1. UNIVERSIDADNACIONALDE LA PLATA
FACULTADDE INGENIERÍA
ÁREADEPARTAMENTALELECTROTECNIA
TEORÍA de CIRCUITOS I
Año 2010
Clase IV
Ing. EduardoArielPonzano
JefedeTrabajosPrácticos
2. Cuadripolos
Definición:
Configuración arbitraria de elementos de circuitos (comúnmente
llamada “Caja Negra”) accesibles a través de dos pares de terminales o
“PUERTOS” (Entrada – Salida).
Sólo interesan en el análisis las tensiones y corrientes en los puertos de entrada y
salida, no los valores internos de esos parámetros
El problema se reduce a relacionar esas tensiones y corrientes, expresando
mediante dos ecuaciones dos de tales variables (Dependientes) en función de las otras dos
(Independientes).
Los coeficientes de las ecuaciones son los parámetros característicos del
cuadripolo. Su significado físico y unidades de medida dependen de cuales variables se
adopten como dependientes, y cuales como independientes.
Las convenciones para tensiones y corrientes en los puertos, son las que se
muestran en la figura. Respetarlas permite generalizar el análisis y estandarizar las
ecuaciones.
CUADRIPOLO
3. Restricciones
La corriente que entra a un puerto debe ser igual a la que sale
del mismo (I1 = - I1’ e I2 = - I2’).
En ausencia de excitación externa no hay energía almacenada
en el cuadripolo.
No existen fuentes independientes dentro del cuadripolo; sin
embargo, se permiten las fuentes dependientes.
Las soluciones planteadas son sólo válidas para régimen
permanente continuo o sinusoidal.
Todas las conexiones externas deben hacerse en el puerto de
entrada y/o en el puerto de salida; ninguna conexión se permite
entre puertos. Los terminales de entrada sólo se vinculan con
los de salida a través del cuadripolo.
Estas restricciones sólo limitan la gama de problemas a los cuales es
aplicable el método de cuadripolos o circuitos de dos puertos. Es frecuente
verificarlas en la práctica.
4. Clasificación
Pasivos; Energíaentrada < Energíasalida
Activos; Energíaentrada puede ser > Energíasalida
Balanceados, poseen eje de simetría longitudinal.
Simétricos, poseen eje de simetría transversal.
Asimétricos, no poseen eje de simetría.
Por comportamiento
Energético
Por topología
5. Ecuaciones Posibles
Transferencia o Transmisión:
Expresa entrada en función de salida o salida en función de entrada.
U1 = a11 U2 - a12 I2 ó U1 = a U2 - b I2 ó U2 = b11 U1 - b12 I1
I1 = a21 U2 - a22 I2 ó I1 = c U2 - d I2 ó I2 = b21 U1 - b22 I1
Impedancia:
Expresa tensiones en función de corrientes.
U1 = z11 I1+ z12 I2
U2 = z21 I1 + z22 I2
Admitancia:
Expresa corrientes en función de tensiones.
I1 = y11 U1+ y12 U2
I2 = y21 U1 + y22 U2
Híbridas:
“Parámetros h”
U1= h11 I1+ h12 U2
I2 = h21 I1+ h22 U2
“Parámetros γ”
I1 = g11 U1 + g12 I2
U2= g21 U1 + g22 I2
Los coeficientes de las
variables independientes se
denominan “parámetros
característicos” del
cuadripolo.
menos
usadas
6. Obtención de los Parámetros Característicos
Puede realizarse de diferentes maneras:
Aplicando las definiciones de los parámetros a partir de mediciones.
Por ejemplo, para la matriz Z:
A través del conocimiento interno del cuadripolo, en cuyo caso se
caracteriza su comportamiento mediante un sistema de dos ecuaciones,
cuyos coeficientes se comparan con los correspondientes a la definición de
los parámetros.
Por equivalencia entre parámetros, dado que si se conoce un juego de
parámetros, a partir de él puede deducirse cualquier otro.
8. Teorema de Reciprocidad
Un cuadripolo se dice recíproco, si pueden intercambiarse la fuente de
tensión (o corriente) ideal y el amperímetro (o voltímetro) ideal, sin que ello
modifique la indicación del amperímetro (o voltímetro):
Si el cuadripolo es recíproco, se cumplen las siguientes condiciones
entre sus parámetros:
Z12 = Z21
Y12 = Y21
a11a22 - a12a21 = 1
b11b22 - b12b21 = 1
h12 = - h21
g12 = - g21
Por lo tanto, en un “cuadripolo recíproco” sólo hacen falta tres cálculos
para determinar todos sus parámetros.
