Capitulo 3 (teoria de errores)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Topografía Básica CAPITULO II I: Teoría
de Errores
TEORIA DE ERRORESTEORIA DE ERRORES
Toda magnitud observada o medida contiene
errores de cuantía desconocida entonces la
misión mas importante del topógrafo es
mantener las mediciones dentro de ciertos
límites de precisión, dependiendo de la finalidad
del levantamiento.
Para ello es necesario que conozca bien las
causas que ocasionaba dichos errores cuando
hablamos de mediciones, debemos saber
distinguir y usar adecuadamente entre exactitud
y precisión.
 EXACTITUD:
Es el grado de aproximación a la verdad o grado
de perfección a la que hay que procurar llegar.
 PRECISIÓN:
Es el grado de perfección de los instrumentos
y/o con que se realiza una operación o se toma la
lectura de una observación o también el número
de cifras con que se efectúa un cálculo.
Ing. JUAN VIDAL CAMPOMANES pág. 54

de Errores
ERROR
Es la diferencia entre el valor verdadero y el
valor determinado mediante las mediciones.
No obstante, es preciso anotar que el valor
verdadero no se conoce ni se conocerá jamás.
• Una medición puede ser precisa sin ser
exacta y viceversa.
EJEMPLO:
Una distancia puede medirse muy
cuidadosamente con una cinta y aproximarla
hasta el milímetro, y tener como resultados una
medida con un error de varios centímetros, esto
por ser incorrecta la longitud de la cinta, luego la
medida es precisa pero no exacta.
En conclusión se puede decir:

de Errores
• Ninguna medida es exacta
• Todas las mediciones contienen errores.
• El verdadero valor nunca se conoce.
FUENTES DE ERROR
A. INSTRUMENTALES:
Aquellos que provienen de la imperfección en la
construcción o ajuste de los instrumentos de
media, por ejemplo la mala graduación de una
wincha, un teodolito mal calibrado.
B.PERSONALES:
Provienen del elemento humano como son:
limitaciones de vista, distracciones,
equivocaciones etc. Ejemplo leer un N° por
otro.
C.NATURALES:
Son aquellos que tiene como origen la variación
de ciertos fenómenos naturales, como el viento, la
humedad, la temperatura, la refracción, etc. Ejemplo
la dilatación o contratación de la wincha de acero por
cambios de temperatura.

de Errores
CLASES DE ERRORES
1. ERRORES MATERIALES O QUIVOCACIONES
Son errores que se comenten sin intención, debido a una
confusión del operador o a la falta de atención de este.
Son fáciles de detectar, poniendo atención a lo que se
hace, teniendo más orden, se descubren y elimina
comprobando parte o todo el trabajo.
2. ERRORES SISTEMATICOS
Son aquellos errores que en iguales condiciones se repite
siempre en la misma magnitud y con el mismo signo es
decir son acumulativos se puede calcular y eliminar por
medio de la corrección Ejemplo una wincha de acero de
30.00 m. que tiene un exceso en su longitud de
0.06 m. Entonces introduce un error de + 0.06 cada vez
que se usa.
3. ERRORES ACCIDENTALES
Son aquello errores que se cometen en forma casual y
escapan del control del operador y la capacidad del
instrumento y obedece a la ley de la probabilidad no se
le puede aplicar ninguna corrección debido a que no hay
método que nos permita calcularlos, también se los
denomina errores compensable, porque la magnitud y
el signo son variables por lo que tienden anularse
parcialmente entre sí en una serie de medidas estos
errores son los que hacen que nos puedan encontrar el
valor verdadero de una medidas.

de Errores
DISCREPANCIA
Es la diferencia entre dos mediciones hechas de una
misma magnitud. Siempre se debe comprobar unas
operaciones topográficas realizando como mínimo
una segunda medición.
Si la discrepancia entre las dos mediciones es
pequeña indica que no hay equivocaciones y los
errores accidentales son pequeños, por tanto se
puede corregir.
Si la discrepancia es grande indica que se ha
cometido una equivocación o error que hay que
detectarlo y eliminarlo, comprobando parte o todo el
trabajo.
Uno de los mejores métodos para localizar
equivocaciones y errores es de comparar varias
medidas de la misma magnitud.
OBSERVACIONES DE IGUAL PRECISION
VALOR PROBABLE
Es valor probable de una cantidad es una expresión
matemática que designa un valor calculado que de
acuerdo a la teoría de las probabilidades es el que
mas se aproxima al verdadero valor.

