Estadística elemental, capitulo10, Muestreo y distribuciones de muestreo

1. BIBLIOTECA UO
~¡¡0111~~~~~~~11llil1111

2. 10.1 Muestreo aleatorio 243
10.2 Diseños de muestras * 248
10.3 Muestreo sistemático * 248
10.4 Muestreo estratificado * 249
10.5 Muestreo por conglomerados * 252
10.6 Distribuciones muestrales 255
10.7 El error estándar de la media 259
10.8 El teorema del límite central 261
10.9 Algunas consideraciones adicionales 264
10.10Comentario técnico (simulación) * 268
10.11Revisión de términos clave 270
10.12Ejercicios de revisión 270
10.13Referencias 271
MUESTREO Y
DISTRIBUCIONES
DE MUESTREO

3. 243SEC. 10.1 I
En la sección 3.1 diferenciamos entre poblaciones y muestras, so-tli:ll.::.;.o...11..
blación consiste en todas las observaciones concebible (o hipotétieamesra
un fenómeno 'determinado, mientras que una muestra es sólo una
ción. En seguida, también diferenciaremos entre dos clases de pobh!o.i:Jii~
dones finitas y las poblaciones infinitas.
Una población es finita si consta de un número finito o fijo deeú~Slii::J
u observaciones. Como ejemplos de poblaciones finitas podemos
netos de 3,000 latas de pintura de cierta producción, las calificaci ....= ..JX.-:•. u
estudiantes de primer año admitidos en una preparatoria dete
1991 y las temperaturas diarias registradas en una estación metoorolei:;;:n::
años de 1987 a 1991.
A diferencia de las poblaciones finitas, una población in
camente, contiene una infinidad de elementos. Este es el caso, on:-riJCE::::o.·1::.1c
servamos un valor de una variable aleatoria continua y hay una u·~-::;::.;¡;:;;:¡¡¡¡;:;!.
distintos. También es el caso cuando observamos los totales ouuo~-'-"'·"""--''-·""--"'""""
repetidos de un par de dados, cuando medimos en repetidas ocas::~
llición de un compuesto de silicio y cuando tomamos una
una población finita. No hay límite para los números de veces
par de dados, para el número de veces que podemos medir e
10.1
MUESTREO ALEATORIO
El principal objetivo de la mayoría de los estudios, análisis · estigaciones, es hacer
generalizaciones acertadas con base en muestras de pob es de las que se deri-
van tales muestras. Obsérvese la palabra "acertadas" pon es fácil responder
cuándo y en qué condiciones las muestras permiten tales ge aeiones. Por ejem-
plo, si queremos calcular la cantidad de dinero promedio
unas vacaciones, ¿tomaríamos como una muestra las cantida
[eros de primera clase de un crucero de cuatro días; o trataría
}icar el precio al mayoreo de todos los productos agrícolas ú · ase en el
. 'precio de los espárragos frescos? Es obvio que no, pero saber a -ia: , - .- •
qué productos agrícolas debemos incluir en las muestras no es o: ;= - _ i evi-
dente.
En la mayor parte de los métodos que estudiaremos en lo
pondremos que estamos manejando las llamadas muestras alea
fasis en las muestras aleatorias, que estudiamos y definimos en la
permiten generalizaciones válidas o lógicas. No obstante, como T.,.r.=;r-,..,,,
aleatorio no siempre es viable o aun deseable y de la sección 10.2 a - • • : ~rui: se
optativas, mencionaremos algunos procedimientos alternativos de
En la sección 10.6 presentamos el concepto relacionado de
muestreo, que nos indica cómo las cantidades determinadas co
pueden variar de una muestra a otra. Luego, de la sección 1O.7 a la 1
cómo se pueden medir, pronosticar o inclusive controlar tales vana ·
bilidad.

4. 244 CAP. 1 O I MUESTREO Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO
abe, ,aaJ, ace; ade, bcd, bce, bde y cde. Si seleccionamos u ·
r::=:estras de tal forma que cada muestra tenga una probabilidad de ro. de sa· "
!ellnc:::;:!'::~ decimos que ésta es una muestra aleatoria .
............ l.tiZJ ......• én sigue la pregunta de cómo se toman las muestras aleatorias
· en situación simple como la que acabamos de describir, podríam
de las diez muestras aleatorias en una tira de papel, ponerlas en un mnn
vedas bien y luego retirar una sin ver. Empero, es obvio que esto sería P'"ll'
ruta situación real complicada en la que n y No sólo N son grandes . ..1•
población consiste en los N = 5 elementos a, b, e, d y e (que pi iru
c::.';;;;::ieliDS~~:::s decinco personas, los pesos de cinco vacas o los precios de ~u
= 10 muestras posibles de tamaño n = 3. Estas constan ..
Una muestra de tamaño n de una población finita de tamaño N es una
variable aleatoria si se selecciona de manera tal que cada una de las
( ~) muestras posibles tiene la misma probabilidad, +,de ser
seleccionada. ( n)
Con base en el resultado de que hay (:) muestras distintas de tamaño n
población finita de tamaño N, presentaremos la siguiente definición de una m
aleatoria (en ocasiones conocida también como muestra aleatoria simple) de
blación finita:
¿Cuántas muestras distintas den podemos tomar de una población finita de tac:.~nn
cuando
(a) n = 2 y N = 12;
(b) n=3yN=l00?
compuesto de silicio, ni para el número de veces que podemos tomar una m
una población finita y reemplazarla antes de tomar la siguiente.
Para presentar la idea del muestreo aleatorio de una población finita
veamos cuántas muestras diferentes de tamaño n podemos tomar de una pobl
nita de tamaño N. Refiriéndonos a la regla para el número de combinaciones
jetos tomando rala vez de la página 1Ol, encontramos que, con un cambio del s tue'I
la respuesta es ( :) .
(
12) 12· l I .
(a) Hay
2
= -2!- = 66 muestras distintas.
(
100) 100 . 99 . 98
(b) Hay
3
= --3! -- = 161,700 muestras distintas.
Solución
EJEMPLO