9. Condición de Simetría
Un cuadripolo recíproco es simétrico, si es posible intercambiar sus
puertos (Entrada por salida y salida por entrada) sin alterar las tensiones y corrientes
en cada uno de ellos.
Se cumplen las siguientes relaciones adicionales entre sus parámetros:
Z11 = Z22
Y11 = Y22
a11 = a22
b11 = b22
- b12b21 = 1
h11h22 - h12h21 = 1
g11g22 - g12g21 = 1
Por lo tanto, en un cuadripolo recíproco y simétrico, sólo se requieren dos
cálculos para determinar todos sus parámetros.
13. Análisis del Cuadripolo Cargado
El análisis del circuito completo puede realizarse a partir del siguiente sistema de
ecuaciones:
U1 = Eg - I1 Zg
U2 = - I2 ZL
Sistema de ecuaciones del cuadripolo
El análisis del circuito usualmente procura determinar uno o varios de los
siguientes valores:
impedancia de entrada Ze = U1 / I1 corriente de carga I2
equivalente Thévenin respecto al puerto de salida ganancia de corriente I2 / I1
ganancia de tensión U2 / U1 ganancia de tensión U2 / Eg
14. Para hallar cada uno de ellos; usaremos en este ejemplo como sistema de ecuaciones del
cuadripolo, su matriz Z
U1 = z11 I1+ z12 I2 (1)
U2 = z21 I1 + z22 I2 (2)
U1 = Eg - I1 Zg (3)
U2 = - I2 ZL (4)
Impedancia de entrada Ze = U1 / I1
Reemplazando (4) en (2) y despejando I2
- I2 ZL = z21 I1 + z22 I2 (5)
- I2 (ZL + z22) = z21 I1 (6)
I2 = - z21 I1 / (ZL + z22) (7)
Reemplazando (7) en (1) y despejando obtenemos Ze :
U1 = z11 I1+ z12 z21 I1 / (ZL + z22) (8)
U1 = I1 [z11 + z12 z21 / (ZL + z22)] (9)
Ze =U1 / I1 = z11 + z12 z21 / (ZL + z22) (10)
Análisis del Cuadripolo Cargado
16. Equivalente Thevenin respecto del puerto de salida
Para determinar la tensión de Thevenin vista desde los bornes de salida, desconectamos
ZL, con lo cual I2 pasa a ser nula. Así hallamos ETH como la tensión a circuito abierto entre
los terminales 2.
Con la condición I2 igual a cero, las ecuaciones del cuadripolo (1) y (2) quedan así
U1 = z11 I1 (17)
U2 = z21 I1 (18)
Despejando I1 de (17) y reemplazando en (18)
U2I2=0
= z21 U1 / z11 (19)
Pero de (3) U1 = Eg - I1 Zg y de (11) con I2 nula I1 = Eg / (Zg + z11), de donde:
U1 = Eg – [Eg / (Zg + z11)] Zg (20)
U1 = [Eg (Zg + z11) – Eg Zg] / (Zg + z11) (21)
U1 = Eg z11 / (Zg + z11) (22)
Reemplazando (22) en (19), se obtiene ETH
ETH = U2I2=0
= z21 Eg z11 / [(Zg + z11) z11 ] (23)
Finalmente:
ETH = z21 Eg / (Zg + z11) (24)
Análisis del Cuadripolo Cargado
17. Equivalente Thevenin respecto del puerto de salida
Para hallar la ZTH debemos pasivar el dipolo accesible desde los bornes 2, lo cual
logramos haciendo Eg = 0. En esas condiciones la (3) queda:
U1 = - I1 Zg (25)
Reemplazando (25) en (1)
- I1 Zg = z11 I1+ z12 I2 (27)
I1 = - z12 I2 / (z11 + Zg) (28)
Reemplazando (28) en la (2), obtenemos ZTH
U2 = - z21 z12 I2 / (z11 + Zg) + z22 I2 (29)
ZTH = U2 / I2Eg=0
= z22 - z21 z12 / (z11 + Zg)
Siendo la expresión final de la impedancia de Thevenin:
ZTH = z22 - z21 z12 / (z11 + Zg) (30)
Análisis del Cuadripolo Cargado
18. Ganancia de corriente I2 / I1
Se la obtiene de (7):
