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Sistemas numéricos
Introducción Euclides (300 a. C.)
Muy poco se sabe de su vida. Sin duda, la gran reputación de
En este módulo se enunciarán, de manera muy breve, los diferentes sistemas numé- Euclides se debe a su famosa obra titulada Los elementos de
ricos y cómo se relacionan entre ellos. Se comenzará con los familiares números geometría, conocida simplemente por los Elementos. Tal es
naturales, 1, 2, 3,..., presentes desde nuestra primera infancia; se pasará por los la importancia de esta obra que se ha usado como texto de
estudios durante cerca de 2.000 años, veinte siglos, sin que
enteros, los racionales y los reales y se terminará con los complejos. Los números se le hicieran correcciones de importancia salvo peque-
complejos se tratarán con más profundidad en los módulos correspondientes al ñas modificaciones. Los Elementos están constituidos por
capítulo doce. trece libros. A aquéllos se ha agregado un libro XIV que
comprende un trabajo de Hipsicles del siglo II de nuestra
era, e incluso un libro XV con un trabajo de menor
importancia.
Objetivos
1. Abordar el estudio somero de los diferentes sistemas numéricos.
2. Establecer relaciones y diferencias entre los números naturales, enteros, racionales,
irracionales, reales y complejos.
Preguntas básicas
1. ¿Qué es un número racional?
2. ¿Qué es un número irracional?
3. ¿Habrá números que sean racionales e irracionales a la vez?
4. ¿Habrá números que sean enteros y racionales a la vez?
Contenido
2.1 Introducción a los sistemas numéricos
2.2 Relación entre los sistemas numéricos
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Álgebra y trigonometría
Álgebra y trigonometría 33

2. Capítulo 1: Elementos de aritmética
2.1 Introducción a los sistemas numéricos
La necesidad de comparar los elementos de un par de conjuntos motivó el "contar"
esos elementos y, con ello, la aparición de unos entes abstractos: los números
naturales. Posteriormente hubo necesidad de referirse a estos entes y por consi-
guiente se les asignó nombres y se les representó mediante los símbolos 1, 2, 3, 4,...
Una vez creados los números naturales, con sus símbolos correspondientes, se
definieron con ellos las operaciones de suma, resta y multiplicación y se resolvieron
problemas dentro de este conjunto.
Algunos de ellos eran problemas del tipo siguiente: resolver la ecuación a + x = b
cuando a y b son naturales y b < a. Esto daba lugar a la posible solución x b a que
no era un número natural. Surgieron así los números enteros que constan de núme-
ros de la forma ... 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...
Un nuevo problema surgió al tratar de resolver la ecuación a · x = b cuya solución no
pertenece al conjunto de los enteros y que es de la forma x = b/a con a z 0. Surgie-
ron entonces los números racionales, que se definen como aquellos que se pueden
escribir como el cociente de dos enteros, donde el entero del denominador es dife-
rente de cero.
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En circunstancias similares, el deseo de resolver la ecuación x 2 dio origen al
concepto de números irracionales, que se caracterizan porque no se pueden escri-
bir como el cociente de dos enteros. La unión de los anteriores conjuntos dio lugar
al campo de los números reales.
Por último, el problema de resolver la ecuación x 2 2 0 condujo al nacimiento de
los números complejos, que se definen como números de la forma a + bi, donde
i= 1.
2.2 Relación entre los sistemas numéricos
El sistema de los números reales es el sistema en el cual se ha trabajado en los ciclos
básico y medio del sistema educativo. La tabla 2.1 describe el conjunto de los
números reales y sus respectivos subconjuntos. En la tabla se cumple la siguiente
cadena de inclusiones: N Ž Z Ž Q Ž R Ž C . Además, si el conjunto de los núme-
ros irracionales lo denotamos por I, se tiene que Q ‰ I R.
Hay que volver a decir que un número irracional es aquel número real que no se
puede escribir como el cociente de dos enteros. Existen muchos números irracionales
famosos como el número S y el número e.
Es conocida la fórmula que relaciona los cinco números más famosos de la matemá-
tica, a saber S , e, 0, 1, i . La fórmula es la siguiente:
eS i 1 0.
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3. Módulo 2: Sistemas numéricos
Tabla 2.1. Relación entre los sistemas numéricos
Símbolo Sistema de Números Descripción
N Números naturales Números para contar.
Z Números enteros Conjunto de números naturales,
sus negativos y el cero.
Q Números racionales Números que se pueden representar en la
forma a/b con a y b enteros, b z 0.
R Números relaes Conjunto que consta de la unión de los
números racinales y los irracionales.
C Números complejos Números de la forma a + bi con a y b
números reales e i 1.
Álgebra y trigonometría 35