1. Esmeralda Calero.
Francisco Aguirre.
Francisco Segura.
Funciones especiales y
transformación en gráficas.

2. Función inversa.
Determinar la función inversa de una
función𝒇−𝟏( 𝒙) de 𝒇( 𝒙) = 𝟓𝒙 − 𝟒
𝒚 = 𝟓𝒙 − 𝟒
−𝟓𝒙 = −𝟒 − 𝒚
𝒙 =
𝟒 − 𝒚
−𝟓
𝒙 =
−𝟒 + 𝒚
𝟓
𝒇−𝟏( 𝒙) =
−𝟒 + 𝒙
𝟓

3. Comportamiento en el plano cartesiano.
𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙 − 𝟒 Y 𝒇−𝟏
(𝒙)
𝒇−𝟏( 𝒙) Es: 𝒚 = 𝟓𝒙 − 𝟒
𝒙 =
(𝒚 + 𝟒)
𝟓
𝒇−𝟏( 𝒙) =
𝒙
𝟓
+ 𝟎. 𝟖

4. Comprobación:
𝒇( 𝒙) = 𝟓𝒙 − 𝟒
𝒇−𝟏( 𝒙) =
𝟒 + 𝒙
𝟓
𝟓 (
𝟒 + 𝒙
𝟓
) − 𝟒 =
𝟐𝟎 + 𝟓𝒙
𝟓
− 𝟒 =
𝟐𝟎 + 𝟓𝒙 − 𝟐𝟎
𝟓
= 𝒙
Concepto de la función
polinomial.
La función polinomial se forma de diversos
términos y algebraicamente contiene las siguientes
características:
𝒇( 𝒙) = 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏
+ 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙 𝒏−𝟏
+ 𝒂 𝒏−𝟐 𝒙 𝒏−𝟐
… + 𝒂 𝟎
Donde 𝒂 𝒏 , 𝒂 𝒏−𝟏 , 𝒂 𝒏−𝟐 y 𝒂 𝟎 son coeficientes de la
función.

5. 𝒂 𝒏 Es el coeficiente principal.
𝒏 Es un número entero no negativo y representa el
grado de la función.
1. Determina el grado, coeficiente principal,
nombre de la funcion y su término constante
de las siguientes funciones.
𝒇( 𝒙) = 𝟏𝟑𝒙 𝟑
+ 𝟏𝟎𝒙 𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟗
funcion Grado
de la
funcion
Coeficiente
principal
Termino
constante
Nombre
de la
funcion
𝒇( 𝒙) = 𝟏𝟑𝒙 𝟑
+ 𝟏𝟎𝒙 𝟐
3 13 0 cuadrática
𝒇( 𝒙) = 𝟏𝟎𝒙 𝟓
+ 𝟏𝟐
5 10 12 Lineal
𝒇( 𝒙) = 𝟏𝟖 0 0 18 constante
𝒇( 𝒙) = 𝟑𝒙 𝟑
+ 𝟐𝒙 𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟑 3 3 3 cubica
Dominio de la función polinomial.
Las funciones polinomiales no presentan
cocientes ni tienen raíces negativas su dominio
está dado por: D: { 𝒙є𝑹/-∞ <x<∞ }
Ceros y raíces de una función.

6. En estos casos f(x)=0 si son números reales se les
conoce como raíces de la función o ceros de la
función. Dependiendo del número de raíces se
harán el mismo número de cortes en las
intersecciones que tenga la función con el eje x.
1. Grafica las siguientes funciones:
a) 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟓 b) 𝒚 = 𝟐𝒙 𝟖
+ 𝟒𝒙 𝟒
− 𝟐
c) 𝒚 = 𝑥3
− 3𝑥2
+ 𝑥 + 1

7. La función constante.
En la expresión de:
𝒇( 𝒙) = 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏
+ 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙 𝒏−𝟏
+ 𝒂 𝒏−𝟐 𝒙 𝒏−𝟐
… + 𝒂 𝟎, todos los
coeficientes de la variable x valen cero y por tanto
tenemos que: 𝒇( 𝒙) = 𝒂 𝟎

8. 1 𝒇( 𝒙) = 𝟕 2 𝒇( 𝒙) = 𝟐. 𝟓
La función lineal.
El máximo grado de la función polinomial es igual
a 1 (n=1):
𝒇( 𝒙) = 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏
+ 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙 𝒏−𝟏
+ 𝒂 𝒏−𝟐 𝒙 𝒏−𝟐
… + 𝒂 𝟎
𝒇( 𝒙) = 𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒂 𝟎

