4. En efecto, el veClor OE = (O, O, O) E S, ya que O - 2 . O + O = O.
Por tanto,
S F- 0 .
Sean u = (U
I
, U2' U
l
) y v = (U¡, V2. Ul ) dos vectores de S; por tanto, verifican
U¡ - 2u
z
+ U
l
= O y V¡ - 2U2 + v] "" O.
Si tomamos >.., p. E IR, obtenemos el vector
>... u + Ji.. u = >... (U
I
, 112' U
l
) + p.. (U¡, U2' U
l
) =
= (>.. . U¡ + p. UI> >"·"2 + p.. U2' >... u] + p. v
l
)·
Comprobemos que este vector verifica la propiedad que define el
conjunto S:
(>... U
L
+ p. VI) - 2· (>... u
2
+ p.. U2) + (>.. . 11) + Ji' Ul ) ""
= >... (u
L
- 2U2 + u
l
) + p.. (u¡ - 2 U2 + Ul ) = >... 0 + p.. O = o.
EJEM Pl O 3 El conjunto de los numeras enteros, represent ado por l , no es
un subespacio VC(:to1
rial de los reales IR, ya que si tomamos u = 3 E Z y }., = 5 E
IR , el producto
1
5 · J fl.
No se cumple, pues, la condición e de la definición de subespacio.
EJEMPLO 4 Consideremos el conjunto S = [(x, y) E fR2 I X = y2 J.
Observese que. por definición, si (XI' YL), (x
2
â“¢ h ) E S, deben verificar que XL = yL X2 = y ~ .
Const ruimos el vector suma,
1.3
ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 9
y, en este caso, tenemos
, '( )'
XI + X2 = YI + Y2 -¡t. y] + Y2 .
Como (XI' YI) + (X2' ll) "S, no se trata de un subespacio vectorial.
Podemos ver que el vector (0, O) E S, pero este hecho no es
suficiente para que
el conj ullt o sea suhespacio vectorial.
COMBINACiÓN LINEAL
DE VECTORES
Dado un conjunto de vectores ut> U2' ... ,un E E del espacio
vectorial real
E, se di ce Que el vector u E E es combinación lineal de los
8. 3 5
tor (.,
7
y)
(J,
1) .
tendnamos}.,
(2 , 1) Y (3, 2) forman.
un sistema de
de
IR
z
EJEMPLO 2 Los ectorcs (2, l. O) y ( 1,4,2) no forman un sistema de
generadores de
ya
que se puede comprobar que el sistema a que da lugar la expresion
1.6
(x. Y. ,)
A . (2. 1. O) +" ( 1. 4. 2).
no siempre tiene solución.
BASE DE UN
ESPACIO VECTORIAL
1. 6. 1. DEFI NICIÀN DE BASE
El conjunto de vectores 11
1
, 11
2
" . . ,11" E E rorma una bllse del es paci o vectorial real E si y sólo si ve rifica que:
a . tl
l
, tl 2."" ti" son vectOres linealmente independicnt cs.
b . 1I
1
, lI l' .. , lI'j forman un sistema de generadores del es pacio E.
EJEM PlO 1
vectores (2, 1) y (3, 2) forman una base de
ya que,
como hemos comprobado en ejemplos anteriores, son vectores linealmente independientes y
forman un
sistema de generadores de dicho espacio.
EJEMPLO 2 Los ectores (2,1, O) } ( L 4, 2) no forman una base de
r,(l, ya que. aun siendo
linealmente independientes, no for ma n un sistema generador de :l?'
ESPACIOS VECTORIALES APLICACIONES LINEALES . 15
Un ejemplo muy caractenstico de base. ya que es la habit ual mente utilizada , es la denomi nada bast' canónita de un es pacio eetorial E.
que esta
formada por todos los vectores de la fo rma (l. O . ... . O). (O. l
. . . O) .
. . . , (O. O, .... 1) .
