1. DIVISIÓN DE POLINOMIOS I ÁLGEBRA
Prof.: QUIROZ CERNA. W. http://quicewi.blogspot.com/ 1
Paolo Ruffini (1765 - 1822), filósofo,
médico y
matemático
italiano.
Fue profesor de
matemáticas y,
en 1814, rector
de la
Universidad de
Módena. Ruffini
fue el primero
que realizó un
intento, con
éxito parcial
(probablemente
en 1803 o 1805), de demostrar la
imposibilidad de resolver mediante
procesos elementales de álgebra las
ecuaciones generales de un grado superior
a cuatro.
Esta formulación, denominada teorema
Abel - Ruffini, fue demostrada
definitivamente por el matemático noruego
Niels Henrik Abel.
William George Horner (1786 - 1837)
Recibió su educación en la Escuela de
Kingswood de Bristol. Resulta sorprendente
que, cuando tenía 14 años, se convirtiera
en maestro auxiliar en dicha escuela y,
años más tarde, en su director.
Horner solamente realizo una única
contribución significativa a las matemáticas,
a saber, el método de Horner para resolver
ecuaciones algebraicas. Éste fue presentado
a la Royal Society el 1 de julio de 1819 y
publicado el mismo año en las
Philosophical Transactions of the Royal
Society.
No obstante, algunos años antes Ruffini
había descrito un método semejante, por el
cual le fue concedida la medalla de oro por
la Italian Mathematical Society for Science,
que había reclamado mejoras sobre los
métodos para obtener soluciones numéricas
de ecuaciones. Sin embargo, ni Ruffini ni
Horner fueron los primeros en descubrir
este método, ya que el matemático chino
Zhu Shijie (1270 - 1330) lo había empleado
quinientos años antes.
PROBLEMAS
1. Efectuar las siguientes divisiones:
a.
3 5 2
2
4
2 1
+ − +
+ −
x x x x
x x
.
b.
5 2 4
2
6 7 3
3 2
− + −
− +
x x x
x x
.
2. Calcule el resto de
3 2 4
2
9 10 16 3
2 2
− + + −
− + +
x x x x
x x
3. Efectúe
4 3 2
2
( 1) ( 1) ( ) 3+ + + + − + − + −
+ +
x a x a b x b a x b
x ax b
e indique la suma de los coeficientes del
cociente.
Rpta: 1
4. Si la división
4 2
2
3
2
+ + +
+ −
x x mx p
x x
tiene
como residuo a 4x . Halle el valor de
+m p .
Rpta: 0
5. En la división exacta
4 3
2
3
2 3
x x mx n
x x
− + +
− +
, halle el valor de
+m n .
6. Si el resto de la siguiente división
5 4 3 2
2
5 8 5
2
+ − + − +
+ −
mx nx x x x
x x
es 2 5+x ,
halle el valor de −m n .
Rpta: 0
7. Luego de dividir
4 3 2
2
9 6 2
3 2 1
+ + + +
+ −
x x ax bx c
x x
, calcule el
valor de + +a b c ; si la suma de
coeficientes del cociente es 8 y el resto
3 7+x .
Rpta 21
8. En la división
5 4 3 2
2
2 6
2 4
+ + + + +
+ +
x x ax bx cx b
x x a
, 0≠a ; se
obtiene un resto ( ) = +R x ax b . Calcule
el valor de +b c .
Rpta: 8−
9. Si la siguiente división
4 3
2
5 2
2
+ + +
− +
mx nx x
x x
es exacta, halle el
valor de 3 2+m n
Rpta: 7
10. Calcule el valor de ( + +mn np mp ) si el
resto de la división
4 3 2
2
6 6
2 5 2
+ + + +
− +
mx nx px x
x x
es 5 8− +x y la
suma de coeficientes del cociente es 4.
11. Si la división
4 3 2
2
1
+ + + +
− −
x ax bx cx d
x x
es
exacta. Calcule el valor de
a b d
c a d
+ +
+ −
.
Rpta: 2
12. Si la siguiente división
4 3
2
5 2
2
+ + +
− +
mx nx x
x x
es exacta, halle el
valor de 3 2+m n
Rpta: 7
13. El resto de la siguiente división
4 3 2
2
8 9
2 3
− + + + −
+ −
Ax Bx Ax x
x x
es el
polinomio ( )R x = 3 3−x . Calcule el
valor de 3
3
A
B+ .
Rpta: 1−
14. Si la división
4 3 2
2
(2 16) 2 4
5 3 2
+ + − − +
− + +
ax bx c x x
x x
es
exacta, calcule el valor de 2 7+ +a b c .
Rpta: 1−
15. Si la división
6 5 4 3
3 2
2 3 (2 3) 6 9
2 3
+ + − + +
− + +
nx mx p x x
x x
es
exacta, indique el valor de 2 2 2
+ +m n p
16. Si ( 3 5+x ) es el resto de dividir
( )P x = 4 3 2
6 14 5α β+ − + −x x x x entre
( )d x = 2
5 2− + +x x . Halle el valor de
3
4α β− − .
17. Al efectuar la división
4 2 3 2 2 2
2
( )+ + − + −
+ −
abx a bc x b x acx c
ax cx b
se
obtiene un resto de la forma
[( 1) ]+ −a x c . Halle el valor de 2 +c b ;
0<c .
