Matematica Financiera

1. “Año del Buen Servicio al Ciudadano”
Tema:
Regímenes Financieros
Elaborado por:
TORRES ALEGRE ALFREDO GONZALO

2. Dedicatoria:
A mis padres, a mi hermano,
Tabla decontenido
RegímenesFinancieros
Definición ............................................................................................................................1
RégimenFinancierode Interés Simple Vencido......................................................................1
Ejemplos
RégimenFinancierode Interés Simple Anticipado.................................................................5
Ejemplos
Régimen Financiero de Interés Compuesto ............................................................................8
Ejemplo............................................................................................................................. 10
Bibliografía

3. REGÍMENES FINANCIEROS
El dinero tiene un valor temporal. Es decir, su precio debe
considerarse siempre asociado a una fecha. Dos capitales distintos
en momentos distintos pueden tener el mismo valor para una
persona. Se dice entonces que, aunque, no sean iguales, esos
capitales son equivalentes.
Matemáticamente siempre es posible hallar un tipo de interés que
convierta en equivalentes dos capitales diferentes en fechas
distintas.
Como ya se a indicado el precio que hay que pagar por el
diferenciamiento se llama tipo de interés, régimen financiero o
equivalencia financiera.
1.Definicion:
Un régimen financiero es la expresiónformal del conjunto de pactos
o acuerdos que rigen una operación de financiación en el mercado
financiero. Estos acuerdos hacen referencia al precio, a la cuantía
sobre la que se calcula el precio y al momento de pago.
A continuación, se presentan los principales regímenes
financieros que ayudaran a calcular los capitales financieros
equivalentes en cualquier momento del tiempo:
1.1. REGIMEN FINANCIERO DE INTERES SIMPLE
VENCIDO
Los pactos que caracterizan al régimen financiero de interés simple
vencido son:
a. El precio o interés total se paga al final de la operación
conjuntamente con la devolución de la cuantía inicial.
b. El precio o interés total es proporcional a la cuantía inicial y al plazo
de la operación y se calcula en base a una constante de
proporcionalidad, i, que es el tanto nominal de interés.
Sea:
• C : Cuantía inicial

4. • C′ : Cuantía final
• Y : Interés total
• i : Tanto nominal de interés (tanto anual).
• t=T’-T : Plazo de la operación, expresado en años.
El esquemade la operación es:
C C`=C+Y
T T’
Teniendo en cuenta los anteriores pactos resulta:
Y= i.C.t
C’= C + Y=C + i.C.t
C’=C(1+it)
El tanto nominal de interés es un precio unitario respecto a la cuantía
inicial y medio respectoal plazo, esto es, es un tanto anual, de modo
que el plazo de la operación debe expresarse en años.
La relación que caracteriza el régimen financiero de interés simple
vencido,C’=C(1+ i.t),no cumple las propiedadessimétrica y transitiva
de la equivalencia financiera. Esto tiene como consecuencia que el
factor financiero empírico que se deduce de este régimen no verifica
las propiedades de reciprocidad ni de escindibilidad que se han visto
en el capítulo anterior para el factor financiero teórico.
El factor financiero empírico que se deduce de este régimen es:
f’=f’(t)=C’/C=C(1+i.t)/C=1+i.t
Se trata de una función lineal, cuya representación gráfica es:
f*(t)
1
t

5. A partir de la expresión que caracteriza al régimen financiero de
interés simple vencido,
C′ =C(1+i.t)
se deduce:
C=C′.(1 + i. t)−1
⋅
I=
C′−C
𝐶.𝑡
El régimenfinanciero de interés simple vencido tambiénse denomina
régimen financiero de descuento matemático o racional cuando se
centra el análisis en la figura del sujeto pasivo. Las expresiones a
utilizar son las mismas, únicamente se sustituye el tanto nominal de
interés, i, por el tanto nominal de descuento, d.
Ejemplo
Calcular la cuantía final que se obtiene de una imposiciónde 12.000
€ colocados al5% anual en interés simple vencido durante 11 meses.
Los datos del ejemplo son:
• C= 12.000 €
• i = 0,05
• t = 11/12 años
El esquema de la operación es:
12.000 C’=C+Y
0 11/12 años
C′ = C + Y= C.(1+i.t)
Aplicando directamente la expresión que caracteriza al régimen
financiero de interés simple vencido se obtiene:
C’= C.(1+i.t)= 12.000.(1 + 0,05 .
11
12
)=12.550 €