de Errores
VALOR PROBABLE PARA LA MISMA CANTIDAD
El V.P. de una magnitud medida varias veces en
las mismas condiciones es la media aritmética de
todas las mediciones hechas.
Nota: Es la media aritmética de todas las
mediciones admitidas como probables.
V.P. = X = N
X n∑
N = Número de observaciones
Ejemplo: Las mediciones de una longitud han
dado como resultado:
854.21, 854.27, 854.22, 856.25, 854.26 m.
6.25 es una medida que se aleja mucho de
la media
Por lo tanto anulamos
V.P = 4
26.85422.85427.85425.854 +++
V.P. = 854.24 m.

de Errores
VALOR PROBABLE PARA VARIAS CANTIDADES
HOMOGENEAS
Para una serie de magnitudes de igual clase, medidas en
igualdad de condiciones y cuya suma exacta se conoce
entonces los valores probables son los observados con
una corrección igual al error total dividido entre el número
de observaciones.
Nota: Generalmente la corrección se hace proporcional
al número de Observaciones y no a la magnitud de cada
medición
 Entonces:
∆∆ααii = N
1
( ∧
G - ∑ ααii )
ααiiºº = ααi ±i ± ∆∆ααii
∧
G = Condición geométrica
ααii = Valores angulares
∆∆ααii = Corrección
N = número de medidas

de Errores
Ejemplo: se han medido lo tres ángulos de un
triangulo en las mismas Condiciones y los
resultados son:
A= 58° 30’ 15”
B = 79° 46’ 50”
C = 41° 42’ 40”
∧
G = 180°
∑ ααii = 179° 59’ 45”
∆∆ααii = 3
1
( 180° - 179° 59’ 45”) = + 5”
Como es por DEFECTO  la corrección será
de + 5”
A = 58° 30’ 15 +5” = 58° 30’ 15”
B = 79° 46’ 50” +5” = 79° 46’ 55”
C = 41° 42’ 40” +5” = 41° 42’ 45”
179° 59’ 45” + 5” = 180° 00’ 00”
Para mediciones análogas, hechas en igualdad
de condiciones y cuya suma sea igual a una sola
medición hechas en las mismas condiciones y
circunstancias los valores probables se obtiene
repartiendo el error total en partes iguales entre
todas las mediciones incluso la suma.

de Errores
Si la corrección se suma a cada medición
entonces se restara a la suma total y viceversa.
Ejemplo:
Se han medido tres ángulos y el ángulo total,
alrededor un mismo vértice “0”
< AOB = 12° 31’ 50” < BOC = 37” 29’ 20”
< COD = 27° 37’ 00” < AOD = 97° 37’ 00”
Si dichas mediciones han sido realizadas en
igualdad de condiciones.
Calcular los valores probables de los mismos.
Solución:
∑ ∆∆ααii = < AOB + < BOC + < COD = 97° 38’ 10”
Condición Geométrica =
∧
G = < AOD
∧
G = 97° 37’ 00”
∆∆ααii = 4
1
( 97° 37’ 00” – 97° 38’ 10” ) = -
4
"10'1
= -
4
"70
Como es porComo es por excesoexceso ∆∆ααii = - 17.5
< AOB = 12° 31’ 50” – 17.5” = 12° 31’ 32.5”
< BOC = 37° 29’ 20’ – 17.5” = 37° 29’ 02.5”
< COD = 47° 37’ 00’ – 17.5” = 47° 36’ 42.5”
< AOB = 12° 31’ 50” – 17.5” = 12° 31’ 32.5