5. dos.
• este
SEC. 10.1 MUESTREO ALEATORIO 245
El procedimiento que usamos en este ejemplo fue b
sido más si hubiéramos tenido el software que deja la m
computadora. Por ejemplo, la impresión de la figura 10.1 pp::sa::::!Jil
ria generada por computadora de tamaño n = 12 de la pobl
números 1, 2, 3, ... , 246 y 247. Los valores de la muestra
51, 129, 71, 45, 86 y 224.
donde ignoramos los números mayores que 247; si cualquier ......_........~.
tido, también lo habríamos ignorado. Los doce números que
meros asignados a las farmacias; las cifras de impuestos s
dientes constituyen la muestra aleatoria deseada.
046 230 079 022 l l9 l 50 056 064 19 _, -~32 141
Solución Siguiendo estas instrucciones, obtenemos
EJEMPLO Tome una muestra aleatoria de tamaño n = 12 de la población ..."";...~~""
tidades de impuestos sobre las ventas cobradas por 247 farmaci
ciembre de 1990 numerando las farmacias como 001, 002, 003--.. J.: •
el orden en que aparecen en el directorio telefónico) y leyendo ........• ........,•._,.,
tres dígitos de la segunda página de la tabla XI, usando la vigesi
séptima y la vigesimaoctava columnas empezando en el sexto
página abajo.
ejemplo, paran= 4 y N = 200 tendríamos que clasificar C00) = 64,684,950 tiras de
papel y retirar una de éstas.
Por fortuna, podemos tomar una muestra aleatoria de -
una lista de todas las muestras posibles, que hemos menci -
el punto de que la selección de una muestra aleatoria debe GaD:'i:~~
azar. En vez de hacer una lista de todas las muestras po i
uno de los N elementos de la población finita en una tira de
la vez sin reemplazo, asegurándonos de que cada vez que ret1..1=ii:ll!S
elementos restantes de la población tengan la misma posibi
Como se pedirá al lector que lo verifique en el ejercicio 10.J..;,
l
procedimiento también lleva a la misma probabilidad, ( ~-).
Podemos simplificar aún más este procedimiento relativ
do números aleatorios en vez de retirar tiras de papel o bien, po,~::¡¡¡;lf!!.
computadora haga todo el trabajo. Como señalamos en la pág"
das de números aleatorios (como la que se condensó en la tab
sisten en páginas en las que se disponen los dígitos O, 1, 2 ,... ,y
si se generaran por medio de un juego de probabilidad o azar que
ma probabilidad, ¡~. de aparecer en cualquier lugar determi

6. 246 CAP. 1 O I MUESTREO Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO
Pasa -otro ejemp o de una muestra aleatoria de una población infinita, suponga
ocho esto ·· tes obtuvieron las siguientes lecturas del punto de ebullición de un
puesto de silicio: 136, 153, 170, 148, 157, 152, 143 y 150 grados Celsius. De acu
con la definición, estos valores constituyen una muestra aleatoria si son valores de
riables aleatorias independientes que tienen la misma distribución, digamos, L: di
Como Jo señalamos en relación con las distribuciones binomiales y normales, ésta s
"misma" distribución a Ja que nos referimos como Ja población de la que efectu
un muestreo. Así mismo, por "independiente" queremos decir que las probabili
relacionadas con cualquiera de las variables aleatorias son las mismas sin que te _
importancia los valores que se hayan observado para las otras variables aleatorias.
Por ejemplo, si en doce lanzamientos de un dado obtenemos 2, 5, 1, 3, 6, 4, 4,:.
. 1 y 2. estos números constituyen una muestra aleatoria si son valores de vari
ateamaas i pendientes C!l e tienen la misma distribución de la probabilidad
Una muestra de tamaño n de una población infinita es aleatoria si consta
de valores de variables aleatorias independientes que tienen la misma
distribución.
..............:............. tenemos acceso a listas de manera que podemos numerar artículos ~.
sencillo tomar muestras aleatorias con la ayuda de tablas de números !.au
atadoras. Por desgracia, no obstante, hay muchas situaciones en que
- ~er del modo en que acabamos de describir. Por ejemplo, si querem
estra para estimar el diámetro exterior medio de miles de balas para r
;:::1fC~ empacadas en un lote grande o si deseamos estimar Ja altura media de 1 ,
bosque, sería imposible numerar las balas o los árboles, seleccionar
.:....:¡¡;"""'"·um y luego localizar y medir las balas o árboles correspondientes. En ~.;"!
c:rl:t25 situaciones similares, todo Jo que podemos hacer es proceder de ac ~
'-""li~-i-,~.i.··ón del diccionario de la palabra "aleatorio", específicamente, "al ..
·.'O o propósito". Esto es, no debemos seleccionar o rechazar ningún ele
ooiblac1(íai porque parezca típico o no, tampoco debemos favorecer o ignorara
gunaparte e población por su disponibilidad o falta de Ja misma y así sucesiv
te. Con cierta reserva, a menudo podemos tratar algunas de dichas muestras, de h
como si fueran muestras aleatorias.
Hasta ahora hemos analizado el muestreo aleatorio sólo en relación con las
ciones finitas. Para las poblaciones infinitas, decimos que
FIGURA 10.1 Muestra aleatoriageneradapor computadora.
~ S EGNGLONES SELECCIONADOS DE LA COLUMNA Cl CONTIENEN
:-.¡¡;¡ 0 147.0000 82.0000 171.0000 60.0000 s s.ee
s; .2.l00 129.0000 71 ."0000 45 .0000 B6 .0d'00 224.IH!
]_ BE~GLQNES SELECCIONADOS DE 247
MTB > G!ENE 247 Cl
MTB > MliES-·RA 12 Cl C2
f(x) = ~ para x = 1, 2, 3, 4, 5, o 6

7. SEC. 10.1 I ML"ES'IltH)ALEATORJO 247
10.12 En la página 245 señalamos q e se
muestra aleatoria de una poblaei •
los elementos, uno a la vez, que SI:'
muestra asegurándonos de que
mos un elemento todos los r=.1..:._-=
probabilidad de ser seleccionados,
ejemplo de la página 244, acesea
rias de tamaño n = 3 tomadas de
10.11 Suponga que tiene una población de
tomar una muestra de tamaño 4. S M1mie ~1wi:::n numc·::::r
la selección utiliza una tabla den'
es la probabilidad de que los p ·
que selecciona no tengan dobles?
10.10 Un sociólogo quiere incluir 10 de 83 · 'uJJH! j1i::-1111Wli111:JJ1h111-
gan en una encuesta. Si numera estos
02,..., 82y 83, ¿cuáles (por número) •
ta si los selecciona usando la vig · n1. ' 1:11 1111111!!''~
simasegunda columnas de la segumh
XI, empezando en el décimo rengló
página?
10.9 Una asesora del condado quiere
muestra aleatoria de 15 de 8,019 c=
las numera como 0001, 0002, ... , 8.1)1 ·' ".::nllliwmi::"
(por número) eligirá si las seleccio 1~.::::am111t-
primera, la decimasegunda, la deci
cuarta columnas de la primera página :!!iltnl•·
pezando en el cuarto renglón y conti:"m::;¡!:J3c
811 y 812, ¿cuáles eligirá si los sel=.mi.;;~·UilllMlllJllW¡¡;;,i
cimaprimera, la decimasegunda y
lumnas de la segunda página del
en el octavo renglón y continuan
~Cuál es la probabilidad de cada muestra posible
(a) si se toma una muestra aleatoria de tamaño 4 de una
población finita de tamaño 12;
(b) si se toma una muestra aleatoria de tamaño 5 de una
población finita de tamaño 22?
En relación con el ejemplo de la página 252, donde men-
.onamos todas las muestras posibles de tamaño n = 3 de
población finita que consiste en los elementos a, b, e, d
e, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria
tamaño n = 3 de esta población contenga un elemento
específico, digamos, el elemento e?
Elabore una lista de las(~) = 2.8 muestras posibles de
tamaño n = 2 que se pueden tomar de una población finita
cuyos elementos se representan como a, b, e, d, e,f, g y h.
efiriéndonos al ejercicio anterior, ¿cuál es la proba-
ilidad de que una muestra aleatoria de tamaño n= 2 de la
población determinada incluya el elemento que se repre-
senta por medio de la letra el?
íencione todas las selecciones posibles de dos de las si-
guientes seis aerolíneas: TWA, American, United, East-
ern, Delta y Western. Si una persona selecciona aleatoria-
mente dos de estas aerolíneas para estudiar sus registros
de seguridad, encuentre la probabilidad
(a) de cada muestra posible;
(b) de que se incluya a TWA en la muestra.
Un bacteriólogo quiere hacer una revisión doble de una
muestra den = 10 de los 812 especímenes sanguíneos
analizados por un laboratorio médico en un mes determi-
nado. Si numera los especímenes como 001, 002, 003,... ,
Cuántas muestras diferentes de tamaño n = 3 podemos
seleccionar de una población finita de tamaño
(a) N= 15; (b)N=30; (c)N=60?
Cuántas muestras diferentes de tamaño n = 2 podemos
seleccíonar de una población finita de tamaño
(a) N=6; (b)N= 10; (c)N=25?
CIOS
bución normal con u e 152y a= 10. Parajuzgar si en realidad éste es el caso, tendría-
mos que cerciorarnos, entre otras cosas, de que las técnicas de medida de los ocho es-
tudiantes sean igualmente precisas (de modo que sea la misma para cada una de las va-
riables aleatorias), que no haya colaboración (que pueda hacer que las variables alea-
torias sean dependientes) y que no haya impurezas en las IDaJ ias primas. En la prác-
tica, no es fácil decidir si un conjunto de datos se puede consi
aleatoria y estudiaremos este punto con mayor detalle en la .9.

8. 248 CAP. 1 O I MUESTREO Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO
En algunos casos, la manera más práctica de efectuar un muestreo consiste en sel
nar, digamos, cada vigésimo nombre de una lista, cada decimasegunda casa de un 1
-3
ll IDESTREO SISTEMATICO*
La única clase de muestras que hasta ahora hemos estudiado son las muestras alea u 1
y no hemos considerado ni siquiera la posibilidad de que en ciertas condiciones .illl!
haber muestras que son mejores (digamos, más fáciles de obtener, más económi .<11
más informativas) que las muestras aleatorias y no hemos entrado en detalles so -,
pregunta de lo que podría hacerse cuando el muestreo aleatorio es imposible. De h ~::m
hay muchas otras maneras de seleccionar una muestra de una población y hay unaz
cantidad de bibliografía sobre el tema de los procedimientos del diseño del mu
En estadística, un diseño de una muestraes un plan definitivo, determinad
completo antes de recopilar cualquier dato, para tomar una muestra de una pobl ··1
de referencia. Así, el plan de tomar una muestra aleatoria simple de 12 de 247 far
de una ciudad usando una tabla de números aleatorios de una manera específica
tituye una muestra aleatoria. En las tres secciones siguientes estudiaremos breve
algUJ!Jas de las. clases más comunes de diseños de muestras.
10.14 Use el mismo tipo de argumento que en el ejercicio
para verificar que cada muestra aleatoria posible de .un
ñon, tomada una a la vez de una población finita de ..un
'(N)ño N,tiene la probabilidad 1 ' .
11
.
I0.15 Randy McGill y Susan Martin son miembros de
blación de 50 estudiantes. Un investigador va a se •
nar 5 estudiantes de esta población.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que incluya a R
la muestra?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que incluya a Susuun
la muestra?
(e) ¿Cuál es la probabilidad de que incluya
Randy como a Susan en la muestra?
(d) ¿Su solución para (c) es mayo~ o menor Jll
1,313,400
(b) cada muestra aleatoria posible de tamaño n, toman-
do una a la vez de una población finita de tamaño N
= 200, tiene la probabilidad
161,700
se - mismo tipo de argumento que en el ejercicio ante-
riorpara verificar que
(a) cada muestra aleatoria posible de tamaño n = 3 to-
mada una a la vez de una población finita de
N = 100, tiene la probabilidad
l
/
10;2
DISEÑOS DE MUESTRAS*

