1. MATEMATICAS
FINANCIERAS
TECNICAS FINANCIERAS CUANTITATIVAS
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
1

2. MATEMATICAS
FINANCIERAS
 Las
Matemáticas Financieras o Ingeniería
Económica
tienen
como
objetivo
fundamental el estudio y análisis de todas
aquellas operaciones y planteamientos en
los cuales intervienen las magnitudes de:
Capital, Interés, Tiempo y Tasa.
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
2

3. MATEMATICAS
FINANCIERAS
 La
Matemática Financiera la podemos
asociar con dos símbolos es decir el de los
números (#) y el de los pesos ($), ya, que
cuando hablamos de Matemáticas
automáticamente hacemos relación con los
números; y cuando hablamos de Finanzas lo
relacionamos con el signo pesos; de allí la
asociación.
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
3

4. MATEMATICAS
FINANCIERAS
Variables financieras:
Capital
Tiempo
Tasa
Interés
Cuota
Monto
C
t
i
I
R
M
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
4

5. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
 NUNCA
SE DEBEN
SUMAR VALORES
EN FECHAS
DIFERENTES
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
5

6. INTERES
 ES
LO QUE SE
PAGA O SE RECIBE
POR CIERTA
CANTIDAD DE
DINERO TOMADA
O DADA EN
PRESTAMO
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
6

7. INTERES SIMPLE
Es
aquel interes
que se genera
sobre un capital
que permanece
constante en el
tiempo.
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
7

8. INTERES SIMPLE
Formula general de la tasa de interés:
i=I/C
Si condicionamos esta formula a la
expresión de unidades de tiempo se obtiene
la siguiente ecuación:
I=i.C.t
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
8

9. INTERES SIMPLE
Clasificación del interés simple:
 Interés simple comercial en forma ordinaria
 Interés simple comercial en forma exacta
 Interés simple exacto en forma comercial
 Interes simple exacto en forma ordinaria
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
9

10. INTERES SIMPLE
Clasificación del interés simple
Interés simple comercial:
360 días al año, 180 días al semestre, 90 días al
trimestre, 30 días al mes
Interés simple exacto:
365 días al año
Tabla o calculadora para las demás equivalencias
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
10

11. INTERES SIMPLE
Valor futuro a interés simple:
Tambien conocido como monto. Se deduce
de la suma entre el capital y los intereses
que se generan durante determinado período
de tiempo
M=C+I
M = C + ( i . C . t ), luego por factorización
M=C(1+i.t)
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
11

12. INTERES SIMPLE
Conceptode Equivalencia Financiera:
Es la relación de igualdad que se establece
entre una o unas deudas y uno o unos
pagos en un momento determinado en el
tiempo denominado fecha focal (momento
de la negociación)
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
12

13. INTERES SIMPLE
Equidad entre el tiempo y la tasa:
 - La tasa y el tiempo siempre deben ir
expresadas en la misma unidad de base.
- La tasa es la que condiciona la expresión
del tiempo.
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
13

14. INTERES SIMPLE
Series uniformes a interés simple:
Series vencidas:
Valor presente
0
1
2
Valor futuro
Valor presente
Series anticipadas
Valor presente
Valor futuro
0
1
2
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
Valor presente
Valor futuro
3
4
5
6
Valor futuro
3
4
5
6
14

15. INTERES COMPUESTO
Concepto:
Es el interés que se genera
sobre intereses.
Los intereses que se
generan en el primer
período de capitalización
se convierten en capirtal
para generar mas intereses
para el segundo periódo
de capitalización y así
sucesivamente.
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
15

16. INTERES COMPUESTO
Comparativo entre el interés simple y el
interés compuesto
Capital
Tasa
Tiempo
Periodo
en años
0
1
2
3
4
5
$ 100.000
10% Anual
5 Años
Interés simple
Monto
Interes
Int. Acumul.
0
0
110.000
10.000
10.000
120.000
10.000
20.000
130.000
10.000
30.000
140.000
10.000
40.000
150.000
10.000
50.000
Interés compuesto
Diferencia
Monto
Interes
Int. Acumul. en intereses
0
0
0
110.000
10.000
10.000
0
121.000
11.000
21.000
1.000
133.100
12.100
33.100
3.100
146.410
13.310
46.410
6.410
161.051
14.641
61.051
11.051
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
16

17. INTERES COMPUESTO
Comparativo entre el interés simple y el
interés compuesto
Periodo
en años
0
0,5
1
2
3
4
5
Int. Sim.
Monto
105.000
110.000
120.000
130.000
140.000
150.000
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
Int. Com.
Monto
104.881
110.000
121.000
133.100
146.410
161.051
17