de Errores
En los casos anteriores cuando se hablo de
circunstancias iguales o en iguales condiciones,
indica que las mediciones se hayan hecho empleando
el mismo instrumento, por el mismo operador, en
igualdad de condiciones atmosféricas.
ERROR PROBABLEERROR PROBABLE
Error probable es una cantidad positiva o negativa que
establece los límites dentro de los cuales puede caer o
no el verdadero error accidental, es decir una medida
tendrá la misma oportunidad de quedar dentro de
estos límites que quedar fuera de ellos.
ERROR PROBABLE DE UNA SOLA CANTIDAD
Indica el grado de precisión que cabe esperar en una
sola observación, hecha en las mismas condiciones
que las demás.
E = ± 0.6745
1
)(
2
−
∑ −
n
n
i
ixx
0.6745 : Constante de proporcionalidad.
∑=
n
i 1
( x - xi )2
= V2
= Errores Residuales

de Errores
N = # de observaciones
ERROR PROBABLE DE LA MEDIA ARIMETICA
De un cierto número de observaciones de la misma cantidad:
Eo = ± 0.6745
)1(
)(
2
−
∑ −
nn
n
i
ixx
= ±
n
E
ERROR RELATIVO
Es la forma unitaria de expresar el error, dando así mejor
significado de la precisión de las mediciones.
Se expresa en forma de un quebrado siendo el numerador la
unidad
Er = x
E
=
E/X
1
El error probable de la media aritmética sirve para expresar la
fluctuación que puede tener el valor promedio entonces
tenemos.
VALOR MAS PROBABLE: V.M.PVALOR MAS PROBABLE: V.M.P
V.M.P. = X ± EO

de Errores
PROBLEMA
Para calcular la altura de un punto se hicieron 12 mediciones
usando un nivel de ingeniero dichas mediciones se hicieron en
igualdad de condiciones obteniéndose: 2.187, 2.179, 2.181,
2.184, 2.176, 2.186, 2.183, 2.178, 2.181, 2.188, 2.179.
Calcular
a) Error probable de una sola medición.
b) Error relativo
c) Valor Más Probable.
SOLUCION:
Xi x ( x - Xi ) ( x - Xi )2
2.187
2.182
2.179
2.181
2.184
2.176
2.186
1.183
2.178
2.181
2.188
2.179
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
- 0.005
0.000
0.003
0.001
- 0.002
+ 0.006
- 0.004
- 0.001
0.004
0.001
-0.006
0.003
0.025
0.000
0.009
0.001
0.004
0.036
0.016
0.001
0.016
0.001
0.036
0.009
∑ = 0.154

de Errores
a) ERROR PROBABLE DE UNA SOLA OBSERVACIÓN
E = ± 0.6745
1
)(
2
−
∑ −
n
n
i
ixx = ± 0.6745
11
154.0
E = ± 0.0798 m.
b) ERROR PROBABLE DE TODAS LAS OBSERVACIÓN
Eo = ± 0.6745
)1(
)(
2
−
∑ −
nn
n
i
ixx = ±
n
E
= ±
12
0798.0
Eo = ± 0.023 m
c) ERROR RELATIVO
Er =
E/X
1
=
0798.0/182.2
1
=
34.27
1
d) VALOR MAS PROBABLE
V.M.P = 2.182 ± 0.023 m.

de Errores
OBSERVACIÓN DE DIFERENTE PRECISIÓN
En anteriores consideraciones se ha supuesto que todas las
mediciones han sido tomadas en identificas condiciones y
por lo tanto son de igual precisión.
Pero en un trabajo topográfico es difícil encontrar estas
igualdades de condiciones, entonces será necesario tener en
cuenta estas diferentes precisiones para encontrar los
resultados de las mediciones, estas diferentes precisiones se
llaman.
PESOSPESOS
Así por ejemplo: se ha medido un ángulo en varias ocasiones
y por distintos operadores, todos han tenido el mismo esmero
al observar obteniendo el siguiente resultado.
47° 37’ 40” (1er
Operador) ha realizado 1 observación
47° 37’ 22” (2do
Operador ha realizado 4 observaciones
47° 37’ 22” (3er
Operador ha realizado 9 observaciones
Es lógico admitir que el segundo valor tiene cuatro veces la
precisión del primero y el tercer valor tiene nueve veces la
precisión del primero por lo que podemos deducir que los
pesos son proporcionales al número de observaciones así:
 El primero tendrá: Peso 1 o 2
 El segundo tendrá: Peso 4 o 8
 El tercero tendrá: Peso 9 o 18
Los pesos relativos