9. SEC. 10.4 MUESTREOES1RATIF1CADO 249
Si tomamos una muestra aleatoria ordinaria ce tamaño 2 de esta .....d_,,"-.""~-'-
G) = 6 muestras posibles son 115y 135, 115y 185, 115y 205, 135 l
y 185 y 205 y las medias coi -e· pendientes son 125, 150, 160, 16
sérvese que ya que cada una de estas muestras tiene una probabilid
115 + 135 + 185 + 20)
¡i = -~-· - ---~ - 160 libras
4
Si tenemos información acerca de la constitución de una población (es
posición) y ésta es importante para nuestra investigación, podemos mejorare
aleatorio por medio de la estratificación. Este es un procedimiento que c:o;;;:,s¡¡:s;¡¡.::
tratificar (o dividir) en un número de subpoblaciones o estratos que no se
luego tomar una muestra de cada estrato. Si los artículos seleccionados
constituyen muestras aleatorias simples, el procedimiento completo (p ·
tificación y luego el muestreo aleatorio) se conoce como muestreo ale41"'"-....,. ------.
estratificado.
Suponga, por ejemplo, que queremos estimar el peso medio de e
con base en una muestra de tamaño 2 y que los pesos (desconocidos)de
sonas son 115, 135, i 85 y 205 libras. Por tanto, el peso medio que quere
10.4
MUESTREO ESTRATIFICADO*
5.0b-
- proba-
de una calle, cada quincuagésima pieza de una línea de ensamble y así sucesivamente.
Esto se conoce como muestreo sistemático y se puede integrar un elemento de azar en
esta clase de muestreo usando números aleatorios para seleccionar la unidad en la que
se debe comenzar. Aunque una muestra sistemática puede no se una muestra aleatoria
de acuerdo con la definición, a menudo es razonable tratar las muestras sistemáticas
como si fueran muestras aleatorias; de hecho, en algunos casos,
ticas en realidad pueden ser mejores que las muestras aleatorias ·
meras se extienden en forma más regular sobre las poblaciones ....,....._,"""-
Si los miembros de Ja población aparecen secuencialmente en
el caso de las piezas de una línea de producción o de automóviles ,
una caseta de peaje, el muestreo sistemático dispersara el trabajo e
tiempo. Esta deseable característica del muestreo sistemático ayu ..,..,......,,..,.... ...,¡
de errores de oficina.
El verdadero riesgo del muestreo sistemático yace en la posible
riodicidades ocultas. Por ejemplo, si inspeccionamos cada cuadragésicia
da por una máquina particular, los resultados serían poco acertados
cuencia de un fracaso recurrente regularmente, cada décima pieza pnx:=c;;¡¡~.<:;:
quina tiene imperfecciones. Del mismo modo, una muestr~ sistemática
sultados sesgados si entrevistamos a los residentes de cada decimasegu
go de cierta calle y así sucede que cada decimasegunda casa a lo largode
casa en esquina o un lote doble.

10. 250 CAP. 1 O I MUESTREO Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO
donde n = n1 + ni + · · ·+ nk es el tamaño total de la muestra. Cuando es necesari
mos los números enteros más próximos a los valores obtenidos por medio de esra
mula. Vea el ejercicio 10.24 y las referencias al final del capítulo.
N;
n; = -N -· n para i = 1, 2, ... , y k
y de hecho, la distribución fue proporcional.
Como se pedirá al lector que Jo verifique en el ejercicio 10.22 de la página _
distribución es proporcional si
o si estas razones tienen casi la misma posibilidad. En el ejemplo sobre los p
vimos N1 = 2, N2 = 2, n1 = 1ynz=1, de modo que
lad~stribución proporcional, que implica ,,111U
"""'""'""~' .... diferent.es son proporcionales a los tamaños :a
población de tamaño Nen k estratos de 1umi
rutlesllade tamaño n 1 del primer estrato, una mue~m
d - dJ késimosrt O.--- , y uaa muestra e tamano nk e estrato,
es proporcional si
bilidades de que nuestro error (la diferencia entre la media de la muestra y µ = "•111111
O, 10 o 35 son t· * y ±.Ahora, suponga que sabemos que dos de estas pers 1,
hombres y dos son mujeres que los pesos (desconocidos) de los hombres s
205 libras, mientras que los pesos (desconocidos) de las mujeres son 115 y 1 r lii
Estratificando la muestra (por sexo) y seleccionando aleatoriamente a uno de 11~1
hombres y a una de las dos m geie:s, encontramos que sólo hay cuatro mues "'
tificadas, 115 y 185, 115 y20t'ii, 135 y 185, y 135 y 205. Las medias de estas
son 150, 160, 160 y 170 y iprobabilidades de que nuestro error sea O o 1
1 y 1 . Es evidente que 1 es iñcación ha incrementado en gran medida n 1~
probabilidades de tener ación buena (cercana) del peso medio de las ::'1
personas. Con todo, véase e e~ icio 10.19.
Esencialmente, e la estratificación es formar estratos de tal f _ ..11
haya alguna relac ·' e un estrato particular y Ja respuesta que se
el estudio estad' - estratos separados haya tanta homogeneidad ..umi
n=¡:stf:oejemplo existe tal relación entre el sexo y
v;m:;¡:i.a.l~llil::oden el peso de cada uno de los dos grupos de Ja w1•
Tamaños de
muestrapara
la distribución
proporcional
EJEMPLO Se debe tomar una muestra estratificada de tamaño n = 60 de una muestra de t i.m1
N = 4,000, que consta de tres estratos de tamaño N1 = 2,000, Ni = 1,200 y N3 = 8 t" ,

