UACH Fisica En Las Ciencias Forestales 2 1 Caminar, Correr y Saltar

Física en las Ciencias Forestales
2.1 Caminar, Correr y Saltar
Teoría

Dr. Willy H. Gerber

Instituto de Física,
Universidad Austral, Valdivia, Chile

12.09.2009

W. Gerber Física en las Ciencias Forestales - 2.1 Caminar, Correr y Saltar - Teoría 12.09.2009 1 / 83

Generación de Movimiento

Desde los tiempos de Aristoteles se ha tratado de comprender
como se genera el Movimiento. Para ello veremos

▶ Aristoteles
▶ Galileo Galilei
▶ Leonhard Euler
▶ Pierre Louis Maupertuis
▶ Isaac Newton


Aristoteles
Aristoteles fue el primero en tratar
de comprender el movimiento de
los cuerpos. En su libro ’De Caelo’
(Del Clielo) trata de comprender
como los cuerpos celestiales
(Planetas) y los cuerpos sobre la
tierra se mueven. Concluye que
aquellos en el Cielo son ’perfectos’
y por eso no caen. Que los
cuerpos ’sublunares’ no son
perfectos y por ello caen. Ademas
concluye que el tiempo que
demora una caída es proporcional
Aristoteles
a la masa, cosa que hoy sabemos
(384AC-322AC)
es falso.


Galileo Galilei I

Galileo cuestiono la aﬁrmación de
Aristoteles de que el tiempo de
caída de los cuerpos es
proporcional a la masa de estos.
En forma experimental muestro
que los cuerpos caen en el mismo
tiempo independiente de su masa.
De igual forma cuestiona otra
aﬁrmación de Aristoteles según la
cual, fuera del vacío, todo cuerpo
tiende a quedar en reposo aun
Galileo Galilei que no actúen Fuerzas sobre este.
(1564-1642)


Galileo Galilei II

Galileo enuncia en su libro
’Dialogo’ su principio de
relatividad, según el cual, un
experimento no sera afectado por
la velocidad con que se mueve el
sistema en que esta mientras que
la Velocidad sea constante. En
ese sentido un cuerpo en reposo
es un concepto relativo y, como
tal, no podría ser una ley universal.
Dialogo sopra i due
massimi sistemi del
mondo (1632)

Leonhard Euler
En la búsqueda de las leyes que
nos permitan describir el
Movimiento en 1744, Euler
comenzó a trabajar con el
Momento

p=m (1)

donde m es la Masa y la
Velocidad de la Partícula. En
particular analiza como se
comporta una partícula en función
de lo que el llamo en su época la
Leonhard Euler acción, que deﬁne como la suma
(1707-1783) del Momento a lo largo del camino
que se desplaza la partícula.

Isaac Newton

Newton es el primero que logra
establecer los principios básicos
sobre los que se logra. Su
Principia resume básicamente tres
Leyes que nos permite calcular
como los cuerpos se mueven.

Isaac Newton
(1643-1727)


Leyes de Newton

Las Leyes de Newton son la base de la Mecánica por lo que
estudiaremos cada una:

▶ Ley de Inercia
▶ Ley de la Aceleracion
▶ Leys de Accion Reaccion


Ley de Inercia I
La inercia es la tendencia de que
los cuerpos mantengan el estado
que tienen. En otras palabras se
requiere esfuerzo para cambiar la
velocidad que tienen. Si la acción
que hacemos es muy corta no
tendrá efecto sobre los cuerpos.
Un ejemplo es la vajilla sobre la
mesa: si los objetos se deslizan
fácilmente sobre el mantel podrá
jalar de este y retirarlo sin que la
loza se mueva.


Ley de Inercia II

Una de las consecuencias dramáticas de la Inercia.

Ley de Inercia III

Penetración de objetos
’blandos’ con ayuda de la Uso en juego
inercia.

Ley de Inercia IV
Ley de Inercia
Todo cuerpo mantiene su estado
ya sea inmóvil o moviéndose en
forma uniforme y en línea recta, a
menos que actúa una fuerza sobre
el.
En forma matemática, si no existe
Fuerza ⃗ la Velocidad es
F
Constante ⃗ :

⃗ = ⃗ −→ ⃗ = cte
F 0 ⃗ (2)

en donde tanto la Fuerza como la
Velocidad son vectores.