18. INTERES COMPUESTO
FORMULA GENERAL
t
M=C(1+i)
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
18

19. INTERES COMPUESTO
EXCEL
 Capital
o valor presente: VA
 Tasa:
TASA
 Monto o valor futuro:
VF
 Tiempo:
NPER
 Cuota:
PAGO
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
19

20. INTERES COMPUESTO
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
20

21. INTERES COMPUESTO
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
21

22. INTERES COMPUESTO
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
22

23. INTERES COMPUESTO
0
1
2
3
4.0
00
5.0
00
Regla comercial:
4
5
6
7
8
x
9
10
11
12
fecha
10
.00
0
focal
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
23

24. INTERES COMPUESTO
0
1
2
3
4.0
00
5.0
00
Regla de saldos insolutos:
4
5
6
7
8
x
9
10
11
12
fecha
10
.00
0
focal
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
24

25. INTERES COMPUESTO
TASAS:
TASA NOMIAL
TASA EFECTIVA
TASAS EQUIVALENTES
TASAS ANTICIPADAS
TASAS VENCIDAS
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
25

26. INTERES COMPUESTO
Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia:
MANUAL DE INGENIERÍA ECONÓMICA
CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS
SIMULADOR
Para obtener la tasa efectiva
Tasa nominal
Periodicidad
Modalidad
Para obtener la tasa nominal
Tasa efectiva
Periodicidad
Modalidad
Tasa efectiva
0,0000% Tasa nominal
Periodicidad:
Anual
Semestral
Cuatrimestral
Trimestral
Bimestral
Mensual
Diaria
0,0000%
Modalidad
A
S
C
T
B
M
D
Vencida
V
Anticipada
A
Preparado por: Rodolfo Enrique Sosa Gómez
Peguntas o comentarios:
e-mail: rodolfososa83@hotmail.com
Teléfonos: (5)4307551 Cel: (315) 722 7258
Condominio Cañaveral Casa 135. Santa Marta.
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
26

27. INTERES COMPUESTO
Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia:
MANUAL DE INGENIERIA ECONOMICA
TABLA DE CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS
POR: RODOLFO SOSA GÓMEZ
O R I G E N
CONOCIENDO
PERIODICA
. m
D E S T I N O
T A S A:
PARA
m
J
1+
LA
T A S A:
NOMINAL VENCIDA
PERIODICA
1/m
J=
-1
i E.A.
1+
-1
.m
m
i E.A.
NOMINAL ANTICIPADA
1-
J
=
1/m
m
1+
ip
NOMINAL ANTICIPADA
m
J
i E.A. =
OBTENER
EFECTIVA ANUAL
NOMINAL VENCIDA
i E.A. =
J= ip
LA
-1
1+
J
J
m
-1
E.A.
1/ m
1+
COMPLEMENTOS:
i
=
1+
i E.A.
. m
-1
Tasa de Interés Continua
iE.A. ó i p = Tasa efectiva o periódica / 100
J = Tasa nominal% / 100
m = Número de periodos contenidos en un año
e = 2,71828182846
i E.A.= e
J
- 1
i VENCIDA =
i ANTICIPADA
1-
i ANTICIPADA
i VENCIDA
i ANTICIPADA =
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
1+
i VENCIDA
27