11. SEC. 10.4 I MUFSI'REOESTRATIFJCADO 251
Esto ilustra la distribución proporcional, pero debemos agregar que hay otras
neras de distribuir porciones de una muestra entre los diferentes estratos. Una de éstas,
conocida como la distribución óptima, se describe en el ejercicio 10.26 de la página
254. No sólo maneja el tamaño del estrato, como en la distribución proporcional, sino
que también maneja la variabilidad (o cualquierotra característica pertinente) del
estrato.
La estratificación no se limita a una variable única de clasificación o una caracte-
rística y las poblaciones a menudo se estratifican de acuerdo con varias características,
Por ejemplo, en una encuesta sistematizada diseñada para determinar la actitud de
estudiantes, digamos, hacia un nuevo plan de enseñanza, un sistema estatal de
ción preparatoria con 17 escuelas podría estratificar su muestra no sólo con respecto·
las preparatorias, sino también en relación con el grado escolar, el sexo y la espeer
dad. Así, parte de la muestra se destinaría a los alumnos de sexo femenino de
grado de la preparatoria A en la especialidad de ingeniería, otra parte de la m
distribuiría a los alumnos de sexo masculino de segundo grado de la preparato -
la especialidad de inglés y así sucesivamente. Hasta cierto punto, la estratifi
como ésta, llamada estratificación cruzada, incrementará la precisión (confic:.u:",;,..:....:IL
de las estimaciones y otras generalizaciones y se usa comúnmente, en partí
muestreo de la opinión y la investigación de mercado.
En el muestreo estratificado, el costo de la toma de muestras aleatorias
tratos individuales con frecuencia es tan alto que a los encuestadores sólo ~
cuotas que deben cubrir de los diferentes estratos, con algunas restriccio
que ninguna) sobre la manera en que las deben cubrir. Por ejemplo, al deterIII!::::;::.;;¡¡:
titudes de los electores hacia las mejoras de los servicios de salud para las IJll<l"""":iw.u"'
edad avanzada, a un encuestador que trabajaen cierta área se le podría
viste a 6 hombres quevivanen casa propia, trabajen en forma independi
menores de 30 años de edad, a 1O mujeres asalariadas de 45 a 60 años de
en departamento, a 3 hombresjubilados mayores de 60 años que vivan en
y así en forma consecutiva, con la selección real a discreción del encuesracee;
cedimiento se conoce como un muestreo por cuotas y es conveniente, m~~=:!ii!::::..:.e
económico y en ocasiones necesario, pero como se efectúa con frecu -
resultantes no tienen las características esenciales de las muestrasal.~~~- :SJill!::Uü~
con ningún control a su disposición, los encuestadores tiendennanirat::::iec:;;;
nar a individuos a quienes se tiene acceso más fácil -personas e tramiz
mo edificio, personas que compran en lamisma tienda o quizá resi
general. Por tanto, los muestreos por cuotas en esencia son ID""'"""""''
y
2,000
n = --·60 = 301
4,000
Solución Sustituyendo en la fórmula, obtenemos
la distribución debe ser proporcional, cuán grande debe ser la muestra tomada de cada
estrato?

12. 252 CAP. 10 I MUESTREO Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO
Para ilustrar otra importante clase de muestreo, suponga que una gran empresa q ~
estudiar los patrones variables de los gastos familiares en el área de San Diego.
tentar elaborar los programas de gasto de 1,200 familias, la empresa encuentra
muestreo aleatorio simple es prácticamente imposible, dado que no se cuenta e
listas adecuadas y el costo de ponerse en contacto con las familias dispersas en una
ta área (tal vez teniendo que llamar dos o tres veces a quienes no se encuentren en
es muy alto. Una manera en que se puede tomar una muestra de esta situación es
diendo el área total de interés en varias áreas más pequeñas que no se traslapen,
mos, manzanas de una ciudad. Entonces se seleccionan algunas casas al azar, y ,
las familias (o muestras de éstas) que residen en estas manzanas constituyen la m
definitiva.
En este tipo de muestreo, llamado muestreoporconglomerados, se divide
blación total en un número determinado de subdivisiones relativamente pequeñas ..
seleccionan al azar algunas de estas subdivisiones o conglomerados para incluirl
la muestra general. Si los conglomerados son subdivisiones geográficas, como ~
ejemplo anterior, este muestreo se llama también muestreoporáreas. Para dar -11
ejemplo del muestreo por conglomerados, suponga que el decano de estudiantes de w1
universidad quiere saber la opinión de la fraternidad hacia la escuela acerca de
disposición nueva. Puede tomar una muestra de conglomerados entrevistando a
nos o a todos los miembros de varias fraternidades seleccionadas al azar.
Aunque las estimaciones basadas en el muestreo por conglomerados por lo g
no son tan confiables como las estimaciones que se basan en muestras aleatorias _
ples del mismo tamaño (véase el ejercicio 10.25 de la página254), a menudo son
confiables por costo unitario. Refiriéndonos de nuevo a la encuesta sobre los gast ·
miliares en el área de San Diego, es fácil apreciar que bien puede ser posible tomar 1
muestra de conglomerados de varias veces el tamaño de una muestra aleatorias· 1
por el mismo costo. Es mucho más económico visitar y entrevistar en conjunto a • nm
lias que viven cerca que seleccionar al azar a familias que viven en un área ext
En la práctica, sepueden aplicar varios de los métodos de muestreo que hemos .i:I
lizado para el mismo estudio. Por ejemplo, si estadistas del gobierno quieren es
la opinión de los profesores de escuelas primarias estadounidenses hacia ciertos
gramas federales, podrían estratificar primero el país por estados o algunas otras ~
divisiones geográficas. Para tomar una media de cada estrato, podrían usar el mu
de conglomerados subdividiendo cada estrato en un número determinado de su
siones geográficas más pequeñas (digamos, distritos escolares) y finalmente p -·1
usar un muestreo aleatorio simple o un muestreo sistemático para seleccionar ~1
muestra de profesores de educación primaria de cada conglomerado.
10.5
MUESTREO PORCONGLOMERADOS*
las inferencias basadas en tales muestras por lo regular no llevan a ninguna clase de
luación estadística formal.