de Errores
NOTA:
1. El peso se puede asignar de acuerdo al número de
observaciones.
2. El peso se puede asignar al criterio del observador.
3. El peso se puede asignar de acuerdo al error
probable, en este caso son inversamente
proporcional a los cuadrados de los respectivos
errores probables.
OSEA:
2
1
2
2
2
1
E
E
P
P
=
Donde:
P1, P2 = son los pesos que se asignan
E1, E2 = son los respectivos errores probables.
La formula general es :
P1
2
1
E = P2
2
2
E = P3
2
3
E = …

de Errores
VALOR MAS PROBABLE DE OBSERVACIONES CON PESOSVALOR MAS PROBABLE DE OBSERVACIONES CON PESOS
DE UNA SOLA CANTIDAD
El V.P. de una cantidad medida varias veces con diferente
precisiones:
a) MEDIA PONDERADA
X P =
∑
∑ ×
P
Piix )(
b) ERROR PROBABLE DE LA MEDIA PONDERADA
Eop = ± 0.6745 x
)1(
)(
2
−∑
∑ −
nP
Pi
n
i
P ixx
c) ERROR PROBABLE DE UNA MEDIDA
Eo = ± 0.6745 x
)1(
)(
2
−
∑ −
n
Pi
n
i
P ixx

de Errores
VMP = X P ± Eop
Del ejemplo anterior que se ha medido un ángulo en varias
ocasiones
47° 37’ 40” ( 1 observación)
47° 37’ 22” ( 4 observaciones)
47° 37’ 30” ( 9 observaciones)
ANGULO PESO Xi x Pi ( x P - xi ) ( x P - xi )2
( x P - xi )2
Pi
47°37’40” 1 47°37’40” - 12” 144” 144”
47°37’22 4 88” +6” 36” 144”
47°37’30” 9 270” - 2” 4” 36”
a) MEDIA PONDERADA
X P =
∑
∑ ×
P
Piix )(
=
14
"398
= 28” 
X P = 47°37’28”
b) ERROR PROBABLE DE LA MEDIA PONDERADA
Eop = ± 0.6745 x
)1(
)(
2
−∑
∑ −
nP
Pi
n
i
P ixx
= = ± 06745 X
)13(14
"324
−
Eop = ± 2.3”

de Errores
c) ERROR PROBABLE DE UNA MEDIDA
Eo = ± 0.6745 x
)1(
)(
2
−
∑ −
n
Pi
n
i
P ixx = ± 0.6745 X
13
"324
−
Eo = ± 8.58
VMP = X P ± Eop = 47° 37’ 28” ± 2.3”
Ejemplo:
Se siguen 4 itinerarios para determinar la cota de un punto. La
cota con sus correspondientes errores probables son:
ITINERARIO ALTURA OBSERVADA
A 221.05 ± 0.006 m
B 221.37 ± 0.012 m
C 220.62 ± 0.018 m
D 221.67 ± 0.024 m
a) Hallar el valor probable de la cota
b) El Error Probable de la Media Ponderada.

de Errores
c) El Valor Mas Probables.
SOLUCIÓN
a) Calculo de los Pesos
P1
2
1
E = P2
2
2
E = P3
2
3
E =… (1)
E1 = ± 0.006 simplificando E1 = 1
Reemplazando en (1)
P1
2
1
E = P2
2
2
E = P3
2
3
E = P4
2
4
E
P1 x 1 = P2 x 4 = P3 x 9 = P4 x 16
⇒ P1 = 1 P2 = ¼ P3 = 1/9 P4 = 1/16
Xi Pi Xi Pi
221.05 1 221.05
221.37 ¼ 55.34
220.62 1/9 22.51
221.67 1/16 13.85
∑ 205/144 314.75

de Errores
b) Media Ponderada
X P =
∑
∑ ×
P
Piix )(
=
144/205
75.314
= X P = 221.10 m
Xi ( x P - xi ) ( x P - xi )2
P ( x P - xi )2
Pi
221.05
221.37
220.62
221.67
0.05
0.27
0.48
0.57
0.0025
0.0729
0.2304
0.2249
1
¼
1/9
1/16
0.0025
0.182
0.0256
0.0203
144
205 0.0666
b) Error Probable de la Media Ponderada
EOP = ± 0.6745
)3(
144
205
00666.0
EOP = ± 0.026 m.
c) Error Probable de una Medida
Ep = ± 0.6745
3
00666.0
Ep = ± 0.00317 m.
d) Valor Más Probable
VMP = X P ± Eop = 221.10 ± 0.026 m.