I' IIOI' IEDADES
[IJ Si 11 , . U2' . , u" E E es una base del es pacio vectorial E.
entonces cualquier vector de E se expresa de forma llllica como combinacion lineal
de los
de la base; es decir .
"
. A" E R únicos tales que t· .L: A, 11,
, ,
Al vector (Al, A2' " . , A,, ) se le denomina "ector de componentes del
vector uEEen la base 11
1
.11
2
•... , 11".
Esta propiedad se deduce directamente a panir de la definicioll de
base
y de la propiedad 2 del apartado 1.4.
EJ EM Pl O 3 Hemos iforo anteriormente que el cctor ( S. 8) es
combinadon lineal de
ectores (2, 1»' (3, 2) , porque 2 · (2. 1) 3 (3. 2) ( 5,8) Por tanto,
el erlOr
9. ( 5.8) tiene componentes (2. 3) en la base for mada por
CelOreS
(2. 1) }
(3. 2)
Obscnese que 5· (1. O) + S· (O. 1) :0 ( 5. S) Por tanlO. las
componentes del
eetor ( 5. S) son precisamente sus component es en la base canonita
de IR:
[!] Dos bases de un espacio vectorial E ti enen siempre el mi smo
numero
de vectores
Por ejempl o, todas las bases que se puedan formar en el es pacio 'R
2
estaran compuestas por dos vectores. En general. cualquier base del espacio
[1("
estara formada por 11 veClores .
16 • MATEMATICAS EMPRESARIALES
1.7
1.6.2. DIMENSIÀN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Se denomina dimensión del espacio vectorial E, y se representa por dim
E,
al número de vectores de una cualqui era de sus bases. t
En los espacios vectoriales de dimensión finita 11 , para que un
conjunto
de fI vectores forme una base, es suficiente con que se verifique una cualquiera de las dos condiciones de la definición; es decir, que los n
vectores sean
linealmente independientes o formen un sistema de generadores ya asegura
que forman base.
Además, si dim E = n, se verifica que:
• Si U
t
, • •• , U
m
son linealmente independientes == m ~ n .
• Si U
t
, •• • , u'" son un sistema dc generadores == m ~ n.
SUBESPACIO GENERADO POR
UN CONJUNTO DE VECTORES
Dado un conjunto de vectores Ulo U2.' ..• u" del espacio vectorial real
E, se
denomina subespacio generado por ell os, y se representa por (1I
1
• 11 2 • ••• , U,,),
al conjunto dc vectores formado por todas las posi bles combinaciones lineaJes de U
I
• 11
2
."" U,,; es decir:
[VEE / 3At,A2'" .,AIIE R
y
EJEMPLO El subespacio generado por los veClores (1,2,3) y ( 2, 1, O)
será el conjunto formado por lodos los veClores que son combinación lineal de ellos. Es decir,
los vecto·
t Tralaremos unicamenle el caso en que la base está formada por un
numero finito-de ectores (espacios ectoriales de dirnension finita). Los conceplOS ameriores
se podnan generali·
zar para espacios vectoriales de dimensión infinita. como. por ejemplo, el
espacio ectoria!
de los polinomios, con una base infini ta del tipo: ¡,x,x
10. l
, . x ~ .
1.8
ESPACIOS VECTORI ALES APLICACIONES LINEALES . 17
res (o. b. e) tales que
(a. b. e) ~ A (1. 2. J) +" ( 2, 1, O)
Por tanto.
APLICACi ÀN
LI NEAL
1.8. 1. CONCEPTO DE APLICACIÀN LINEAL
Sean E Y F dos espacios vectoriales reales. Diremos que una aplicación
f: E
F
./I EE -- - -J(u)EF
es una aplicaci ón lineal u homomorfismo, ent re E y F si y sólo si se
verifica que
a • • u, u E E, J(u + u) ~ J(u) + J (v).
b • • A E H< Y ./1 E E, J ( A' u) ~ A . J(u) .