Ley de Aceleración I

La segunda Ley describe como
una Fuerza induce un cambio en
el Momento.
La Fuerza tiene una Dirección por
lo que se representa por un
Vector. Al tener Dirección genera
un Movimiento que a su vez tiene
una Dirección por lo que también
el Momento que lo describe tiene
que ser un Vector.


Ley de Aceleración II

Ley de Aceleración
La tasa de cambio del momento
de un cuerpo es proporcional a la
resultante de la fuerza que actúa
sobre el cuerpo y en la misma
dirección.
La constante de proporcionalidad
se denomina Masa Inercial que es
distinta a la Masa Gravitacional.


Ley de Aceleración III
Según la segunda Ley de Newton
la Fuerza promedio se puede
deﬁnir como

⃗ ⟨Δ⃗ ⟩
p
⟨F⟩ ≡ (3)
Δt
o el limite instantáneo

⃗ ≡ limt→0 Δ⃗ ≡ d⃗
F
p p
(4)
Δt dt
En el caso de que la masa es
constante

⟨Δ⃗ ⟩ = m⟨Δ⃗ ⟩
p (5)


Ley de Aceleración III

En este caso la fuerza promedio
es
⃗ ⟨Δ⃗ ⟩
⟨F⟩ = m = m⟨⃗ ⟩
a (6)
Δt
En el caso uni-dimensional la
ecuación se reduce a

F = ma (7)

y si se tiene la Fuerza y la Masa
se puede calcular la aceleración
F
a= (8)
m


Ley de Acción y Reacción I
La tercera Ley o Ley de la Acción
y Reacción describe como un
Sistema reacciona cuando le
aplicamos una Fuerza.
Cada vez que aplicamos una
Fuerza sobre un Objeto este
reacciona generando una Fuerza
igual pero en el sentid contrario.
En ese sentido un remero empuja
el agua hacia atrás para el
impulsarse hacia adelante.


Ley de Acción y Reacción II

Ley de Acción y Reacción
Toda fuerza ocurre en pares, y
estas dos fuerzas son iguales en
magnitud y dirección opuesta.
La constante de proporcionalidad
se denomina Masa Inercial que es
distinta a la Masa Gravitacional.


Ley de Acción y Reacción III
Si empujamos a otra persona
con la palma de las manos
sentiremos la misma fuerza del
otro sobre nosotros. Si
estamos parados sobre un
carro con rueda nos
impulsaremos mutuamente
alejándonos de la otra persona.
Lo mismo ocurre cuando
caminamos. Cuando
rechazamos con el Pie hacia
atrás, el Suelo reacciona
imprimiendo una Fuerza sobre
nosotros que nos impulsa.


Ley de Acción y Reacción IV

Una de las Consecuencias es que no se puede hacer Fuerza
sobre uno mismos, ya que la Reacción la anula. Un ejemplo es
Münchhausen, que se salva de hundirse en un Pantano
jalando de su propio pelo.

Fuerza Gravitacional I
Una de las Fuerzas que
experimentamos a diario es la
Fuerza de la Gravedad. En las
cercanías de la Superﬁcie del
Planeta se puede considerar que
es constante e igual a

Fg = mg g (9)

donde mg es la Masa Gravitacional
y g la Aceleración Gravitacional
que es 9,8 m/s2 . Con la Ecuación
Si se evita la resistencia de Newton (7) se obtiene para la
del Aire, se tiene una Fuerza Gravitacional que
caída libre
mi a = mg g (10)

Fuerza Gravitacional II

Ya desde la Época de Galileo
mediciones habían dado que
ambas masas eran iguales

mg = mi ≡ m (11)

lo que signiﬁca que todo cuerpo (si
no hay otras fuerzas activas)
independiente de su forma y masa
cae con la misma Aceleración

Galileo experimento en a=g (12)
la torre de Piza


Fuerza Elástica

Los resortes se extienden en
forma proporcional a la Fuerza
aplicada. Por ello la ley que los
describes es de la forma

F = kx (13)

donde k es la Constante del
Resorte y x la dilatación o
compresión. La Constante del
Resorte es propia de la geometría
y material del alambre empleado.
Resorte


Energía

La Fuerza genera Energía la cual estudiaremos viendo:

▶ Concepto de Energía
▶ Energía Cinética
▶ Energía Potencial
▶ Energía Potencial Gravitacional
▶ Energía Potencial Elástica
▶ Conservación de Energía
▶ Energía para Caminar