9. Esta expresión es similar a la ecuación punto-
pendiente 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 donde el valor de 𝒎 es igual
a la pendiente y el valor de b es la ordenada al
origen. Su dominio serán todos los números
reales.
1. En la siguiente tabla se representa el número de
lápices que se producen cada segundo.
Encuentra la fórmula que genera la siguiente tabla:
Tiempo en segundas Numero de lápices
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
Tenemos que encontrar la pendiente de la tabla.
𝑷 𝟏(𝟏, 𝟐) 𝑷 𝟐(𝟐, 𝟒) 𝒎 =
𝒙 𝟐−𝒙 𝟏
𝒚 𝟐−𝒚 𝟏
𝒎 =
𝟐−𝟏
𝟒−𝟐
𝒎 =
𝟏
𝟐
Punto (1,2) 𝒙 𝟏= 1 𝒚 𝟏= 2
𝒚 − 𝒚 𝟏 = 𝒎( 𝒙 − 𝒙 𝟏) 𝒚 − 𝟐 =
𝟏
𝟐
( 𝒙 − 𝟏)
𝟏( 𝒚 − 𝟐) = 𝟐( 𝒙 − 𝟏) 𝒚 − 𝟐 = 𝟐𝒙 − 𝟐

10. 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟐 + 𝟐
𝒚 = 𝟐𝒙
𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝒃
𝟐 = 𝟐( 𝟏) + 𝒃 𝒃 = 𝟐 − 𝟐 𝒃 = 𝟎
𝒚 = 𝟐( 𝟏) = 𝟐 𝒚 = 𝟐( 𝟐) = 𝟒 𝒚 = 𝟐( 𝟑) = 𝟔
𝒚 = 𝟐( 𝟒) = 𝟖 𝒚 = 𝟐( 𝟓) = 𝟏𝟎
Grafica de una línea recta.
Para graficar una función lineal solo se necesita
encontrar el valor de la abscisa al origen (a) y el
valor de la ordenada al origen (b) para las cuales
sus coordenadas son (a, 0) y (0, b).
1. Grafica las rectas a) 𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝟏𝟐 y b) 𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎
a) Cuando 𝒙 = 𝟎 𝒚 = 𝟒( 𝟎) − 𝟏𝟐 𝒚 = −𝟏𝟐 (0, -12)
Cuando 𝒚 = 𝟎 𝟎 = 𝟒𝒙 − 𝟏𝟐 𝒙 =
𝟏𝟐
𝟒
= 𝟑 (3, 0)
b) Cuando 𝒙 = 𝟎 𝒚 = 𝟓( 𝟎) + 𝟏𝟎 𝒚 = 𝟏𝟎 (0, 10)
Cuando 𝒚 = 𝟎 𝟎 = 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 𝒙 =
𝟏𝟎
𝟓
= 𝟐 (-2, 0)

11. Función cuadrática
Forma general de la función cuadrática:
𝒇( 𝒙) = 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
Donde a, b, c son constantes y a ≠ 0.

12. La orientación de la parábola dependerá
directamente del coeficiente.
El signo del parámetro a de una ecuación
cuadrática determina hacia donde abre su gráfica,
y su magnitud determina su abertura.
- Si a es positiva, a > 0, la parábola es cóncava
hacia arriba.
- Si a es negativa, a < 0, la parábola es cóncava
hacia abajo.
El punto donde la recta corta la parábola se llama
vértice (𝒗), que es el punto donde la parábola
cambia de monotonía, es decir decreciente a
creciente si abre hacia arriba, o de creciente a
decreciente si abre hacia abajo.
Cuando la parábola abre hacia arriba, el vértice es
el valor mínimo de la parábola; cuando es cóncava
hacia abajo, el vértice representa el valor máximo.

13. 𝒇( 𝒙) = 𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟐𝟒
𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎
( 𝒙 + 𝟑)( 𝒙 − 𝟖) = 𝟎
𝒙 + 𝟑 = 𝟎 𝒙 − 𝟖 = 𝟎
𝒙 𝟏 = −𝟑 𝒙 𝟐 = 𝟖
𝒗 (
−(−𝟓)
𝟐( 𝟏)
,
𝟒( 𝟏)( 𝟐𝟒)−(𝟓) 𝟐
𝟒( 𝟏)
) = (
𝟓
𝟐
,
𝟗𝟔−𝟐𝟓
𝟒
)
𝒗( 𝟐. 𝟓, 𝟏𝟕. 𝟓)

14. DOMINIO Y RANGO DE
UNA FINCION
CUADRATICA.
El dominio de una function cuadrática incluye
todos los numeros reales, ya que no hay ningun
cociente que pueda derivar en una divicion entre
cero ni la posibilidad de que exista una raiz
negative.
El rango estara determinado por el valor de la
coordenada 𝒚 del vertice, asi como por la function,
es decir, si esta se trata de una funcion cuadrada
convoca hacia arriba o hacia abajo.
EJEMPLO:
𝒚 = −𝟑𝒙 𝟐
− 𝒙 + 𝟕
𝒗 (
−(−𝟏)
𝟐(−𝟖)
,
𝟒(−𝟑)( 𝟕) − (−𝟏) 𝟐
𝟒(−𝟒)
)

15. 𝒗(
𝟏
−𝟏𝟔
,
−𝟖𝟓
−𝟏𝟔
)
R= { 𝒚 є R / 𝒚 ≥ −
−𝟖𝟓
𝟏𝟔
}