1. CÁLCULO PARA LAS CIENCIAS
BIOLÓGICAS
Técticas de Integración
Ing. Daniel Irene

2. Técnicas de Integración
(manipulación algebraica)
Ejercicio:
𝟗𝒙𝟐+𝟓
𝟑𝒙
𝒅𝒙
9𝑥2
+ 5
3𝑥
𝑑𝑥 =
9𝑥2
3𝑥
+
5
3𝑥
𝑑𝑥 =
9𝑥2
3𝑥
𝑑𝑥 +
5
3𝑥
𝑑𝑥
= 3𝑥𝑑𝑥 +
5
3𝑥
𝑑𝑥 = 3 𝑥𝑑𝑥 +
5
3
1
𝑥
𝑑𝑥
= 3
𝑥2
2
+ 𝐶 +
5
3
𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶
=
𝟑𝒙𝟐
𝟐
+
𝟓
𝟑
𝒍𝒏 𝒙 + 𝑪

3. Técnicas de Integración
(por sustitución)
Ejercicio:
𝒍𝒏(𝒙)
𝒙
𝒅𝒙
1. Sustituimos u=ln(x), la función mas larga o
complicada.
2. Encontramos du dada la sustitución
anterior.
3. Reemplazamos los elementos encontrados
en la integral original.
4. Integramos y escribimos las respuesta
según la sustitución inicial.

4. Técnicas de Integración
(por sustitución)
Ejercicio:
𝒍𝒏(𝒙)
𝒙
𝒅𝒙
1. Sustituimos u=ln(x), la función mas
larga o complicada.

5. Técnicas de Integración
(por sustitución)
Ejercicio:
𝒍𝒏(𝒙)
𝒙
𝒅𝒙
2. Encontramos du dada la sustitución
anterior.
𝑢 = ln 𝑥
𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥
𝒅𝒙 = 𝒙𝒅𝒖

6. Técnicas de Integración
(por sustitución)
Ejercicio:
𝒍𝒏(𝒙)
𝒙
𝒅𝒙
3. Reemplazamos los elementos encontrados
en la integral original.
𝒍𝒏(𝒙)
𝒙
𝒅𝒙 =
𝑢
𝑥
𝑥𝑑𝑢 =
𝑢
𝑥
𝑥𝑑𝑢 = 𝒖 ∙ 𝒅𝒖
𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥
𝒅𝒙 = 𝒙𝒅𝒖

7. Técnicas de Integración
(por sustitución)
Ejercicio:
𝒍𝒏(𝒙)
𝒙
𝒅𝒙
4. Integramos y escribimos las respuesta
según la sustitución inicial.
𝑢 ∙ 𝑑𝑢 =
𝑢2
2
+ 𝐶
=
𝑙𝑛2(𝑥)
2
+ 𝐶
𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥
𝒅𝒙 = 𝒙𝒅𝒖

8. Técnicas de Integración
(por partes)
𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − 𝒗𝒅𝒖
1. Intentar tomar como dv la porción más
complicada que se ajuste a una regla básica de
integración y como u el factor restante del
integrante.
2. Intentar tomar como u la porción del integrando
cuya derivada es una función más simple que u y
como dv el factor restante del integrante.

9. Técnicas de Integración
(por partes)
Ejercicio: 𝒙𝟑
𝒆𝒙𝟐
𝒅𝒙
Antes de hallar u y dv hagamos sustitución, ya que si lo
hacemos directamente por partes nos resulta una función
compuesta compleja.
𝒘 = 𝒙𝟐
así entonces 𝒅𝒘 = 𝟐𝒙𝒅𝒙
𝒙𝟑
𝒆𝒙𝟐
𝒅𝒙 = 𝑥 ∙ 𝑤 ∙ 𝑒𝑤
𝑑𝑥
= 𝑥 ∙ 𝑤 ∙ 𝑒𝑤
𝑑𝑤
2𝑥
=
1
2
𝑤 ∙ 𝑒𝑤𝑑𝑤

10. Técnicas de Integración
(por partes)
=
1
2
𝑤 ∙ 𝑒𝑤𝑑𝑤
1. Hallamos las partes u y dv.
2. Calculamos du (derivando u) y v (integrando dv)
𝑢 = 𝑤
𝑑𝑢 = 𝑑𝑤
𝑑𝑣 = 𝑒𝑤𝑑𝑤
𝑣 = 𝑑𝑣 = 𝑒𝑤
𝑑𝑤 = 𝑒𝑤
+ 𝐶

11. Técnicas de Integración
(por partes)
𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − 𝒗𝒅𝒖
𝑤 ∙ 𝑒𝑤
𝑑𝑤
=
1
2
𝑤𝑒𝑤 − 𝑒𝑤𝑑𝑤 =
1
2
𝑤𝑒𝑤 − (𝑒𝑤 + 𝐶)
𝑥3
𝑒𝑥2
𝑑𝑥 =
𝟏
𝟐
𝒙
𝟐
𝒆
𝒙
𝟐
−
𝟏
𝟐
𝒆
𝒙
𝟐
+ 𝑪
𝑢 = 𝑑𝑤
𝑑𝑢 = 𝑑𝑤
𝑑𝑣 = 𝑒𝑤𝑑𝑤
𝑣 = 𝑒𝑤 + 𝐶