Concepto de Energía I
Carnot fue el Primero en describir
la Energía en función del Camino
y la Fuerza necesaria para
recorrerlo. Para avanzar un
Camino Δ⃗ con una Fuerza ⃗ se
s F
requiere/genera la Energía

ΔW = ⃗ ⋅ Δ⃗
F s (14)

Para un Camino de mayor largo se
debe sumar sobre la Energía
necesaria para cada Elemento de
Camino
Nicolas Léonard Sadi
Carnot ¯
W= ⃗ i ⋅ Δ⃗i
F s (15)
(1796-1832) i


Concepto de Energía II

El Valor de esta Ecuación es eso
si solo un valor promedio de la
Energía requerida/generada. La
Energía precisa se obtiene en el
Limite que los Pasos son muy
d⃗
s ⃗
F pequeños de modo que la Fuerza
en ellos se pueda considerar
constante.

W= limΔ⃗i →⃗ ⃗ i ⋅ Δ⃗i
s 0F s (16)
i


Concepto de Energía III
En dicho limite la Energía
corresponde a la Integral a lo largo
del Camino recorrido

W= ⃗ ⋅ d⃗
F s (17)
C

Las Unidades de la Energía se
han nombrado en honor a James
Joule que descubrió la
Equivalencia entre Energía
Térmica y Mecánica. La Unidad es
igual a
James Prescott Joule kg m2
J= 2
(1818-1889) s


Energía Cinética I

La Energía necesaria para que un Objeto pase de la velocidad
1 a una Velocidad 2 se puede calcular mediante la deﬁnición
(14)
ΔW = FΔs
Con la segunda Ley de Newton se puede reescribir esta
expresión como
Δ
ΔW = m a Δs = mΔs
Δt
Empleando la Deﬁnición de la Velocidad
Δs
=
Δt
se obtiene
Δ
ΔW = m Δs = m Δ
Δt

Energía Cinética II

la diferencia de las Velocidades sera

Δ = 2 − 1

Por otro lado la Velocidad misma se puede aproximar con la
velocidad promedio
1+ 2
=
2
Usando ambas expresiones se obtiene la expresión
( 1 + 2) m 2 2
ΔW = m Δ = m( 2 − 1) = ( 2 − 1)
2 2
Por ello la Energía varia según
m 2 m 2
ΔW = 2 − 1
2 2

Energía Cinética II

Podemos deﬁnir asi la Energia
Cinetica
m 2
T≡ (18)
2
con lo que la Energía necesaria
para acelerar un Objeto de la
Velocidad 1 a 2 sera
m 2 m 2
ΔW = 2 − 1 ≡ T2 − T1 (19)
2 2

Al bajar gana Energía
Cinética

Energía Potencial

La Energía se conserva por lo que
si la Energía Cinética varia debe
haber otra forma de Energía que
tiene el Potencial de transformarse
en Energía Cinética.
Como la Energía se deﬁne en
función de la Fuerza, a cada una
de estas les corresponde una
forma de Energía Potencial.

Viscosidad del Liquido


Energía Potencial Gravitacional

Como la Fuerza Gravitacional es

F = mg

con m la masa. Para mover esta desde una altura h1 a una
altura h2 se va a recorrer un camino de

Δs = h2 − h1

la variación de la Energía Potencial seria

ΔW = FΔs = mg(h2 − h1 )

Por ello la Energía Potencial Gravitacional es

V = mgh (20)


Energía Potencial Elástica

En el caso Elástico (Resorte) la Fuerza es

F = ks

con k la Constante del Resorte y s la elongación/compresión
del Resorte. La Variación de la Energía Potencial es

ΔW = FΔs = k s Δs

Por ello la Energía para elongación/compresión de s1 a s2 sera
(s1 + s2 ) k
ΔW = k s Δs = k(s2 − s1 ) = (s2 − s2 )
2 2 2 1

por lo que la Energía Potencial Elástica es
k
V = s2 (21)
2

Conservación de Energía

Cuando tenemos roce
observamos que los cuerpos se
calientan por lo que tiene sentido
hablar de Energía Térmica.
Mohr fue el primero que se dio
cuenta que la suma de las
Energías Cinética T, Potencial V y
Térmica Q se conserva

E = T + V + Q = cte (22)

Karl Friedrich Mohr y solo existen conversiones entre
(1806-1879) estas.


