Derivadas vectoriales

1. Derivada de un Vector
Suma y resta de funciones vectoriales

2. • Un vector puede ser función de una
variable (típicamente el tiempo).
• La derivada de un vector es expresado en
una base cartesiana como:

3. • Es decir, sea A una función vectorial que
depende de un escalar t (tiempo).
Entonces:
• Y su derivada sería, como ya se vio antes:

4. • Por ejemplo, A puede ser la posición de
un objeto y t, puede ser el tiempo que le
tome en moverse a otro punto
(desplazamiento).
Instante Posición
t = t 0
t’= t F A’(t)

5. • En un intervalo de tiempo como:
• Se interpreta como el cambio efectuado
sobre t (tiempo), es igual a la diferencia
entre el tiempo final (derivada) y el tiempo
inicial (función vectorial original).

6. • El objeto se ha movido desde A(t) hasta
A(t ’) Desplazamiento

7. • Sea r = (f1, ….., fn) función vectorial. La
derivada de r en t es:

8. • Derivada de la suma de dos funciones
vectoriales:
• Derivada de la resta de dos funciones
vectoriales:

9. • r(t) = 4t² i + 3t j + 2 k
• r(t’) = 8t i + 3 j + 0 k

10. r(t) = 4t² i + 3t j + 2 k

11. r(t’) = 8t i + 3 j + 0 k

12. • Calcular la velocidad instantánea de un
móvil.
• Sea un cuerpo que se mueve con
velocidad variable en la dirección del eje X
según la ecuación y deseamos
saber cuál será su velocidad en un
instante dado, por ej. t = 4s.

13. • Se define velocidad instantánea V, como
el límite de la velocidad media
cuando el intervalo de tiempo se hace casi
cero:
¿Pero cómo calcular ese límite para
conocer la velocidad instantánea?

14. • Esos resultados indican que la velocidad media en el límite cuando
tiende a cero se va acercando a 43 m/s.
Tomamos un incremento de tiempo muy pequeño,
por ej. , y calculamos la posición del
móvil en los instantes t = 4s y t = 4 + 0,001s.

15. • Que para el instante t = 4s da un valor de velocidad instantánea de
43 m/s.
10 (4) +3 = 40 + 3 = 43 m/s
• El vector velocidad instantánea de un móvil cuya posición en
función del tiempo viene dada por , se expresa como la
derivada del vector de posición con respecto al tiempo:
Pero ese laborioso método para calcular la
velocidad instantánea se simplifica con el uso de la
derivada, escribiendo: