DERIVADA DE UN AFUNCION

1. 1
ATEMÁTICA
Tema: Derivada de una función compuesta.
Lic. Luis M. Rodríguez

2. Regla de la cadena
Si ℎ(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)] es derivable de 𝑓 𝑦 𝑔(𝑥) también es derivable de
“𝑥”, entonces la derivada de ℎ(𝑥) es:
ℎ`
𝑥 = 𝑓`
𝑔(𝑥) . 𝑔`
(𝑥)
Calculamos la derivada de las siguientes funciones.
𝑎. ℎ 𝑥 =
3
𝑥2 + 4𝑥 − 3
ℎ 𝑥 = 3
𝑥
𝑔 𝑥 = (𝑥2
+ 4𝑥 − 3)
ℎ 𝑥 = 𝑥2
+ 4𝑥 − 3
1
3 Reescribimos la función.
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ℎ`
𝑥 = 𝑥2
+ 4𝑥 − 3
1
3
`
. 𝑥2
+ 4𝑥 − 3 `

3. Procedemos nuevamente a aplicar las reglas básicas 0 elementales.
ℎ` 𝑥 =
1
3
𝑥2 + 4𝑥 − 3
1
3
−1
. 2𝑥 + 4 − 0
ℎ` 𝑥 =
1
3
𝑥2 + 4𝑥 − 3 −
2
3. 2𝑥 + 4
ℎ` 𝑥 =
1. (2𝑥 + 4)
3. 𝑥2 + 4𝑥 − 3
2
3
Volvemos a reescribir la
función.
ℎ`
𝑥 =
(2𝑥 + 4)
3.
3
𝑥2 + 4𝑥 − 3 2

4. TAREA A SER ENVIADA A TRAVÉS DEL
GESTOR DE TAREAS
1. Completo la siguiente tabla
𝒉 𝒙 = 𝒇 𝒈(𝒙) 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)
h 𝑥 = (5𝑥 + 8)4
h 𝑥 = 𝑥 + 1
𝑓 𝑥 = 𝑥4 𝑔 𝑥 = 5𝑥 + 8
𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1
ℎ 𝑥 = tg 𝜋𝑥2 𝑓 𝑥 = tg 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝜋𝑥2
ℎ 𝑥 = cos
5𝑥
2
𝑓 𝑥 = cos 𝑥 𝑔 𝑥 =
5𝑥
2

5. 2. Encuentro la derivada de las siguientes funciones.
𝑎) ℎ 𝑥 = (4𝑥 − 1)3
ℎ´ 𝑥 = [(4𝑥 − 1)3
]´ . 4𝑥 − 1 ´
ℎ´ 𝑥 = 3 4𝑥 − 1 3−1 . 4
ℎ´ 𝑥 = 12 4𝑥 − 1 2
𝑏) ℎ 𝑥 = 5 − 𝑥
ℎ 𝑥 = (5 − 𝑥)
1
2
ℎ´ 𝑥 = [(5 − 𝑥)
1
2]´ . 5 − 𝑥 ´
ℎ´ 𝑥 =
1
2
(5 − 𝑥)
1
2
−1
. (−1)
ℎ´ 𝑥 = −
1
2(5−𝑥)
1
2
= −
1
2 5 − 𝑥
ℎ´ 𝑥 =
1
2
(5 − 𝑥)−
1
2. (−1)

6. 𝑐) ℎ 𝑥 =
4
𝑥4 + 4
=
4
(𝑥4+4)
1
2
ℎ´ 𝑥 = 4 (𝑥4
+4)−
1
2 ´ . 𝑥4
+ 4 ´
ℎ´ 𝑥 = 4 −
1
2
(𝑥4 + 4)−
1
2
−1
. 4𝑥4−1 + 0
ℎ´ 𝑥 = −
8𝑥3
(𝑥4+4)
3
2
= 4(𝑥4
+4)−
1
2
ℎ´ 𝑥 = −8𝑥3
(𝑥4
+ 4)−
3
2
ℎ´ 𝑥 = −2 (𝑥4 + 4)−
3
2 . 4𝑥3
= −
8𝑥3
(𝑥4 + 4)3

7. 𝑑) 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 4𝑥
𝑔´ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 ´. 4𝑥 ´
𝑔´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 4𝑥 . 4
𝑔´ 𝑥 = −4 𝑠𝑒𝑛 4𝑥