2
3
2
3
, ∞

14. Ahora vamos a asignar un valor arbitrario en cada intervalo que este
dentro de ese intervalo, al cual denominaremos “k”
Intervalo K
−∞,
2
3
0
2
3
, ∞
1
Para determinar la solución de la ecuación recordemos la
desigualdad
9𝑥2 + 12𝑥 + 4 ≤ 0
El signo es menor igual a cero, los valores menores a cero son los
negativos, por lo tanto la solución será los intervalos que en la
última columna nos den negativos

15. Intervalo K 𝑥 +
2
3
𝑥 +
2
3
𝑥 +
2
3
𝑥 +
2
3
−∞,
2
3
0 + + +
2
3
, ∞ 1 + + +
No hay
valores
negativos
Respuesta: Valores menores a cero (–). La
desigualdad no tiene solución.

16. CRÉDITOS
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE
CUAUTITLÁN IZCALLI
EDUCACIÓN A DISTANCIA