28. INTERES COMPUESTO
FORMULAS
MANUAL DE INGENIERIA ECONÓMICA B = Saldo insoluto
Pc = Precio de contado
FORMULAS FINANCIERAS:
Ci = Cuota inicial
Rodolfo Sosa Gómez
C = Capital o Valor Presente
M = Monto o Valor Futuro
I = Interés
i = Tasa de interés
t = Tiempo: número de períodos, pagos o cuotas
m = Periódos contenidos en un año
R = Valor del pago o cuota
I
2 M=C+I
C
3 I = i.C.t
R.B.C. = Relación Beneficio Costo
T.I.R. = Tasa Interna de Retorno
i = Rentabilidad Real
r
R1 = Valor de la primera cuota
g = gradiente en $ o %
V.P.N. = Valor Presente Neto
V.P.I. = Valor Presente de los Ingresos
V.P.E. = Valor Presente de los Egresos
V.P.Eq. = Valor Periódico Equivalente
I.P.Eq. = Ingreso Periódico Equivalente
INTERÉS SIMPLE:
1 i=
C.P.Eq. = Costo Periódico Equivalente
4 M=C(1+i.t)
SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES SIMPLE
F = Inflación
D = Devaluación
E = Tasa Extrangera
i = Tasa Total
T
VENTAS A PLAZOS:
2.m.I
5i=
B ( t + 1 ) - I ( t - 1)
6 I=(R.t)-B
SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES SIMPLE
2t + ti . ( t - 1 )
2t + ti . ( t + 1 )
R.
R.
2t + ti . ( t - 1 )
2
8M= R.
2t + ti . ( t + 1 )
9 C=
11 C =
( 1 + ti )
INTERÉS COMPUESTO
t
-t
12 M = C ( 1 + i ) 13 C = M ( 1 + i )
2
10 M = R .
2
7 B = Pc - Ci
2
Ln ( M / C )
14 t =
Log ( M / C )
15
t=
Ln ( 1 + i )
SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES COMPUESTO
t
- t
(1+i) -1
1-(1+i)
17
M= R
18
C= R
i
i
( 1 + ti )
16
1/t
i=(M/C) - 1
Log ( 1 + i )
R
19
Perpetuidad: C =
i
SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES COMPUESTO
t
- t
(1+i) -1
1-(1+i)
20
M= R
( 1 + i ) 21
C= R
i
i
R
(1+i)
22
Perpetuidad: C = R +
i
También puede ser:
t+1
(1+i)
23
M= R
-(t-1)
-1
1-(1+i)
-1
i
24
C= R
1+
i
GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO CRECIENTE Y DECRECIENTE
Cálculo de la cuota uniforme:
Infinito:
1
t
R1
g
25
R = R1 + / - g .
26
C=
+
2
t
i
i
i
(1+i) - 1
Cálculo de una cuota:
27 Cuota
t
= R1 + / - ( ( t - 1 ) . g )
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
28

29. INTERES COMPUESTO
FORMULAS
GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL CRECIENTE
Si g es diferente de i:
t
t
t
-t
(1+i)-(1+g)
R1. ( 1 + g ) . ( 1 + i ) - 1
28
C = R1.
29
C=
t
g-i
(i-g).(1+i)
t
t
(1+i)-(1+g)
31
M = R1.
t
( 1 + i ) 32
R1.
Si g es igual a i:
R1. t
30
C=
1+i
t
t
(1+g)-(1+ i)
t-1
M=
33
t
M = R1 . t . ( 1 + i )
g-i
(i-g).(1+i)
Infinito, si i es mayor que g:
R1
34
C=
i-g
Cálculo de una cuota en gradientes geómetricos o exponenciales, crecientes y decrecientes:
t-1
35
Cuota
= R1 . ( 1 + / - g )
t
GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL DECRECIENTE
t
t
t
t
(1+i)-(1-g)
(1+ i)-(1-g)
36
C = R1.
37
M = R1.
t
(i+g)
(i+ g).(1+i)
EVALUACIÓN DE PROYECTOS:
V.P.N.
38
T.M.A.R. = T.I.O. + Spreads 39
V.P.N. = V.P.I. - V.P.E.
40
V.P.Eq. =
- t
1-(1+ i)
V.P.I.
41
V.P.E.
I.P.Eq. =
42
C.P.Eq. =
i
- t
1-(1+i)
- t
1-(1+ i)
i
i
43
44
T.I.R. =
i
2
-
Rentabilidad real:
i - F
46
i =
r
1 + F
V.P.N. . ( i
- i )
2
2
1
V.P.N.
2
- V.P.N.
45
T.I.R. =
1
R.B.C. = V.P.I. / V.P.E.
Resultado ideal: R.B.C. > 1
V.P.N. . ( i
- i )
1
2
1
i +
1
2
V.P.N.
- V.P.N.
1
2
Rentabilidad en moneda extranjera:
Suma de tasas efectivas:
47
48
i =
r
( 1 + i.D ) . ( 1 + i.E) - 1
Nota:
i Para V.P.N. > 0
1
2
1
i
2
Para V.P.N. < 0
2
i >
2
Resta de tasas efectivas:
1 + i
1
i =
1
T
1+ i
2
i = ( 1 + i ) . (1 + i ) - 1 49
1
2
T
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
i
1
Nota:
i >i
1 2
29

30. INTERES COMPUESTO
INFLACION - I.P.C.
DEVALUACION
TASAS COMBINADAS
TASAS DEFLACTADAS
D.T.F.
T.C.C.
T.B.S.
LIBOR
PRIME RATE
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
TMAR = T.I.O + Spreads
30

31. ANUALIDADES
VENCIDAS
ANTICIPADAS
PERPETUAS
DIFERIDAS
PERPETUAS DIFERIDAS
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
31

32. ANUALIDADES
Anualidad de 10 periodos ( forma anticipada )
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
5
6
7
8
9
10
10
10
10
10
32
Anualidad de 10 periodos ( forma vencida )
0
1
2
3
10
10
10
4
10
10
10
Rodolfo Enrique Sosa Gómez

33. Anualidad de 5 periodos
0
1
2
ANUALIDADES
3
10
4
5
10
6
7
10
8
9
10
10
10
Anualidad diferida
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
10
10
10
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
10
10
10
33

34. ANUALIDADES
Anualidad perpetua
0
1
2
3
4
5
10
10
10
10
10
3
4
5
Anualidad perpetua diferida
0
1
2
6
7
8
10
10
10
10
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
10
34

35. ANUALIDADES
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
35

36. ANUALIDADES
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
36

37. ANUALIDADES
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
37

38. GRADIENTES
LINEALES O ARITMETICAS:
CRECIENTES Y DECRECIENTES
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
CALCULO DE CUOTA
GRADIENTE DIFERIDA
GRADIENTE PERPETUA
GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
38

39. GRADIENTES
EXPONENCIALES O GEOMETRICAS
CRECIENTES Y DECRECIENTES
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
CALCULO DE CUOTA
GRADIENTE DIFERIDA
GRADIENTE PERPETUA
GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
39

40. GRADIENTES
Gradiente lineal creciente
1600
1400
1200
1000
0
1
2
3
4
Gradiente lineal decreciente
1000
950
900
850
0
1
2
3
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
4
40

41. GRADIENTES
Gradiente exponencial creciente
1.331,00
1.210,00
1.100,00
1.000,00
0
1
2
3
4
Gradiente exponencial decreciente
1000
950
902,5
857,38
0
1
2
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
3
4
41

42. GRADIENTES
GRADIENTE LINEAL O ARITMETICO
CRECIENTE
R1 (1ra Cuota)
g (Gradiente en $)
i % (Tasa)
n (Tiempo)
Ru (Cuota Uniforme)
V.F. ( Monto )
V.P. ( Capital )
CUOTA No.
VALOR
INFINITO
DECRECIENTE
#¡DIV/0!
0,00
0,00
24
0,00
0,00
R1 (1ra Cuota)
g (Gradiente en $)
i % (Tasa)
n (Tiempo)
Ru (Cuota Uniforme)
V.F. ( Monto )
V.P. ( Capital )
CUOTA No.
VALOR
x
x
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
0,00
GRADIENTE EXPONENCIAL O GEOMETRICO
CRECIENTE
R1 (1ra Cuota)
g (Gradiente en %)
i % (Tasa)
n (Tiempo)
V.F. ( Monto ) Si i dif.g
V.P. ( Capital ) Si i dif.g
V.F. ( Monto ) Si i = g
V.P. ( Capital ) Si i = g
CUOTA No.
VALOR
INFINITO Si i > g
Rodolfo
DECRECIENTE
R1 (1ra Cuota)
g (Gradiente en %)
i % (Tasa)
n (Tiempo)
0,00 V.F. ( Monto ) Si i dif.g
0,00 V.P. ( Capital ) Si i dif.g
0,00
0,00
CUOTA No.
0,00 VALOR
Enrique Sosa Gómez
0,00
0,00
0,00
0,00
42

43. EVALUACIONES
FINANCIERAS
FLUJO DE CAJA
FLUJO DE CAJA NETO
V.P.N.
T.I.R.
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
43

44. U.V.R.
t/d
UVRt = UVR 15 * ( 1 + i )
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
44

45. U.V.R.
Procedimiento para el calculo de la U.V.R.
Del 31 de Julio al 5 de Agosto:
El DANE pública los resultados de la inflación del mes de
Julio de 2002
Del 6 de Agosto al 15 de Agosto:
El Banco de la Republica le informa los valores de la UVR
que regirán entre el 16 de Agosto y el 15 de Septiembre.
El sistema financiero actualiza sus bases de datos
15 de Agosto:
U.V.R. $127,7596: Valor ya calculado del mes anterior
Del 16 de Agosto al 15 de Septiembre:
Nuevos valores de la U.V.R. Que aplican entre el
16 de Agosto y el 15 de Septiembre
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
45

46. U.V.R.
- UVR t = Valor de la moneda legal colombiana de la UVR
Del día t del período de calculo.
-UVR 15 = Valor de la moneda legal colombiana de la UVR
el día 15 de cada mes.
- i = Variación mensual del IPC durante el mes calendario
inmediatamente anterior al mes de inicio del período de calculo
-t = Número de días calendario transcurridos desde el inicio
de un período de calculo hasta el día de calculo de la UVR.
Por lo tanto, t tendrá valores entre 1 y 31 de acuerdo con el
número de días calendario del respectivo período de calculo.
- d = Número de días calendario del respectivo período de calculo
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
46