6. 1.2. RÉGIMEN FINANCIERO DE INTERÉS SIMPLE ANTICIPADO
O DESCUENTO COMERCIAL
Los pactos que caracterizan el régimen financiero de descuento
comercial son:
a. El precio o descuento total se hace efectivo al inicio de la
operación.
b. El precio o descuento total es proporcional a la cuantía final y al
plazo de la operación y se calcula en base a una constante de
proporcionalidad, d, que es el tanto nominal de descuento.
Sea:
• C: Cuantía inicial, líquido o valor descontado.
• C′ : Cuantía final o nominal.
• D : Descuento total.
• d: Tanto nominal de descuento (tanto anual).
• t=T’-T: Plazo de la operación, expresado en años.
El esquema de la operación es:
C= C`-D C`
T T’
Teniendo en cuenta los anteriores pactos resulta:
D=dC’t C=C’- D=C’-dC’t
C=C’(1-dt)
El tanto nominal de descuento es un precio unitario respecto a la
cuantía final y medio respectoal plazo, esto es, es un tanto anual, de
modo que el plazo de la operación debe expresarse en años.
Igual que en el régimen financiero de interés simple vencido, la
expresión que caracteriza al régimen financiero de descuento
comercial, C=C’(1-dt), no cumple las propiedades simétrica y
transitiva de la equivalencia financiera, lo que tiene como
consecuenciaque elfactorfinanciero empíricoque se deducede este
régimen no verifica ni la propiedad de reciprocidad ni la de

7. escindibilidad del factor financiero teórico. El factor financiero
empírico del régimen de descuento comercial es:
f*(T,T’)=f*(t)=
𝐶′
𝐶
=
𝐶′
𝐶′.(1−𝑑.𝑡)
=
1
1−𝑑.𝑡
= (1 − 𝑑. 𝑡)−1
.
Esta función es una hipérbola equilátera cuya representacióngráfica
es:
f*(t)
1
t
𝑡 = 1/𝑑
Dado que el factor financiero no puede ser negativo, la aplicabilidad
de este régimen queda limitada a operaciones cuyo plazo verifique:
0 ≤ t < 1/d
A partir de la expresión que caracteriza al régimen financiero de
descuento comercial,
C=C’(1-dt)
se deduce:
C’=C. (1 − 𝑑𝑡)−1
d=
C′− C
𝐶′.𝑑
El régimen financiero de descuento comercialtambién se denomina
régimen financiero de interés simple anticipado cuando se centra el
análisis en la figura del sujeto activo. Las expresiones a utilizar son
las mismas, únicamente se sustituye el tanto nominal de descuento,
d, por el tanto nominal de interés, i .
Ejemplo
Calcular el líquido resultante deldescuento de un efecto comercialde
nominal 14.000 €, que vence dentro de nueve meses, y que se
descuenta al 6% anual en descuento comercial. Los datos del
ejemplo son:

8. • C′ =14.000 €
• d= 0,06
• t = 9/12 años 8
El esquema de la operación es:
C= C`-D 14 000
0 9/12 años
Aplicando directamente la expresión que caracteriza al régimen
financiero de descuento comercial se obtiene:
C=C'(1-d.t)=14.000(1+0,06.
9
12
)=13.370 €
1.3. RÉGIMEN FINANCIERO DE INTERÉS COMPUESTO
Los pactos que caracterizan al régimen financiero de interés
compuesto a tanto constante y vencido son:
a. El precio o interés total se paga al final de la operación
conjuntamente con la devolución de la cuantía inicial.
b. El plazo total de la operación se divide en periodos de
capitalización y el precio se calcula en cada periodo aplicando una
constante de proporcionalidad, i, que es el tanto nominal de interés,
a la cuantía acumulada al inicio del periodo considerado y a la
extensión del mismo.
Sea:
• C: Cuantía inicial
• 𝐶𝑟 : Cuantía acumulada al final delperiodo r(r=1,2,...,n) , siendo 𝐶 𝑛=
C'.
• i : Tanto nominal de interés, (tanto anual).
• t=T'-T : Plazo de la operación, expresado en años.
• p : Periodo de capitalización, expresado en años.
• m: Frecuencia de capitalización. Es el número de periodos de
capitalización en un año. Se cumple que m=1/p .