de Errores
VARIAS CANTIDADES HOMOGENEAS
Cuando se tiene varios valores observados con diferentes pesos y la
suma de estos valores es igual a un valor conocido o medido.
Entonces los V.M.P. son los observados mas una corrección, esta
corrección es una parte del error total .
“Estas correcciones que se aplican son inversamente proporcional a los
pesos”
C1 P1 = C2 P2 = C3 P3
Donde:
C = Corrección que debe aplicarse al valor observada de una
cantidad para obtener el VMP.
EJERCICIO
Se midieron los tres ángulos y el ángulo total de estos, todos desde el
mismo vértice “O” en igualdad de condiciones obteniéndose los
siguientes resultados:
< AOB = 46° 14’ 45” ( 6 observaciones)
< BOC = 74° 32’ 29” ( 1 observaciones)
< COD = 85° 54’ 38” ( 3 observaciones)
< AOD = 208° 41’ 28” ( 5 observaciones)
Hallar los valores probables.
Solución:

de Errores
a) CALCULO DE LOS CORRECCIONES PARCIALES RELATIVAS.
C1 P1 = C2 P2 = C3 P3 = C4 P4
6 X C1 = 1 X C2 = 3 X C3 = 5 X C4
⇒ C2 = 1 C1 = 1/6 C3 = 1/3 C4 = 1/5
b) DISCREPANCIA
<AOB + < BPC + <COD = 206° 41’ 52”
<AOD = 206° 41’ 28”
DISCREPANCIA = + 24” (Exceso)
Esta discrepancia se reparte en forma proporcional a las
correcciones relativas halladas anteriormente.
c) CORRECCIONES PARCIALES ABSOLUTOS
Repartir 24” proporcional A: 1, 1/6, /3, 1/3, 1/5
C2 =
5
1
2
1
6
1
1
"24
+++
x
1 = 14” C1 =
10/7
"24
1
x
6
1
= 2”

de Errores
C3 =
10/7
"24
1
x 1/3 = 5” C4 =
10/7
"24
1
x
5
1
= 3”
d) VALORES PROBABLES
<AOB = 46° 14’ 45” - 2” = 46” 14’ 34”
<BOC = 74° 32’ 29” - 14” = 74” 32’ 15”
<COD = 85° 54’ 38” - 5” = 85” 54’ 33”
<AOD = 206° 41° 28” + 3” = 206° 41’31”
Ejercicios:
1. No pudiendo medirse la distancia horizontal entre los
puntos M, N, se determinara en forma indirecta, midiéndose su
pendiente y la diferencia de nivel entre estos en tres
operaciones de campo, registrando los siguientes datos:
Pendiente AH
1ra
medición 02° 43’ 15.23 m.
2da
Medición 02° 44’ 15.22 m.
3ra
Medición 02° 42’ 15.24 m.
a) Hallar el V.M.P de la pendiente, de la diferencia de nivel y
la distancia horizontal
b) Además hallar sus respectivos Errores Relativos.
2. Se tiene un terreno de cuatro lados del cual hemos
obtenido los siguientes datos:
Medición del perímetro:

de Errores
5187.30 m. 518690 m. 5185.40 m.
5188.10 m.
5365.80 m. 5186.70 m.
De igual manera se han medido sus ángulos internos:
< A = 68° 34’ 15” (3 veces)
<B = 36° 44’ 12” (1 vez)
<C = 118° 25’ 30” (2 veces)
<D = 136° 16’ 25” (2 veces)
Calcular los V.M.P. del perímetro y de los respectivos ángulos.
TEORIA DE ERRORES EN LAS MEDICIONESTEORIA DE ERRORES EN LAS MEDICIONES
TOPOGRAFICASTOPOGRAFICAS
Una operación Topográfica como:
• La suma de tramos para dar una longitud total.
• Hallar el lado o ángulo de una figura geométrica.
• El área de triangulo, cuadrado o cualquier cuadrilátero.
• El volumen de una figura geométrica etc.
Esta dado por la siguiente función:
μ = f ( x, y, z )
Entonces el Error Probable de dicha operación esta dado por

de Errores
eµ
= ±
222
... 