Las condiciones a y b pueden expresarse conjuntamente de la siguiente
forma:
v'A.¡.t.e i'R y vu,ve E,
J(A'u +". u) ~ A ·J(u) +" ·J(u).
El conju nto formado por todas las aplicaciones lineales entre los espacios
E y F, representado por J.:(E, F), con las operaciones suma de
aplicaciones
y producto de un escalar por una aplicación constituye otro ejemplo de e s p
a ~
cio vectorial.
EJ EM Pl O 1 Veamos que la aplicación
f: 1R2 --- - - IR}
(x, y) --- -Ix + y. x Jy, y)
18 • MATEMATICAS EMPRESARI ALES
una aplicacion !i ncal clHrc estos
cspacios cctoriales:
(a) Sean 11 (''1' )' 1)' v = ( X2' JIl ) e 1R2 dos
cualesquiera:
f(u .... v) f[(x l' )' 1) +
f(x ) + X
2
')'1 .,. h )
= ((XI + xz) .... (YI +
(Xl .... Xl ) 3()' ) +
+
[
por
propiedades asociatha y]
eonmutati a de la suma en IR
[(XI - )' 1) + (x! ... JIl ). (XI 3YI) + (X2 3J1l )')' I"" JIlJ
- (XI'" )' 1' XI 3YI' )' 1) + (X2 + )'2· x
2
3)'2' )'2)
J(u) + J(,)
(b) Sean /1 (X, y) e
y A e
J (A u) J IA (x, y)J " J(A x, A y)
= I( A x ) + (, y ), (A x ) 3(, , )" y l
[
por la propiedad diSITiblll i' a ]
de la suma en IR
1, . (x
y), , . (x ly).' ' )'1
= A (x + y, x 3)'. y )
, J (u)
EJ EMPLO 2 En r:ambio, la aplir:adon
x
no es una aplicacion lineal. ya que
1. 8,2. TlI' OS DE AI' lICACIONES LI NEALES
Dada una aplicaci on lineal f: E - . F, diremos que:
a . f es un monomor fi smo si f es una aplicación inyectiva.
b . J es un CI)i lllOrfi smo si f es una aplicacion exhausti va.
ESPACIOS VECTORIALES APLICACIONES LINEALES . 19
11. c . j es un isomorfi smo si j es una aplicacion bi yecti va .
d • I es un cndomorfi smo si E = F.
e . f es un aul omorfismo si I es una apl icación bi yccli va y E =
F
1. 8.3. NÀCLEO E IMAGEN DE UNA APLI CACiÀN LI NEAL
Dada una aplicación li neal f: E - F, se denomina nticlco de la
aplicación
lineal, y se representa por Ker lo por Nucj, al conj unt o de vectores
de E
lales que su imagen es el vector nulo de F. Es decir.
{IIE E / J (II)
O, E PI .
Por otra pane, se denomina imagen de la aplicación lineal, y se representa por 1m! o I(E ), al conj unt o de vectores de F que son imagen de
alglm
vector de E. Es decir.
vi
EJ EMPLO 3
el nudeo ) la imagen de la apl icacioll
lineal
f
(x. y ) - • (x + y. x 3)" . y)
Para determinar el nuc1co. buscamos
eClOreS de 11(2 que tienen como
imagen
el ector nulo de IR '. es decir. Kerf !(x . y) E IR
I
/ f (x . y) (O. O. 0>1:
¡(x. y) (x - y. x 3y. yl (O. o. O)
Resulta el sistema de e<:uaciones:
La lloludon
. O. y O Por tanto.
O
O
O
K,,¡ 1(0.0)1
20 • MATEMATI CAS EMPRESARIALES
Para determinar la imagen, debemos encontrar todos los "ectores de [1( 1
que son
imagen de algun ector de <.?.'!; es decir ,
1m!
{a.b,e) 1
Dc
! (x, y) (x 1'" y , x 3y. y ) (o, b, e)
resulta el sistema de ecuaciones:
{
X + y = a
x 3y - b
J - e
Al sustituir la tercera ecuación en las dos alll eriores, tenemos Que
x .... e a, x 3c b,
de donde
x (f,' b + 3e
Por tanto,
a b
Es deci r.
Im! = l(o. b. c) eIR1 j a b 4(' - 01,
y la antiimagen de un vector (o , b. e) cualquiera de este conjunt o
es de la for ma
(x , y) = (o e, e) "" (b + 3e, e).
"ROI' IEDADES
Dada una apl icación lineal f: E - F, se cumplen las sigui entes
propiedades:
[TI f(O/J = O,. . Por tanto, el vector OE E E siempre pert enece a
Kerf.
VUE E, f ( u) = f (u) .
El nucleo de la aplicación lineal f es un subcspacio vectorial de E. Por
tanto, dim (Ker f)
dim E.
ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 21
13. III
podemos representar todas estas imágenes en rorma de cuadro de m rilas
y
11 columnas. que se denomina matri z asociada a la aplicación li neal
f en las
bases B L Y 8
z
:
f(u, ) f(II , ) f (u,)
1 1 1
a" a" a"
a" a" a"
A =
°"' 1
OmZ
°m"
Entonces, dado cualquier vector 11 e E, con component es (Al. Az, ...• A
tI
)
en la base 8
1
, podemos calcul ar su imagen por la aplicación J a partir de la
matri z asociada:
a" a" a"
l.,
f(lI) =
a" a" o"
l.,
a
m
,
°nrZ
a
m
, l.,
ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 23
EJEMPLO 5 La matriz asociada a la aplicación lineal
I
R'
(x, y) ---_, (x + y, x - 3y, y)
en las bases canónicas de los dos espacios vectoriales se determinarÃa
a partir dc
y
y seria, por tanto,
J (I , O) J(O, 1)
1 1
A
l
-i ]
La imagen del vector u "" (5, - 8), que es
J(5 , -8)
(5 - 8, 5 + 24, - 8)
( - 3, 29, - 8),
se puede calcular a part ir de la mat riz asociada, haciendo:
J(u)
-i J
[
1.5 + 1.( - 8)J [ - 3J
[-:J
1·5 - ).( - 8)
29.
0·5+1·( - 8) - 8
1.8.5. RANGO DE UNA APLICACIÀN LINEAL
Dada la aplicación li nealf: E ......,. F, defin imos rango de fcomo la
dimensión
de la imagen de f. Es decir.
Rango (f) = dim (l mJ).
EJEMPLO 6 En el caso de la aplicación
J: HI'
(x, y ) ---- , (x + y, x - 3y, y)
24 • MATEMATtCAS EMPRESARIALES
14. 1.9
hemos visto que
y que una base de la imagen está formada por los vectores (J, 1, O)
Y (4, 0,1), ya
que además de generar la 1m! son independienles. Luego,
Rango (f) = d;m (Im/) = 2.
CAMBIO DE BASE
EN UN ESPACIO VECTORIAL
Dado un espacio vectorial real E de dimensión n, supongamos que
B I = I u
I
• u
I
•· .. ,u,,1 y 8
1
= {VI' °
1
•. . . v,,1 son dos bases del mismo.
Un vector V E E se puede expresar de forma única como combinación li neal de los veclOres de cada una de las dos bases. con lo que tiene componentes distintas en cada una de ellas. Si (al' a2" .. ,Q,,) Y «(JI>
(J2.' .. ,(3,,) son
las componentes respectivas del vector V E E en cada una de las
bases anteriores, entonces la relación entre dichas componentes viene dada por
la denominada matriz del cambio de base de la base B
1
a la base B
z
, definida por:
a ll a
1
2 al"
0 Zl 022 O
2
,,
donde los coeficientes o ij representan las componentes de cada uno de
los
vectores de la base Bl> expresados en la base 8
2
, escritas en columnas; es decir:
U¡ = 0
11
. VI + ... + 0"1 . V"
Uz = 0
12
• VI + ... + a
n
2 • V
n
u" = al'" VI + ... + 0"" . V" .
ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 25
Matricialmeme, la relación entre las componentes del vector se puede escribir como:
~ ,
a" a"
a,"
a,
~ ,
a" a"
a,"
a,
17. vector (0, 1, O, O) genera todo el conj unt o y, por ser li
nealmente independiente,
constituye una base del subespacio. La dimensión de O es, pues, l .
EJERCICIOS RESUELTOS DEL CAPITULO 1 • 29
(e) No es un subespacio veClOrial de ~ ) . Basta con ver Que el vector
(O, 0, O) no pertenece al conjunto, ya Que ° + O· O:::: ° 1'- - 2.
Ejercicio 1.2 Determà nese una base y la dimensión de los siguientes
subespacios vectori ales:
(o) Subespacio de IR) generado por los 'eetores
[(1,2,0), (3,1, - l), (2, - 6, - 1O),( - 1,3,l)[.
(b) Subespacio de lit generado por los "et' lOres
[(2,1. 2, 1), (O, 3, - 1,2), (2, 4, 1,0)[.
SOLUCION (o) Por tratarse de un subcspacio de IR), su dimensión
será menor o igual Que 3.
Comprobemos que los vectores (1, 2, O) y (3, 1, - S) son linealmente
independientes:
de (1,2, O) :::: A(3, 1, - S), tenemos I = 3A, 2 = A, ° "" - SA.
Como no existe solución, no podemos expresar un vector como combinación
lineal
del otro y, por tanto, los vectores son lineal mente independientes.
Además, se puede comprobar Que los dos sistemas de ecuaciones resultantes
de
A¡·( 1,2.0)+A
2
·(J, 1, -5) +A)· (2, - 6, - 10) = (0,0,0)
>, ,(1, 2, 0)+ >"(3, 1, - l) + >,·(-1,3, l) ~ (O, O, O)
no sólo tienen la solución Al = A2 = Al = O. Veámoslo, por ejemplo, en
el primer caso:
El sistema de ecuaciones es
[
Al + 3A! + 2A) = °
2AI +A2 - 6A) = O.
- 5A
2
- lOA) = O
De la tercera ecuación, obtenemos A2 = - 2A)_ Sustituyendo en las
otras dos
ecuaciones, queda
Como las dos ecuaciones son proporcionales, tenemos Al =- 4A). Por tanto, el
sistema tiene infinitas soluciones:
AJ e IR.
30 • MATEMÀTICAS EMPRESARIALES
En el segundo caso, se procederÃa de for ma análoga . Asà pues, los
conjuntos de
vectores
1(1, 2,0),(3,1. - 5),(2, - 6, - 10)1 y 1(1,2,0),(3,1, - 5),(- 1,3,5)1
son linealmente dependientes, y no pueden ser base. Por tanto, una base
del subespacio es ! (1 , 2, 0.), (3 , 1, - 5) J ' ya que son linealmente
independientes y generan el
subespacio, y su dimensión es 2.
(b) En eSle caso, se puede comprobar que el sistema de ecuaciones
Al . (2, 1, 2, 1) + A2 . (O, 3, - 1, 2) + Aj . (2, 4, 1, 0.) =
(O, O, O, O)
sólo tiene la solución trivial Al = A2 = Al = O y, por tant o,
los vectores son linealmente independientes. En consccuencia, los vcelores (2, 1, 2, 1) , (O,
3, - 1, 2) y
(2,4, 1, O) forman una base del subespacio vectoria l, y su
dimensión es 3.