Generación de Rotación

Hasta ahora hemos visto como la Fuerza origina Traslación
pero no hemos analizado como se genera Rotación. Por ello
veremos

▶ Centro de Masa
▶ Fuerza sobre un Objeto
▶ El Equilibrio
▶ El Torque


Centro de Masa I

Si observamos un Cuerpo
que se sostiene desde un
Punto, veremos que
tenemos que balancearlo
bien para evitar que ruede
en una o la otra dirección.
Concluimos que existe un
punto desde el cual
podemos equilibrar el
cuerpo no presentando
rotación alguna.
Este Punto se denomina
Centro de Masa.


Centro de Masa II

Para determinar el punto de
equilibrio podemos balancear el
cuerpo en cada uno de sus ejes.
Si lo orientamos de una forma y
encontramos la Posición en que
se mantiene en equilibrio
habremos identiﬁcado una recta
imaginaria sobre el cual se
encuentra el Centro de Masa.


Centro de Masa III

Una vez se ha determinado uno de las coordenadas del Centro
de Masa se rota el objeto y busca la próxima coordenada del
Centro de Masa.


Centro de Masa IV

De esta forma se determina un Punto que denominamos
Centro de Masa/


Centro de Masa V

Cuando arrojamos un objeto observaremos que se desplaza
girando en torno de su Centro de Masa:


Fuerza sobre un Objeto
De la discusión anterior se
concluye que toda Fuerza ⃗ se
F
puede descomponer en dos
⃗ partes. Una primera ⃗ ∥ a lo largo
F
F
de la linea que une el Punto de
⃗∥
F
⃗⊥ Ataque (PA) al Centro de Masa
F
PA (CM) del Cuerpo. La segunda
componente es perpendicular ⃗ ⊥ F
a la linea que une el Punto de
CM Ataque con el Centro de Masa.
La primera origina la Traslación
del Cuerpo mientras que la
segunda su Rotación.


El Equilibrio I

Si recordamos nuestra infancia en que jugábamos con
balancines sabemos que una de las formas de inclinar lo hacia
nuestro lado ere ’echándose para atrás’.

El Equilibrio II
Si analizamos el caso del Balancín
veremos que si este tiene una
inclinación de en en cada
extremo de largos d1 y d2 se
d1
aplican Fuerzas F1 y F2 existirán
F1 fuerzas perpendiculares F1⊥ y F2⊥
d2
que lo trataran de rotar.
F1⊥
La Fuerza F1⊥ trata de girar el
balancín en el sentido contrario al
F2 movimiento del reloj mientras que
F2⊥ la fuerza F2⊥ lo hace en el sentido
positivo.


El Torque
Experimentado uno encuentra que
el sistema esta en equilibrio y no
rota si

F1⊥ d1 = F2⊥ d2 (23)
⃗
T Por ello se deﬁne como Torque

T = rF⊥ (24)
⃗
r
o en forma vectorial
⃗⊥
F ⃗ =⃗ × ⃗
⃗
F T r F (25)

con r la distancia entre el Centro
de Masa y el Punto de Ataque.


Torque

Mediante el Torque podemos calcular y explicamos una serie
de comportamientos:

▶ Centro de Masa
▶ Equilibrio
▶ Rotación


Centro de Masa I
Si tenemos varias masas mi cada
una estará sujeta a una fuerza
gravitacional

m1 Fi = mi g (26)

generando un torque igual a

⃗CM
r Ti = ri mi g (27)
⃗1
r m2
donde ri es la distancia horizontal
⃗2
r de la masa i al Punto de Apoyo. Et
Torque total sera

T= Ti (28)
i


Centro de Masa II
Si rCM es la Posición del Centro de
Masa, el Torque total en torno de
esta Punto

TCM = Ti = (ri −rCM )mi g = 0
i i

debe ser cero. De esta ecuación
podemos despejar el Centro de
Masa obteniendo

i mi ri
rCM = (29)
i mi

Con esta ecuacion podemos
calcular por ejemplo el Centro de
Masa de nuestro Cuerpo.

Centro de Masa III
Si deseamos correr en una carrera
por lo general bajamos nuestro
cuerpo en función de tener un
buen apoyo con los pies para
impulsarnos. Sin embargo
tendemos a mantener nuestro
Centro de Masa en alto para
reducir la Energía necesaria para
elevarlo a la posición en que se
encuentra cuando corremos.