13. 253~sSEC. 10.5 / MUESTREO
para determinar los tamaños de la 'lL ~ili::llw1111::u.•
los k estratos, entonces
(a) la distribución es proporcional, ;<lllii "."C:.1m1~·
n[N, equivalen a la misma u..cI.SO.:=-::::.
(b) la suma de los n¡ valores
*10.23 Se debe tomar una muestra estra · ' = '
de una población de tamañoN=_.uuu..~:c:..i:::,.;;:i::.m¡m,;...¡.
tratos de tamaño Ni = 500, Ni =
1OO. ¿Cuán grande debe ser lam
mar de cada uno de los cuatro
debe ser proporcional?
*10.24 En general, la fórmula que se de la
muestra en la distribución se presenta
N;
n; = N · n para i = l. _
pueden tomar selecci
personas más jóvenes
mayores, calcule sus m
bilidad de que la media
difiera por más de 5 de 1 -
las seis personas.
(d) Compare los resultados
*10.20 Con base en sus volúmenes de
de ropa de una ciudad se clasi
otras seis se clasifican como
estratificadas diferentes de 4 de
demos seleccionar, si
(a) debemos distribuir la mi
uno de los dos estratos:
(b) la distribución debe ser
*10.21 Entre 240 personas que pueden
son blancos, 80 son negros y 40
muestras estratificadas diferentes
nas podemos seleccionar, si
(a) debemos distribuir un t
uno de los tres estratos;
(b) la distribución debe ser prororc:ii=C
*10.22 Verifique que si se usa la fórmula
·.ñC' 2 que se pueden to-
una de las tres mujeres
....,.=,.,,...,..... calculelas medias y de-
media de una de
de 160,el peso
(c)
Si se selecciona al azar una de las seis muestras del ejer-
-cio anterior para estimar lacantidad promedio de correo
en millones de tonelada por milla) transportada por mes,
explique por qué hay un riesgo importante de tener un
error considerable.
Parageneralizar el ejemplo de la página 249, suponga que
queremos estimar el peso medio de seis.personas, cuyos
pesos (desconocidos) son 115, 125, 135, 185, 195 y 205
libras.
(a) Elabore una lista de todas las muestras aleatorias
posibles de tamaño 2 que se pueden tomar de esta
población, calcule sus medias y determine laproba-
bilidad de que la media de una de dichas muestras
difiera por más de 5 de 160,el peso medioreal de las
seis personas.
(b) Suponga que los primeros tres pesos corresponden
Elabore una lista de las seis muestras sistemáticas posi-
les del tamaño n = 8 que se pueden tomar empezando
;::un uno de los primeros seis números y tomando después
cada sexto número de la lista.
67 62 75 67 70 68
64 70 66 73 73 97
76 73 80 78 78 72
75 75 73 83 76 108
84 78 86 85 81 78
78 75 78 86 76 111
79 77 87 84 82 77
79 77 80 84 78 117
bore una lista de las cinco muestras posibles de lama-
n= 1 O que se pueden tomar de esta población empe-
zando con uno de los primeros cinco números y tomando
pués cada décimo número de la lista.
- ~s siguientes son las cifras mensuales de la cantidad de
rreo aéreo (en millones de toneladas por milla) de un
reciente.
CIOS
siguientes son los pagos promedio mensuales de la
6aFDC (Aid to Families with Dependent Children;Ayu-
' para familias con hijos dependientes)de un año recien-
de 50 estados, registrados en orden alfabético.
539 216 128 462 283 4 <" 237 193 177l.)
257 290 213 325 306 184 168 310 266
393 450 92 241 302 319 193 281 313
..+02 183 310 257 257 302 315 353 128
116 127 348 418 232 400 166 451 315
707 266 91 703 380 618 79 588 199