9. • n: Número de periodos de capitalización en que se divide el plazo
de la operación. Se cumple que n=t/p=m.t. El esquema temporal
correspondiente a este régimen es:
C 𝐶1 𝐶2 𝐶3 ...................................... 𝐶 𝑛−1 C’= 𝐶 𝑛
T T+p T+2p T+3p ...................................... T+(n-1)p T’=T+np
y la evolución de la cuantía periodo a periodo:
DIFERIMIENTO CUANTÍA
T C
T+p 𝐶1=C+i.C.p=C(1+i.p)
T+2p 𝐶2=𝐶1+i.𝐶1.p=𝐶(1 + i. p)2
T+3p 𝐶3=𝐶(1 + 𝑖. 𝑝)3
……………
T’=T+np 𝐶 𝑛=𝐶(1 + 𝑖. 𝑝) 𝑛
⋅La relación entre la cuantía final y la cuantía inicial en el régimen
financiero de interés compuesto a tanto constante y vencido es:
C′ = C(1 + 𝑖. 𝑝) 𝑛
⋅
o bien,
C’=C.(1 + 𝑖. 𝑝)
𝑡
𝑝=C.(1 + 𝑖. 𝑝) 𝑚.𝑡
Esta ecuación cumple todas las propiedades de la equivalencia
financiera, lo que implica que el factor financiero empírico que se
deduce de este régimen verifica a su vez todas las propiedades del
factor financiero teórico, siendo su expresión:
f*(T,T’)=f’(t)=
𝐶′
𝐶
=
𝐶.(1+𝑖.𝑝) 𝑚.𝑡
𝐶
= (1 + 𝑖. 𝑝) 𝑚.𝑡

10. Se trata de una función exponencial cuya representación gráfica es:
f*(t)
(1 + 𝑖. 𝑝) 𝑚.𝑡
1
t
A partir de la expresión que caracteriza al régimen financiero de
interés compuesto a tanto constante,
C’=C. (1 + 𝑖. 𝑝) 𝑚.𝑡
Se deduce:
C=C’(1 + 𝑖. 𝑝)−𝑚.𝑡
I=
(
𝐶′
𝐶
)
1
𝑚.𝑡⁄
−1
𝑝
t=
ln( 𝐶′
𝐶⁄ )
𝑚.ln(1+𝑖.𝑝)
Ejemplo
Se depositan 30.000 € en una cuenta durante 4 años, bajo régimen
financiero de interés compuesto a tanto constante del 3% anual
capitalizable mensualmente. Hallar el saldo final.
Los datos del ejemplo son:
• C=30.000 €
• i=0,03
• p=1/12
• t=4 años
• n=t.m=48 meses⋅
El esquema de la operación es:
C 𝐶1 𝐶2 𝐶3 ...................................... 𝐶47 C’= 𝐶48
0 1/12 2/12 3/12 .......................................... 47/12 4 años

11. Aplicando directamente la expresión que caracteriza al régimen
financiero de interés compuesto a tanto constante y vencido se
obtiene:
C’=C. (1 + 𝑖. 𝑝) 𝑚.𝑡
=30.000(1 + 0,03
1
12
)
48
=33.819,84 €
Bibliografía
 Matemática financiera y estadísticabásica: Cálculos
financieros y conocimientos estadísticosbásicos.
Xavier Brun, Oscar Elvira Benito, Oscar
 Regímenes Financieros División de Ciencias Jurídicas,
Económicas y Sociales Universidad de Barcelona