+





+





zyx eee
dz
du
dy
du
dx
du
1) EP DE LA SUMA DE TRAMOS PARA DAR UNA LONGITUD
TOTAL
x + ex y + ey z + ez ……
⇒ La Función será:
S = x + y + z + .......
El Error Probable
es = ±
222
... 





+





+





zyx eee
dz
ds
dy
ds
dx
ds
es = ± ( ) ( ) ( )222
zyx eee ++
⇒ V.M.P. = S ± es

de Errores
Nota:
Cuando todos los tramos tienen la misma medida y por tanto el mismo
error probable, entonces el Error Probable de toda la suma de tramos, es
igual al error probable de una sola observación o medida multiplicada por
la raíz cuadrado del Número de medidas.
S = x + x + x + x .......
es = ± ( ) ( ) ( )222
xxx eee ++
es = ± ( )2
. xen ⇒ es = ± ex n
⇒ V.M.P. = S ± ex n
Ejemplo:
Se mide una alineación en tres tramos con los siguientes errores
probables:
±0.014 m. ±0.0022 m. ± 0.016 m.
Respectivamente cual es el Error Probable de la longitud total.
Solución:
ex = ± 0.014 m. ey = ± 0.022 m. ez = ± 0.016 m.
es = ± ( ) ( ) ( )222
zyx eee ++ = ± ( ) ( ) ( )222
016.0022.0014.0 ++

de Errores
es = ± 0.03059 m.
2). EP DEL AREA DE UNA FIGURA GEOMETRICA
Ejemplo del área de un rectángulo
l + el
a + ea
La Función será: A = l x a……
El Error Probable
eA = ±
22
.. 





+





al ee
da
dA
dl
dA
eA = ± ( ) ( )22
.. al elea +
⇒ V.M.P. = A ± eA
Ejercicio:
Los lados de un terreno rectangular miden 750 m. y 375 m. y se
miden con una cinta de 25.0m; que tiene en su longitud un error de

de Errores
± 0.015mts. Hallar el Valor Más Probable del área de dicho terreno.
SOLUCION:
Calculo del Ep de cada lado
Como para cada cintada se produce un error de 0.015m; entonces este
error es acumulativo tanto para el largo como para el ancho
Para 750 m.
Se habrán dado:
25
750
= 30 medidas
eL = e. N = ± 0.015 30 ⇒ eL = ± 0.082 m.
Para 375 m.
Se habrán dado:
25
375
= 15 medidas
ea = ± 0.015 15 ⇒ ea = ± 0.058 m.
⇒ l = 750 ± 0.082 m a = 375 ± 0.058 m
A = 750 x 375 = 281250 m2
eA = ± ( ) ( )22
.. al elea + = ± ( ) ( )22
058.0750082.0375 xx +
eA = ± 53.27
V.M.P. = 281250 ± 53.27 m2

de Errores
3). EP DEL LADO O ANGULO DE UNA FIGURA
GEOMETRICA
EP DE LA DISTANCIA HORIZONTAL ENTRE DOS PUNTOS
L ± eL
θ±θ e
D ± eD
La función será: D= L x cosθ
El error probable:
eD = ±
22
.. 





θ
+





θee
d
dD
dL
dD
L
eD = ± ( ) ( )22
... aL eSenLeCos θ−θ +

de Errores
⇒ V.M.P. = D ± eD
Nota: e θ  radianes
Ejercicio:
Se ha medido la distancia inclinada y la pendiente entre los puntos A y B
con el siguiente resultado. 321.328 ±0.035 y 2°43’ ±23”4
respectivamente hallar el Valor Mas Probable de la distancia horizontal
entre estos.
Solución:
321.328 ±0.035
2°43’ ±23”4
D
D = L x Cos θ = 321.328 x Cos ( 2° 43’ ) = 320.967 m.
El error probable:
eD = ± ( ) ( )22
00702.0328.321035.0`432 xxCos −° + = ± 0.1125
⇒ V.M.P. = 320.967 ± 0.1125 m

Capitulo 3 (teoria de errores)

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