Ejercicio ' .3
que la intersección de dos
19. 32 • MATEMATICAS EMPRESARIALES
Ejercicio 1.6 DetermÃnese entre los "ectores
U¡ = ( - 1, O, 2),
= (2, l. 3), tl
J
= (1,1,5), tl
4
= (5, - 2, O) .
cuá nt as bases de R
J
se pueden for mar y hállense las componentes del "ector (1 , 1, 3) en
cada una de las
SOL VelaN El espacio IR
J
tiene dimensión 3, luego cada una de sus bases estará formada
por !reS
vectores, Las diferentes bases dc fl2J que se pueden formar con estos
veclores son:
puesto que en la otra posibilidad. I u
1
• u
2
• uJI. los vectores son linealmente dependientes, ya que 1/ ) = 1/
1
+ 11 2'
Las diferentes componentes son:
Ejerci ci o 1.7 C OI
de'
apli
1 5 1 ( 1 5 1 )
(1, 1,3) =.- ( - 1, O, 2) + 6 (2, 1, 3) - 12 (5, - 2, O) = 4' 6 ' 12 .
7
(1 , 1.3) = 12(2,1,3) +
la base B
1
:
1 ( 7 1 1 )
4 (1,1,5) - 12 (5, - 2, O) = 12' 4 ' - 12 .
7 5 1 ( 7 5 1 )
, 3) = - 12 ( - 1, 0,2)+ 6 (1, 1,5) - 12(5, - 2, 0) = - 12 ' 6 ' 12 .
si las siguient es aplicaciones son aplicaciones lineales. En easo
afirmativo.
'te el núcl eo, la imagen, sus di mensiones y una base respectiva, el
rango de la
y su matri z asociada en las bases canónicas:
L ¡.
(a) f: IR!
dd ini da por ¡(x, y, z) = (l." + Y. y - 3z).
(b) f: IR
J
- IR
l
definida por ¡(x, y, z) = (xy. y. z).
(e) f: IR
l
II(J definida por ¡(x, y, z) = (x + y , O, Y + z).
EJERCICIOS RESUELTOS DEL CAPÃTULO 1 • 33
SOLUCIÀN (a) La aplicación defi nida por ¡(x, y, z) = (2x + y. y 3z) es una aplicación lineal, ya
que:
¡[(XI' Y¡, z¡) + (x
2
, Yl, Z2)] = ¡ (XI + x
20. 2
' YI + Y2, ZI + Zz) =
= [2 (XI + X2) + (YI + h), (YI + Y2) - 3 (ZI + Z2)] =
= [(al + YI) + (2x
l
+ h ), (YI - 3z
l
) + (Y2 - 3z
2
)] =
= (2x
1
+ YI' YI - 3z
l
) + (2x
2
+ Yl, Yl - 3z
2
) =
= ¡(XI' YI' ZI ) + ¡ (x
2
, h, Z2)'
Análogamente. tenemos que
JlA' (x, y, z)) ~ f(Ax, AY, AZ) ~ [2· (Ax) + (AY), (AY) ~ 3 . (Az)[
~
~ [A' (2x + y), A' (y ~ 3z)1 ~ A' (2x + y, y ~ 3z) ~
~ A ·f(x , y, z) .
Para determinar el núcleo de la apl icación, buscamos los vectores
(x, y, Z) E IR
l
cuya imagen sea el vector (O, O) E f,(2;
f(x, y, z) ~ (2x + y, Y ~ 3z) ~ (0, O).
Resulta el sistema de ecuaciones
f2
X
+Y =O
ty -3z = O •
Despejando en la segunda ecuación, obtenemos y = 3z, y sustituyendo en
la primera, 2x + 3z = O y, por tanto,
3
x = - 2 z.
Asà pues. el núcleo está for mado por todos los vectores de la
forma
( - ~ z, 3z , z), con ZE IR.
Una base del núcleo está formada por el vector
( ~ ~ , J. 1),
ya que, además de generar el Ker J, es linealmente independiente. Su
dimensión es 1.
A partir de la propiedad 6 de las apli caciones lineales, sabemos que
dim IR' = dim KerJ + dim 1m/.