14. Reclamaciones 42 115 63 78 45 148
menores: 66 18 73 55 89 170
92 103 22 138 49 62
113 29 71 58 83
Reclamaciones 246 355 872 649 253 3_
mayores: 491 860 755 502 488 J
(a) Encuentre las medias de estas dos muestras y 1
determine su media ponderada, usando como
valen a la misma constante;
(b) la suma de los n, valores equivale a n.
* 10.27 Se debe tomar una muestra de tamaño n ;;:' 100 de
blación consistente en dos estratos para los cuales
10,000, N2 = 30,000, u, = 45, u2 = 60. ¿Qué tan e-
tiene que ser una muestra que se debe tomar de ca:fa
de los dos estratos para lograr una distribución ó ,Jnn
*10.28 Se debe tomar una muestra de tamaño n = 84 de •
blación que consta de tres estratos para los cuales
5,000, N2 = 2,000, N3 = 3,000, cr1 ~ 15, cr2=18 y
¿Cuán grande debe ser una muestra que se debe t
cada uno de los tres estratos para lograr una distri
óptima?
*10.29 Para estimar la media de una población con base
muestra estratificada calculamos la media ponde
las medias :X1, x2 y x* obtenidas para los k estratos. .1,
do como valores relativos los tamaños de los estra
Verifique que para la distribución proporcional, la
ponderada obtenida de esta manera equivale a la m 1rn
los valores obtenidos para todos los estratos.
*10.30 Los registros de una compañía de seguros contra a 11
tes demuestran que entre 3,800 reclamaciones pres...
das a la compañía en un periodo de tiempo, 2,600 ·~
reclamaciones menores (de menos de $200), en lar.".
las otras 1,200 fueron reclamaciones mayores (S'.:!
más). Para estimar el tamaño promedio de estas r
ciones, la compañía toma una muestra del 1 %,dis
proporcionalmente entre los dos estratos, con los
dos siguientes (redondeando al dólar más cercano
n;
(a) con esta fórmula, todas las cantidades
s»,
para i = 1, 2,... y k, donde, si es necesario, redon
al entero más próximo. Verifique que
Los tamaños muestrales de esta clase de distribu - 1D1,
nocida como distribución óptima o distribu:á~n
Neyman (en honor de su inventor) se obtienen porin
de la fórmula
n· Nsa¡
n.=~~~~~~~~~~~1
N1cr1 + N2cr2 + ... + Nkcrk
254 CAP. 10 / MUESTREO Y DISTRJBUCIONES DE MUESTREO
*10.25 En relación con el ejercicio 10.19, mencione todas las
muestras de conglomerado de tamaño 2 quése pueden to-
mar seleccionando aleatoriamente sea a dos de las tres
mujeres o a dos de los tres hombres, calcule sus medias y
determine la probabilidad de que la media de dichas
muestras difiera por más de 5 de 160, el peso medio real
de las seis personas. Si comparamos esta probabilidad
con las que obtuvimos en las partes (a) y (b) del ejercicio
10.19, ¿qué nos sugiere esto acerca de los méritos relati-
vos del muestreo aleatorio simple, el muestreo estratifica-
do y el muestreo de conglomerados en la situación referida?
*10.26 En el muestreo estratificado con distribución proporcio-
nal, la importancia de las diferencias del tamaño del estra-
to se toma en cuenta haciendo que el estrato más grande
aporte relativamente más elementos a la muestra. Sin em-
bargo, los estratos difieren no sólo en tamaño, sino tam-
bién en variabilidad y parecería lógico tomar muestras
más grandes de estratos más variables y muestras más pe-
queñas de estratos menos variables. Si cr1, 02 y º" repre-
sentan las desviaciones estándar de los k estratos, pode-
mos explicar tanto las diferencias del tamaño de los estra-
tos como las diferencias de la variabilidad de los mismos,
requiriendo que
mnn lm nnun!j!mmnu. :..;,; smerará enteros para los n¡ valores.
: 11111n1111111n11¡¡;1& •11m11e .w , Iación con k = 3 estratos tiene los ta-
11mnw1H1111H " = ~ -·, '2 = 20, N3 = 18 y que deseamos tomar
1mm1w mn11u1~' ce tamaño n = 12.
fórmula para la distribución proporcional,
ndeando los nt valores al entero más próximo y
muestre qué los tamaños de la muestra resultan-
tes suman 11.
(D) Revise los resultados de la parte (a) para hacer que
el tamaño de la media total equivalga a 12 incre-
mentando el valor den; para el cual la décima parte
de N¡ · n es mayor. Entonces, dé los valores de las
N
razones N; /nt.
(e) Revise los resultados de la parte (a) para hacer que
el tamaño de la media total equivalga a 12 incre-
mentando el valor den; para el cual la razón N;/n; es
mayor. Entonces, dé los valores de las razonesN;/n;.
Los valores que se presentan en este ejercicio son
precisamente los del cálculo de los números de
asientos que se designan a cada uno de los estados
en la Cámara de Representantes de Estados Unidos.
Las razones N;/n; corresponden al número de perso-
nas que cada congresista representa. Véase la lista
de referencias al final de este capítulo.

15. SEC. I - 255
y sus medias son 4, 5, 6, 7, 6, 7, 8, 8, 9 y 10. Ya que cadam
de· /0, por tanto, obtenemos la siguiente distribucié
muestra aleatoria de tamaño n = 2 de la población de re:;,,,~::!l.."'L,:TIL
3y9
7y9
5y7
9yl
3 y 11
7 y 11
3y7
5 y 11
3y5
5y9
Ahora, si tomamos una muestra aleatoria de tamaño n = 2 de esta pob
G) = 10 posibilidades
=J8
(J = J(3 - 7)2 + (5 - 7)2 + (7 - 7)2 + (9 - 7)2 + (11 - 7)2
. 5
y su desviación estándar es
µ=3+5+7+9+11=7
5
Presentemos ahora el concepto de la distribución muestral de una estadística, e
zá es el concepto más básico de la inferencia estadística. Como veremos, este co ce
se relaciona estrechamente con la idea de la variación de la probabilidad o las flu ma-
ciones de la probabilidad, que hemos mencionado para enfatizar la necesidad de la me-
dida de la variabilidad de los datos. En este capítulo nos concentraremos principalmen-
te en la media de la muestra y en su distribución muestra!, pero en algunos ejercicios de
la página 269 y en capítulos posteriores consideraremos también las distribuciones
muestrales de otros estadísticos.
Para ilustrar el concepto de una distribución muestra!, elaboremos la de la media
de una muestra aleatoria de tamaño n = 2 tomada sin reemplazo de la población fi-
nita de tamaño N = 5, cuyos elementos son los números 3, 5, 7, 9 y 11. La media de esta
población es
10.6
DISTRIBUCIONES MUESTRALES
la media de los datos de la muestra combinada. Si
este es el caso, se dice que la distribución propor-
cional es autoponderable.
res relativos los tamaños de los dos estratos, N1 =
2,600 y N2 = 1,200.
(b) Verifique que el resultado de la parte (a) equivale a