Rpta: 0
18. Al dividir
3 2 2 2 2
2
( )+ − + + +
− −
acx c ab x abx a b
cx bx c
;
≠abc 0 el resto es +dx d . Calcule el
valor de 6 6 6
+ +a b c 2 2 2
3− a b c sí
{ , , }⊂a b c R .
Rpta: 0
19. Al dividir
4 3 2
2
6
2 2
+ + + +
− +
x ax bx cx d
x x
se
obtiene un cociente cuyos coeficientes
van aumentando de uno en uno, y un
resto ( ) = +R x ax b , halle el valor de
+c d .
Rpta: 30

2. DIVISIÓN DE POLINOMIOS I ÁLGEBRA
Prof.: QUIROZ CERNA. W 2
20. Hallar el residuo de la siguiente división
4 3 2
2
4 4 11 2
2 3 2
+ + + +
− +
x x ax x
x x
si el término
independiente del cociente es cero.
21. Sabiendo que el resto de la división
4 2
2
4 4 3
2
− + +
− −
x x x
x x m
no es lineal. Halle el
residuo.
22. Si al efectuar la división
( )4 3 2
6 14 5+ − + −x Ax x Bx ÷
( )2
5 2− + +x x se obtuvo como residuo
un polinomio ( 3 5+x ); halle el valor de
4
1+ −A B .
Rpta: 2
23. Si dividimos un polinomio de quinto
grado entre ( 2
1+ +x x ) se obtiene por
resto (10 2+x ) y por cociente ( )q x .
Sabiendo que (4) 0=P , halle el valor
de +n a en 2
( ) 18= − −n
q x x ax .
24. La siguiente división
4 2 3 2 2
2
( ) ( )+ + + + + +
+ +
abx a b x bx a b x a
ax bx a
deja como residuo ( ) = +R x ax b .
Calcule el valor de
2 2
( ) 3 (1 )+ + +
+
a b b a b
a b
.
El Método de Ruffini: Fue publicado en
1804, y en esencia coincide con el método
de W. G. Horner aparecido en 1819,
conocido hoy con el nombre de “esquema
de Horner”, reservándose para Ruffini el
método práctico para la determinación de
los coeficientes de la división de la ecuación
por factores binomios lineales,
procedimiento con que Ruffini facilito el
método. Un lejano precursor de este
método se ha encontrado en los
matemáticos chinos del siglo XIII.
25. Efectuar las siguientes divisiones
a.
4 3 2
6 8 2
3 2
− + +
+
x x x
x
.
b.
4 3 2
5 9 7 6
1
5
+ − +
−
x x x
x
.
c.
7 6 4 3
2 3 2 3 8 1
2 3
+ + + − −
+
x x x x x
x
.
26. Luego de efectuar; señale el cociente en
3 2
3 10 6 4
2
3 1
− + +
−
−
x x x
x
x
.
27. Halle el producto de coeficientes del
cociente de la división
3 2 2 2
2 2 2
2
+ + − − −
−
abx b x bcx ax bx c
bx
Rpta: abc
28. En la división
4 3 2 2 2
(4 ) (4 ) 4 2+ + + + + +
+
bx ab a x a b x a
bx a
0≠b el resto es –2 y además la suma
de coeficientes del cociente es cero.
Halle el valor de +a b .
Rpta: 3
29. Halle la suma de coeficientes del
cociente aumentado en su resto en la
siguiente división.
6 4 3 2
4 (2 2 3) (1 3 2) 5 2
2 1
x x x x
x
+ − + − − +
−
30. Si la división indicada
2 2 3 2 2 2
( ) (2 2 ) 4 2
( )
− + − + + −
+ + −
A B x AB B x ABx B AB
A B x B A
es exacta. Halle el valor de
2 2
A B
AB
+
.
Rpta: 1
31. En la división
( )3 2+ +n
x x n ÷ ( 3)−x la suma de
coeficientes del cociente es 365, halle el
resto.
Rpta: 740
32. Si la suma de coeficientes del cociente
de la división
1 2 3
2 3 4 1
2 1
− − −
+ + + + + +
−
n n n
x x x nx n
x
es
28, halle su resto.
33. En la división
17 16 2
1
1
+ +
+ + + + +
−
a a
x x x x
x
halle el
valor de a , si la suma de coeficientes
del cociente es 90 veces su resto.
Rpta: 167
34. Si la suma de coeficientes del cociente
es igual al resto en
4 2 3 2 2
( 1)
1
+ − − − +
−
nx n x n x x n
nx
; 0>n
según ello; señale el valor de 2
1+ +n n .
35. De la división
51 37
2 2
1 1
2 2
3 1
x x x
b a
x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−
se obtiene
un cociente
( )q x = 50 49
0 1 50+ + +c x c x c y el resto
5− ; donde 0 1 50+ + +c c c =
2 1
+
a b
.
Calcule el valor de 1+b
a .
Rpta: 1/4
36. Dado el polinomio
5 3
( ) (3 2 2) 2 2 1= + − + +P x x x . Halle
el valor de ( 2 1)−P .
Rpta: 4
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