Analisis numerico y manejo de errores Whilfred Guedez

1. Introducción al Calculo Numérico y
Manejo de Errores
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERECTORADO ACADÉMICO
SISTEMA DE APRENDIZAJE INTERACTIVO A DISTANCIA
CABUDARE
Alumno: Whilfred R. Guedez G.
CI: 22.202.546
Sección: SAIA-B
Profesor: Domingo Méndez

2. Análisis
Numérico
 El análisis numérico cobra
especial importancia con la
llegada de los ordenadores.
Los ordenadores son útiles
para cálculos matemáticos
extremadamente complejos,
pero en última instancia
operan con números binarios
y operaciones matemáticas
simples. Desde esta
perspectiva, el análisis
numérico proporcionará todo
el andamiaje necesario para
llevar a cabo todos los
procedimientos matemáticos
existentes en base a
algoritmos que permitan su
simulación o cálculo en
procesos más sencillos
empleando números.
Es la disciplina ocupada de
describir, analizar y crear
algoritmos numéricos que
nos permitan resolver
problemas matemáticos, en
los que estén involucradas
cantidades numéricas, con
una precisión determinada.

3. Métodos Numéricos e Importancia
 Los métodos numéricos
pueden ser aplicados para
resolver procedimientos
matemáticos en: Cálculo de
derivadas Integrales
Ecuaciones diferenciales
Operaciones con matrices
Interpolaciones Ajuste de
curvas Polinomios Los
métodos numéricos se
aplican en áreas como:
Ingeniería Industrial,
Ingeniería Química,
Ingeniería Civil, Ingeniería
Mecánica, Ingeniería
eléctrica, etc…
Los métodos numéricos
son técnicas mediante las
cuales es posible formular
problemas matemáticos
de tal forma que puedan
resolverse usando
operaciones aritméticas.

4. Maquina Numérica
 Son aquellos números cuya
representación viene dada
de la siguiente forma:
± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1
£ 9, 1£ dk £ 9
para cada i=2, 3, 4, ..., k";
Es un sistema numérico que
consta de dos dígitos: Ceros
(0) y unos (1) de base 2. El
término "representación
máquina" o "representación
binaria" significa que es de
base 2, la más pequeña
posible. Este tipo de
representación requiere de
menos dígitos, pero en lugar
de un número decimal exige
de más lugares. Esto se
relaciona con el hecho de
que la unidad lógica
primaria de las
computadoras digitales usan
componentes de
apagado/prendido, o para
una conexión eléctrica
abierta/cerrada.

5. Errores Absolutos y Relativos
Error Absoluto
 El Error Absoluto: es la
diferencia entre el valor
exacto (un número
determinado, por
ejemplo) y su valor
calculado o redondeado,
o sea el valor exacto
menos el valor
calculado.
Error Relativo
 El Error relativo: Es el
cociente (la división)
entre el error absoluto y
el valor exacto. Si se
multiplica por 100 se
obtiene el tanto por
ciento (%) de error.

6. Ejemplo
Obtenemos el error absoluto y relativo al
considerar:
 a) 3,5 m como longitud de un terreno que mide
realmente 3,59 m.
 b) 60 m como la distancia entre dos postes que
están situados a 59,91 m.
 a) Ea = |3,59 - 3,5| = 0,09 m
 E r = | 3 , 59 - 3 , 5 | 3 , 59 = 0 , 025 = 2 , 5 %
 b) Ea = |59,91 - 60| = 0,09 m
 E r = | 59 , 91 - 60 | 59 , 91 = 0 , 0015 = 0 , 15 %

7. Cota de Errores
Absolutos y
Relativos
Da una cota para el error
absoluto y otra para el error
relativo cometidos al hacer las
siguientes aproximaciones:
a) Precio de una casa: 275 miles
de €.
b) 45 miles de asistentes a una
manifestación.
c) 4 cientos de coches vendidos.
Solución:
a) |Error absoluto| < 500 €
error
relativo<500/275000=0,0018
b) |Error absoluto| < 500
personas
error
relativo=500/45000=0,011
c) |Error absoluto| < 50 coches
error relativo<50/400=0,125
 Cota de error absoluto
<½ unidad del orden de
la última cifra
significativa
 Una cota para el error
relativo es: Cota de
error relativo=cota del
error absoluto /valor
real

8. Fuentes
Básicas de
Errores
 El error de redondeo se
debe a la naturaleza
discreta del sistema
numérico de máquina de
punto flotante, el cual a
su vez se debe a su
longitud de palabra
finita. Cada número
(real) se reemplaza por
el número de máquina
más cercano. Esto
significa que todos los
números en un intervalo
local están
representados por un
solo número en el
sistema numérico de
punto flotante.
Cualquier número
real positivo y puede
ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk,
dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
El procedimiento se
basa en agregar 5 x
10 n - (k+1) a y y
después truncar para
que resulte un
número de la forma
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x
10 n.

9. Fuentes Básicas de Errores
La deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida al
hecho de que los altos términos en la representación decimal
completa no tienen relevancia en la versión de cortar o
truncar; por lo tanto el redondeo produce un error bajo en
comparación con el truncamiento o cortado. Para que
obtengas información, esta es la conexión: Aritmética de
punto flotante.
El error de truncamiento que resultan de representar
aproximadamente un procedimiento matemático exacto.

10. Errores De Una Suma Y Una
Resta
En la práctica muchas computadoras realizarán
operaciones aritméticas en registros especiales que más
bits que los números de máquinas usuales. Estos bits
extras se llaman bits de protección y permiten que los
números existan temporalmente con una precisión
adicional. Se deben evitar situaciones en las que la
exactitud se puede ver comprometida al restar
cantidades casi iguales o la división de un número muy
grande entre un número muy pequeño, lo cual trae
como consecuencias valores de errores relativos y
absolutos poco relevantes.

11. Cálculos Estables e Inestables
 Puede decirse que un cálculo es
numéricamente inestable si la
incertidumbre de los valores de entrada
aumentan considerablemente por el
método numérico.
 El que un proceso sea numéricamente
estable o inestable debería decidirse con
base en los errores relativos, es decir
investigar la inestabilidad o mal
condicionamiento , lo cual significa que
un cambio relativamente pequeño en la
entrada.

12. Condicionamiento
 Las palabras condición y condicionamiento se usan de
manera informal para indicar cuan sensible es la
solución de un problema respecto de pequeños cambios
relativos en los datos de entrada.
 "Un número condicionado puede definirse como la razón
de los errores relativos".