16. Ol
01T
Ol
6T
Ol
8y
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lz~
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ind su¡ cp pepnrqaqord cp U9!:lnq!llS!P aun cp UZUR!JUA u¡ f. mpotu u¡ op S::lUO!:J!U!J;)P
1 URS0 "[RU!¡j!JO uoroejqod R{ op SO{ Á SOJl;:Jlli?JRd SOlS::l anuo lR!:lU;:JJ;:JJ!PUJRd U;:JAJ!S
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':s::inw uoronqursrp u1s;:i op U:)J;:J:)U l!W ¡uuo!:l!PU uoroauuojtn rouaiqo opond ;:is
·1011;:-i onsonu ap oyuwu1 ::i¡q!sod ¡::ip u;:ip! uun¡j¡u ap sou 1op;:i1uu
1w•• unpoocrd [::l 'z =u OlJBWUl ;:ip U!lOlU::l(U ansanur sun ::ip B!P::lill U[. UO:) upuwps::i SOUJ
·~ sinb Á upu;:iJ::lj::ll op uotonjqod U[ ::ip U!P::llli U[ SOlUUl?!:lOUO:) ou ¡s '01uu110d . ºs1 ::ip
: ap sem rod 'L = ri 'u9pu¡qod u¡ ap U!p::iw u¡ op Ul::l!J!P ou ansonur aun cp U!p::iw u¡
• :JP pup!f!quqo1d Uf '6 o 8 'L '9 '5; = ! arad 'oursnu ¡sy · 091
;:ip s::i I ap syw 10d 'L =
:e¡qod u¡ ::ip B!p::iw u¡ ap u1::i!J!p ou snsonur aun op B!p::iw u¡ onb op pupmquqo1d u¡
L '9 = ! nrad onb sourox '01dw::if::i JOd ·z oyuwu¡ ;:ip U!101u;:i¡u ansonur aun ua ossq
rouorojar cp u9!::>u¡qod u¡ cp ntpour ur op uoroeurnso u¡ op auiojqord ¡;:i uoo epauoro
11:#, 'dlU;)U!}J;:Jd uotouuuojut Ull;)!::l lldA;)l {UJlS;:JnUJ uoronqtnsrp UlS'd op S!S!:?UU UO
031US3I1H 30 S3NOD08111lSIU A 03!1lS3llW / Ol ·¿y:) 9SZ

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01 ·OI + OI .6 ...!L 0J .g + OI ·l + OI _9 + OI ·~ + OI ·V= Erf
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....,,...... '."l<l...,.&DIJ eun op .,., optoamd oiuaisaq so puau;:ig uonad p 'oq;,;:iq op
:ma~l !. eJ!ll?lll!S onraisaq s;:i onb .noop soumppod 'U9!JOq!JlS!P
• ::ip_dsou;:is !s ·s;:i1o¡eA soiso reorpur opond ou SOA!l!SOd scroiua SI
!;"0!; 'so sojqrsodun sorojex so¡ uos osejo e¡ op sauotounun¡ se¡
•r-;;•~··~lln(''.."ll:ll(:)S os onb •··-'S'SZ:l 'S°Sl 'S'SZ ose¡o t?J op ssoreur su¡ UOJ U9!:l
~qiD'.!.:::mrn seipotu se¡ e¡u;:is;ud-U?!qUieJ. '6'(9 s;:i 1epU?JSa uoromxsap
w uato SB( op serpaur SB( ap B!PªlU tl( anb t?J!PU! sou a¡uerapu
- 5alt!;}j sansanui SU( tlJ!PU! ou U9!SaJdlU! tll '(89Z: tlU!'Byd tl( op
•,;¡r1~:~E?¡;)Sl??A) 68Z: = o !. s·oos = rf uos U9!:lt?¡qodBI ;:ip Jt?PU!?}SaU9!J
semanuooua 'U9!SaJdUI! e¡ op .rouodns oirad er ap e:>J;l;:)
';llll;:!!Og!S
Sd}Ul? eropmnduroo e¡ rod epeze¡dUI;:i;:i1 'JSe oproop rod •s;:i ¡u101 un
_ UIB1 ap eJJS;:!OUI apeo nred ozmduroar U!S evp;:ip os O;:!l}S;:!OUI p onb
".! ap U9!:lnq!J1S!P Bf aiuaurepanoapa oquosop as !. sansornu se¡ op
1e:i as 'ooo 1 '¡ e I op soroiua so¡ op msuoo onb eJ!U!J uoioajqod e¡
~ =u ouaunn op sepo1na1u sansonur uaro umuoi as onb l?f ua aropamd
_s:eun op sopannsor so1e1uasa1d8)Z: eu!ílyd e1 op f'OI emíly e1
·e!Jua1ap1 op
l ¡;;ip sepo¡ea¡e sansomu ured nrpctu e¡ op 1u;;i1 ¡e11sanUI uoronqui
-"IP.!:':" T." ;¡¡i¡:;: •' ~::i sa¡ed!:lU!ld ser ;:ip seung¡e !. ¡e1;;iuag eUIJOJ er orqos eap! e11ap
:51"::[ ~lll Stl!lBA ;;ip satpour SBlS;l op U9!:>nqµJS!P BI equosop !. smpour sns
ªJa.I ep U9!JB{qod BUn ep sapuedai SB!JOltl;){l~ StlJJSanUI ouroi BJOPBl
Iefa-p onb sourcuoi •s1uqe¡ed sru:io UH. ·e.rnpB'}ndwo:> .rnd u9pernw!s
':tlllClll:::J::!l>4PP apmuíl Bl!U!J u9pe1qoo eun ~ a~ s~m opom ouoro u;;i anscnur
ap oansontn ¡ap ll9!:lBq!fJS!I) :uqos llr.)P! mm .1aua¡ arad 'JSV
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=N l., m = u arad 'ordwaf;:i lOd 'sop
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J::l::!'Gl[l,S:Jamd oporour oursnn ra rasn I!:lJJ
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