47. U.V.R.
DATOS
VALOR DE LA UVR
FECHA DE REGISTRO
TASA DE INFLACION
TASA DE INFLACION MENSUAL
TASA DE INTERES E.A.
TASA DE INTERES MENSUAL
VALOR PRESTAMO O DEUDA
TIEMPO EN AÑOS
TIEMPO EN MESES
PERI
ODO
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
PAGO
FECHA
16-Nov-02
16-Dic-02
15-Ene-03
14-Feb-03
16-Mar-03
15-Abr-03
15-May-03
14-Jun-03
14-Jul-03
13-Ago-03
12-Sep-03
12-Oct-03
11-Nov-03
11-Dic-03
10-Ene-04
9-Feb-04
VALOR UVR
127,9002
128,5228
129,1484
129,7770
130,4087
131,0435
131,6813
132,3223
132,9664
133,6136
134,2640
134,9175
135,5742
136,2341
136,8973
137,5636
VALORES
127,9002
16-Nov-02
6,00%
0,49%
12,00%
0,95%
23.000.000
15
180
TABLA DE AMORTIZACION EN U.V.R.
CUOTA EN
ABONO A
INTERESES
CAPITAL EN
UVR
UVR
EN UVR
2.087,7769
2.087,7769
2.087,7769
2.087,7769
2.087,7769
2.087,7769
2.087,7769
2.087,7769
2.087,7769
2.087,7769
2.087,7769
2.087,7769
2.087,7769
2.087,7769
2.087,7769
RESUMEN DEL CREDITO
VECES QUE SE PAGO EL CREDITO
SALDO EN PESOS MAS ALTO
MES EN EL QUE SE OBTUVO EL SALDO + ALTO
FECHA DEL SALDO MAS ALTO
INTERESES PAGADOS
CAPITAL PAGADO
TOTAL PAGADO
SALDO EN UVR
381,4290
1.706,3479
385,0483
1.702,7286
388,7020
1.699,0750
392,3903
1.695,3866
396,1136
1.691,6633
399,8722
1.687,9047
403,6666
1.684,1104
407,4969
1.680,2801
411,3635
1.676,4134
415,2669
1.672,5101
419,2072
1.668,5697
423,1850
1.664,5919
427,2005
1.660,5764
431,2541
1.656,5228
435,3462
1.652,4307
Rodolfo Enrique
179.827,7094
179.446,2804
179.061,2320
178.672,5300
178.280,1397
177.884,0261
177.484,1539
177.080,4873
176.672,9905
176.261,6270
175.846,3601
175.427,1529
175.003,9678
174.576,7673
174.145,5132
173.710,1670
Sosa Gómez
3,35
25.561.151,08
66
18-Abr-08
35.740.735,91
41.245.432,84
76.986.168,74
TABLA DE AMORTIZACION EN PESOS
ABONO A
INTERESES EN
SALDO EN
CAPITAL EN
PESOS
PESOS
PESOS
PESOS
0,00
0,00
0,00 23.000.000,00
268.326,86
49.022,31
219.304,54 23.062.931,35
269.632,95
49.728,36
219.904,59 23.125.462,98
270.945,40
50.444,57
220.500,83 23.187.582,76
272.264,24
51.171,10
221.093,14 23.249.278,39
273.589,50
51.908,10
221.681,41 23.310.537,33
274.921,21
52.655,70
222.265,51 23.371.346,85
276.259,41
53.414,08
222.845,33 23.431.693,98
277.604,11
54.183,38
223.420,74 23.491.565,56
278.955,37
54.963,75
223.991,61 23.550.948,19
280.313,19
55.755,37
224.557,82 23.609.828,25
281.677,63
56.558,39
225.119,24 23.668.191,89
283.048,71
57.372,97
225.675,74 23.726.025,04
284.426,47
58.199,29
226.227,18 23.783.313,37
285.810,93
59.037,51
226.773,42 23.840.042,35
287.202,13
59.887,80
227.314,33 23.896.197,16
47
CUOTA EN

48. U.V.R.
Curva de Amortización de Créditos Hipotecarios
30.000.000
25.000.000
20.000.000
15.000.000
$
10.000.000
5.000.000
0
-5.000.000
Periodos (Cuotas mensuales)
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
48

49. MATEMATICAS FINANCIERAS
TECNICAS FINANCIERAS CUANTITATIVAS
FIN DE LA PRESENTACION
RODOLFO SOSA GOMEZ
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
49