34 • MATEMÀTICAS EMPRESARIALES
Por tanto,
dim Imf = dim IR) - dim Ker 1= 3 - 1 = 2.
Como la dimensión de la imagen coincide con el espacio final, IR
l
, tenemos que
Im/ = IRl ; por tanto, una base podrÃa ser la canónica, (1, O), (O,
1) .
El rango de la aplicación, o dimensión de la imagen, es 2.
Finalmente, para determinar la matri z asociada a la aplicación en las bases
canónicas, debemos determi nar las imágenes de los vectores de la base
canónica de IR] :
22. verifica que O· u == 0F, podemos escribir:
f (O/J = 1(0 · 11) = I por ser 1 lineal I = O . 1(11) = O,
de donde resulta que, efect ivamente, I (Oe) = 01-'
Ej erci ci o 1.9 Si la mulri..: asociada u tl nu uplicaci ón lineal
es, en determi nadas bases,
A
[ - : ]
determÃnese:
(a) l as dimensiones de los espacios inici al y final.
(h)
analÃtica de 1:1 aplicación lineal.
(e) El núcleo. una base y su dimensión.
(d) l a imagen. una base. su dimensión l' el rango de la
aplicación.
SOL vel6N (a) Por ser una matriz de orden 3 x 2, resulta que la
aplicación es del lipo
f: JR2 _ r;?l.
36 • MATEMÀTICAS EMPRESARI ALES
(b) La expresión analÃtica la calcularemos determinando la imagen de
un vector de ~
cualqui era:
Asà pues,
J(x, y) : (2x, - x - Jy, y ).
(e) Para determinar el núcleo, buscamos los vectores (x. y) E ~
tales que
J(x, y) : (2x. - x - Jy, y) : (0, 0, O).
Result a el sistema de ecuaciones
[
2x : °
- x - 3y = 0
y ::: O
con solución x = y = O. Por tanto.
Kerl= 1(0,0)1 y dim Kerl = O.
(d) Usando la relación emre las dimensiones. tenemos que
dim lml = dim ~ - dim Ker 1= 2 - O = 2.
Como sabemos que las imágenes de los vectores de una base de ~
generan el
subespacio Iml. tenemos que
J(l, O): (2, - 1, O),
J(O, 1) : (O, - J, 1)
generan Iml; como tiene dimensión 2, además constituyen una base
suya:
ImJ: «2, - l . O), (0, -J, 1)).
Por definición,
rangol = dim Im f = 2.
Ejercici o 1.10 Duda 111 apli cación lineal f: 1R2 -- Jl(l defini da
Ilor f(x , y ) = (2x - y. 3y, xl . se pide:
(a) DetermÃnese la mat riz asoci ada a la a pli caci ón en las bases
[(J, 1) ,(0, - 1) ) Y 1(1,0,1),(0,2,0),(1,1,0)).
(b) CalclÃl eS4! la imagen del ,'eclor (3, - 2) en las bases a nteri
ores.
EJERCICIOS RESUELTOS DEl CAPiTULO 1 • 37
SOLUCIÀN (a) Para determinar la matriz asociada a la aplicaci ón lineal
en unas determinadas bases , debemos calcular las imágenes de los vectores de la base del
espacio inicial , expresadas en la base del espacio fi nal; por tanto:
1(3, 1) ~ (5, 3, 3) ~ A,' ( 1, 0, 1) + A,' (0,2, O) + A,' (1 , 1, O).
Desarrollando, queda el sistema de ecuaciones:
La solución del sistema es
Al = 3,
Análogamente, determinarÃamos
feo, - 1) = (1, - 3,0)=1-'1· (1, 0, 1)+1-'2, (0,2,0) +1-'3, (1, 1,0),
La solución es, en este caso,
1-' 1 = 0,
Por tanto, expresando las imágenes en las bases ci tadas, tenemos