Centro de Masa IV

Si desplazamos nuestro cuerpo
hacia un lado estamos moviendo
proporcionalmente el Centro de
Masa en la misma dirección. Sin
embargo notamos que tendemos
a tener cuidado con este tipo de
movimiento ’apuntalando’ con los
Pies. Si no lo hacemos perdemos
el Equilibrio lo que veremos a
continuación.


Equilibrio
Si el Centro de Masa no esta
exactamente sobre el Punto de
Apoyo, el Torque sobre este puede
desestabilizar la Posición a menos
que exista un Torque que actué en
contra y anule este. Si lo
visualizamos en un rectángulo,
esto signiﬁca que mientras el
Centro de Masa este al lado
izquierdo del Punto de giro el
Torque generado por la Gravedad
lo volverá a enderezar. Si
sobrepasa dicho punto caerá.


Palanca

La relación entre las fuerzas y brazos (23) se denominan la Ley
de Palanca y permiten calcular el factor con que ampliﬁcamos
una Fuerza en función de actuar con un Brazo de mayor largo.
Si d2 > d1 podemos con una fuerza menor F⊥2 generar una
Fuerza mayor igual a
d2
F1⊥ = F2⊥ (30)
d1
donde d2 /d1 es el factor de ampliﬁcación.

Ecuación de Rotación

Mediante el Torque podemos calcular y explicamos una serie
de comportamientos:

▶ Fuerza y Torque
▶ Momento Angular
▶ Leyes de Newton
▶ Energía de Rotación
▶ Momento de Inercia


Fuerza y Torque
Como hemos visto el Torque
cumple el rol de la Fuerza para el
caso de la Rotación:

F ←→ T

Para establecer las ecuaciones de
movimiento podemos recordar la
forma como se deﬁnió la Fuerza
en función del Momento
Δp
F= (31)
Δt
Por ello debemos deﬁnir primero lo
que equivale al Momento para el
caso de la Rotación.

Momento Angular
El Momento se deﬁnió como el
Producto de la Masa Inercia con la
Velocidad:

p=m (32)

El análogo a la Velocidad en el
caso de la Rotación es la
Velocidad Angular , por ello el
equivalente al Momento deberá
ser un Momento Angular de la
forma:
L=I (33)
donde I se denomina el Momento
de Inercia y equivale a la Masa m.

Leyes de Newton I

Por ello el Torque promedio sera
ΔL
T= (34)
Δt
y el Torque instantáneo
ΔL dL
T = limt→0 = (35)
Δt dt
que equivale a la Segunda Ley de
Newton para el caso de la
Rotación.


Leyes de Newton II
En el caso de que el Momento de
Inercia sea constante
ΔL Δ
T= =I =I (36)
Δt Δt
con la Aceleración Angular. Esta
relación es el equivalente de la
segunda Ley de Newton (F = ma).
De esta forma, si se conoce el
Torque y el Momento de Inercia,
se puede calcular la Aceleración
Angular
T
= (37)
I
y con ello el Movimiento del
Sistema.

Leyes de Newton III
De la segunda Ley se concluye
que, de la misma forma que en la
Traslación, si no se aplica Torque
la Velocidad Angular sera
constante que corresponde a la
primera Ley de Newton

T = 0 −→ = cte (38)

En forma análoga a todo Torque
Acción (TA ) existe un Torque de
Reacción (TR ) de igual magnitud y
dirección opuesta:

TR = −TA (39)
Uso de Acción-Reacción
lo que emplea el Gato.

Energía de Rotación
Con la analogía entre rotación y
traslación podemos proponer una
relación para la Energía Cinética
de un cuerpo que rota. Como la
Energía Cinética en el caso de la
traslación es
1 2
T= m (40)
2
por lo que tendrá que ser
1 2
T= I (41)
2
Sin embargo aun no hemos
explicado como podemos calcular
la Momento de Inercia I.

