Este documento define los conceptos básicos de subespacios vectoriales. Explica que un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio si cumple con las propiedades de un espacio vectorial. Luego describe que la intersección y suma de subespacios también son subespacios, mientras que su unión no necesariamente lo es. Finalmente, introduce la noción de subespacios suplementarios como aquellos cuya intersección es el vector cero y cuya suma es el espacio vectorial completo.
3. Dado un espacio vectorial V
sobre un cuerpo IK, un
subconjunto S ⊂ V no vacío se
dice un subespacio vectorial de
V si S es un espacio vectorial
sobre IK con la restricción de
las operaciones de V .
4. El elemento neutro los denotamos como ~0
(para distinguirlo del elemento neutro del
cuerpo K) , y lo llamaremos el vector cero.
Además hay definida una operación llamada el
producto de un escalar por un vector, es decir,
una aplicación K ×V →V , verificando para
cualesquiera λ, λ1, λ2 ∈ K y para cualesquiera u, v
∈V que:
1. λ(u + v) = λu + λv
2. (λ1 + λ2)u = λ1u + λ2u
3. λ1(λ2u) = (λ1 · λ2)u
4. 1 · u = u
5. Ejemplo
El conjuntoV = R × R es un espacio
vectorial sobre el cuerpo R con
respecto de la operaciones
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2),
λ · (x1, x2) = (λ · x1, λ · x2)
El vector cero es ~0 = (0, 0)
7. S1∩S2 es no vac´ıo, porque ¯0 ∈ S1 y ¯0
∈ S2. Ahora comprobamos la
condici´on de subespacio vectorial.
Sean ¯x, y¯ ∈ S1∩S2 y α, β ∈ IK. Se
tiene:
x, ¯ y¯ ∈ S1 ∩ S2 ⇒ x, ¯ y¯ ∈ S1 ⇒ α · x¯ +
β · y¯ ∈ S1 x, ¯ y¯ ∈ S1 ∩ S2 ⇒ x, ¯ y¯ ∈ S2
⇒ α · x¯ + β · y¯ ∈ S2 ⇒ α·x¯+β·y¯ ∈
S1∩S2.
8. Suma de subespecies vectoriales
En primer lugar observemos que la
unión de subespecies vectoriales no
tiene por que ser un subespecie
vectorial. Por ejemplo consideramos
9. V = IR2 ; S1 = {(x, 0) ∈ IR2 , x
∈ IR}; S2 = {(0, y) ∈ IR2 , y ∈
IR}.
10. Suma directa.
Sean S1, S2 dos subespacios
vectoriales de U. Si S1 ∩ S2 =
{¯0}, entonces al espacio
S1 + S2 se le llama suma
de S1 y S2 y se denota por:
S1 ⊕ S2