I2 / I1 = - z21 / (ZL + z22) (31)
Ganancia de tensión del cuadripolo U2 / U1
Despejando I2 de (4) y reemplazando el resultado en (2):
U2 = z21 I1 + z22 (- U2 / ZL) (32)
Despejando I1 de (1) y reemplazando I2 por (- U2 / ZL) surge que:
z11 I1 = U1 + z12 (U2 / ZL) (33)
I1 = U1 / z11 + z12 U2 / (z11 ZL) (34)
Reemplazando la (34) en (32):
U2 = z21 [U1 / z11 + z12 U2 / (z11 ZL)] - z22 ( U2 / ZL) (35)
U2 [1- z21 z12 / (z11 ZL) + z22 ( U2 / ZL) ]= z21 U1 / z11
U2 [z11 ZL - z21 z12 + z11 z22 ] / (z11 ZL) = z21 U1 / z11 (36)
Despejando:
U2 / U1 = z21 ZL / (z11 ZL - z21 z12 + z11 z22) (37)
Análisis del Cuadripolo Cargado
19. Ganancia de tensión del circuito U2 / Eg
Combinamos (1), (3) y (4) despejando I1 en función U2 y Eg
Eg - I1 Zg = z11 I1 - z12 U2 / ZL (38)
(z11 + Zg) I1 = Eg + z12 U2 / ZL (39)
I1 = Eg / (z11 + Zg) + z12 U2 / [ZL (z11 + Zg)] (40)
Reemplazando la (40) en (2) y recordando que I2 = - U2 / ZL
U2 = z21 {Eg / (z11 + Zg) + z12 U2 / [ZL (z11 + Zg)]} - z22 U2 / ZL (41)
U2 { 1 + z22 / ZL - z12 / [ZL (z11 + Zg)] } = Eg z21/ (z11 + Zg) (42)
U2 [ ZL (z11 + Zg) + z22 (z11 + Zg) - z12]/ [ZL (z11 + Zg)] = Eg z21/ (z11 + Zg) (43)
Con lo cual la ganancia de tensión a la salida del cuadripolo respecto de la tensión del
generador es:
U2 / Eg = z21 ZL/ [ (ZL + z22) (z11 + Zg) - z12z21 (44)
Análisis del Cuadripolo Cargado
20. CUESTIONARIO
Definir y explicar los siguientes conceptos:
a)¿Cómo se clasifican los cuadripolos?
b)¿Qué problemas básicos se resuelven con la teoría de
cuadripolos?
c)¿Qué teorema cumplen los cuadripolos pasivos bilaterales?
d)¿Qué relación cumplen los coeficientes de la matriz γ?
e)¿Cómo se calculan en general los coeficientes de las matrices
que representan cuadripolos?
f)Obtener a partir de mallas y/o nodos las formulas de los
parámetros Z y/o Y de un cuadripolo.
21. Resolución:
Comenzamos planteando la solución como dos cuadripolos en paralelo. En tal
caso nos conviene trabajar con parámetros Y, ya que:
[YT] = [Y] + [Y´]
Ahora calculamos las matrices [Y] para ambos cuadripolos, recordando que:
I1 = y11 U1+ y12 U2 y11 = I1/U1)U2=0
; y12 = I1/U2) U1=0
I2 = y21 U1 + y22 U2 y21 = I2/U1) U2=0
; y22 = I2/U2) U1=0
Como cada cuadriplo es simétrico y11= y22 y y12= y21; entonces sólo hay que
hacer dos cálculos para cada uno y se conocen los cuatro parámetros.
Luego:
y11T
y12T
0,53 -0,47 0,25 -0,25 0,78 -0,72
[YT] = = + =
y21T
y22T
-0,47 0,53 -0,25 0,25 -0,72 0,78
Finalmente, de tabla de equivalencias: g11=Y/ y22T
= 0,12; g12= y12T
/y22T
=-0,92
g21 =- y21T
/ y22T=0,92 y g22 =1/y22T
= 1,28
22. Resolución:
Representa la matriz de parámetros h, pues:
U1 = h11I1 + h12U2= 0 x I1 + 1 x U2
I2 = h21I1 + h22U2 = -1 x I1 + (1/R) x U2
La ecuación del circuito dual exacto con sólo elementos pasivos deberá ser de la forma:
U1 = K1I1 + K2U2 = U2 U1 = U2
I2 = K3I1 + K4U2 = -I1 + (1/R) x U2 I2 = -I1 + (1/R) x U2
Es fácil concluir que el circuito totalmente pasivo que responde al mismo sistema de ecuaciones es
el siguiente:
Verificación:
U1 = U2
I2 = -I1 + (1/R) x U2