Momento de Inercia I
Si una masa m gira en torno a un
eje con velocidad tangencial la
Energía Cinética es

1 2
T= m
2
Dado que la Velocidad Tangencial
es
=r
r
m tenemos que la Energía Cinética
es
1 2 1
T= m = mr2 2
(42)
2 2


Momento de Inercia II

Comparando (41) y (42) se ve que
el Momento de Inercia es

I = mr2 (43)

para una Masa Puntual m que gira
a una distancia r del Eje. Cualquier
cuerpo podemos visualizarlo como
la suma de muchas masas
pequeños mi cada una a una
distancia distinta ri del eje. En ese
caso el Momento de Inercia sera

El patinador modiﬁca su I= mi ri2 (44)
i
Momento de Inercia


Aceleración del Pie

Cuando aceleramos la Pierna, el
Pie alcanza Aceleraciones del
orden de 5 m/s2 mientras que a
nivel del Cuerpo es casi nula.
Suponiendo que para efectos de la
traslación la pierna como un todo
acelera a la mitad el valor del pie.
Como la masa es de la Pierna es
del orden de 14 kg la fuerza seria

F = ma = 14,5 kg 2,5 m/s2 = 36,25 N


Limite Caminar-Correr I
Cuando caminamos/corremos
nuestra pierna gira en torno del
punto de apoyo por lo que nuestro
cuerpo experimenta una
aceleración centrifuga de
2
ac =
l
donde l es el largo de nuestra
Pierna y la velocidad del cuerpo.
Esta aceleración da origen a una
fuerza que reduce nuestro peso
siendo la fuerza total
2
F = mg − m
l

Limite Caminar-Correr II
Si la fuerza es positiva, el peso
superara la aceleración centrifuga
y el Pie se mantendrá en el Suelo.
Si el Peso es inferior a la
aceleración centrifuga, el Pie se
desprenderá. Esto ocurrirá en el
limite
2
mg = m
l
o sea cuando la Velocidad alcanza

c = gl (45)


Limite Caminar-Correr III
Con un largo de Pierna de
l = 0,8 m la velocidad critica es

c = 2,8 m/s2

Con ello, si nos desplazamos a
Velocidades mas lentas que
2,8 m/s caminaremos. Si
sobrepasamos este limite
estaremos pasando al modo
correr.


Saltar I
Si se asume que las Piernas se
pueden modelar como un resorte
de Constante k que al comprimirse
en u genera una fuerza

F = ku

La aceleración media de la masa
m se puede estimar como el valor
medio de la fuerza inicial con la
ﬁnal que es cero lo que da
ku + k ⋅ 0 ku
¯z =
a =
2m 2m


Saltar II
Si el tiempo de expansión es
ku
¯z = az =
¯
2m
y si se asume una aceleración
constante se tiene que

1 2 ku 2
u = ¯z
a =
2 4m
por lo que se concluye que

k
=2
m


Saltar III
La velocidad sera
k
¯z = u
m
z Con ello las ecuaciones de
movimiento del cuerpo son

(x, z) x(t) = xt

h and
1
x − gt2
z(t) = zt
2
d que describe la parábola que
describe el pie.


Saltar IV
El tiempo en que el Pie vuelve a
tocar suelo esta dado por z(tp ) = 0
por lo que

z 2u 0
tp =
g
con
(x, z) k
0 =
h m
El largo del paso sera
x
2u 0 x
d d = x(tp ) = x tp =
g


Saltar V

z
y la altura máxima del Paso es
2 2
0u ku2
(x, z) h = z(tp /2) = =
g mg
h
x

d


Energía para Caminar I
Existen distintos factores por los
cuales gastamos Energía al
caminar. Uno de los principales es
que en cada paso nuestras
Piernas son detenidas y
nuevamente aceleradas. El Pie
alcanza una Velocidad de
max = 2,4 m/s mientras que el
Cuerpo se desplaza a una
Velocidad de ¯ = 1,2 m/s. Si el
largo de Pierna es de 0,84 m, la
Velocidad Angular de la Pierna por
efecto de su giro sera de

max −¯ 1,2 m/s
= = = 1,43 rad/s
r 0,84 m

Energía para Caminar II

Con ello para el Muslo, si su Centro se encuentra a rm = 0,19 m
del Trocánter Mayor, la Velocidad sera de

m = ¯ + rm = 1,2 m/s + 0,19 m 1,43 rad/s = 1,47 m/s

En forma similar si la distancia del Trocánter Mayor del Centro
de la Pierna es rp = 0,57 m la Velocidad de esta parte del
Cuerpo sera

p = ¯ + rp = 1,2 m/s + 0,57 m 2,86 rad/s = 2,01 m/s

Si la Masa del Muslo es de mm = 8,0 kg, la Energía que gana de
la Aceleración y que se pierde al frenar sera de
mm 2 2 8,0 kg
ΔWm = ( m2 − m1 ) = ((1,47 m/s)2 −(1,2 m/s)2 ) = 2,90 J
2 2

Energía para Caminar III

Si la Masa de la Pierna es de mp = 6 kg, la Energía que gana
de la Aceleración y que se pierde al frenar sera de
mp 2 2 6,0 kg
ΔWp = ( p2 − p1 ) = ((2,01 m/s)2 − (1,2 m/s)2 ) = 7,85 J
2 2
y por ultimo si la Masa del Pie es de md = 0,5 kg, la Energía
que gana de la Aceleración y que se pierde al frenar sera de
md 2 2 0,5 kg
ΔWd = ( d2 − d1 ) = ((2,40 m/s)2 − (1,2 m/s)2 ) = 1,08 J
2 2
Por ello, al caminar, se perderá un total de

ΔW = ΔWm + ΔWp + ΔWd = 11,83 J

por cada Paso que se da.

El Musculo I
El Musculo básicamente es un
generador de Torque que permite
mover cada uno de nuestros
miembros y para soportar
Fuerzas. Un ejemplo es nuestro
biceps que por un lado soporta el
peso del antebrazo y el de
cualquier objeto que sostenga.
Si el Musculo ataca a r = 2,5 cm
del codo para soportar la masa del
Brazo M = 1,5 kg que ataca a una
distancia D = 17 cm y la masa de
m = 500 g a una distancia
d = 40 cm podemos calcular la
Fuerza necesaria.

El Musculo II
Para que podamos sujetar un
Objeto y mantener el brazo en
forma horizontal deberemos
igualar con el Musculo el Torque
generado por la masa del Brazo y
F del Objeto, esto es

d rF = DMg + dmg = (DM + md)g
D
Con ello la Fuerza del Musculo
r sera
(DM + md)
F= g
r
mg que para el caso descrito arrojaría
Mg 178,4 N lo que equivale a sujetar
una masa de 18,2 kg.

Palanca
Un ejemplo de la ley de palanca
es el alicate.
Si el mango del alicate tiene un
largo de d2 = 12 cm y la parte de la
tensas es de d1 = 1,5 cm el factor
de ampliﬁcación es de
d2 12 cm
= =8
d1 1,5 cm

Eso signiﬁca que si aplicamos una
fuerza de 10 N se obtendrá una
Fuerza de 80 N.


Anexos

▶ Momentos de Inercia
▶ Unidades
▶ Conversiones
▶ Bibliograﬁa
▶ Contacto


Momentos de Inercia I


Momentos de Inercia II


Unidades

Simbolo Tipo Ejemplos
L Largo m, cm, mm, m
T Tiempo s, min, hrs
M Masa kg
% Porcentaje −

Simbolo Tipo Ejemplos
L2 Área, Superﬁcie m2 , cm2
L3 Volumen m3 , cm3
M/L3 Densidad kg/m3 , g/cm3


Conversiones I

1 m = 10−6 m 1 nm = 10−9 m 1 nm3 = 10−9 m3
1 mm = 10−3 m 1 nm2 = 10−18 m2 1 m3 = 10−18 m
1 cm = 10−2 m 1 m = 10−12 m 1 mm3 = 10−9 m3
1m = 10+2 cm 1 mm2 = 10−6 m2 1 cm3 = 10−6 m3
1m = 10+3 mm 1 cm2 = 10−4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10−3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt
1m2 = 10−4 ha


Conversiones II

1 g/cm3 = 10+3 kg/m3 1s = 1,67 × 10−2 min
1 kg/m3 = 10−3 g/cm3 1s = 2,78 × 10−4 hr
1s = 1,16 × 10−5 dias
1 m/s = 3,6 km/hr 1s = 3,17 × 10−8 aos
1 km/hr = 0,278 m/s 1 ao = 3,15 × 10+7 s
1 dia = 8,64 × 10+4 s
1 hr = 3600 s
1 min = 60 s


Bibliograﬁa I

Textos recomendados. En caso de links a Google Books se
trata de un acceso gratuito a una versión incompleta del libro.
Introduction to Kinesiology: Studying Physical Activity, S.J.
Hoffman (Editor), Human Kinetics Publishers, 2008,
ISBN-13: 9780736076135
→ Leer en Google Books


Contacto

Dr. Willy H. Gerber
wgerber@gphysics.net

Instituto de Física
Universidad Austral de Chile
Campus Isla Teja
Valdivia, Chile
+(56) 63 221125

Set del Curso:
http://www.gphysics.net/physics-in-kinesiology-uach


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