Funciones racionales, dominio, rango, asíntotas,

1. Funciones
Racionales
Mtra. Teresa Carrillo R.

2. Conceptos preliminares
 Un numero racional es aquel que puede representarse por el
cociente de dos números enteros:
𝑎
𝑏
 Los números irracionales son los que no se pueden representar por
el cociente de dos enteros, por ejemplo, las raíces que no son
exactas y las constantes  y e.
 Una función racional está formada por el cociente de dos funciones
polinomiales, siempre y cuando
 el denominador no valga cero
 sea irreducible (no pueda factorizarse)
𝑅 𝑥 =
𝑃𝑛(𝑥)
𝑄 𝑚(𝑥)

3. Ejemplos
𝑓 𝑥 =
8𝑥 + 2
5𝑥 − 3
𝑓 𝑥 =
𝑥2
− 4
𝑥 + 2
𝑓 𝑥 =
2𝑥 − 3
𝑥 − 5
𝑓 𝑥 =
𝑥2
+ 2𝑥 − 8
𝑥 − 2

4. Dominio y rango
 El dominio de una función racional es el conjunto de todos
los valores que puede tomar x, que no den como resultado
una división entre cero.
 Para eso tenemos que resolver algebraicamente que el
denominador sea diferente de cero.
 Como el rango son los valores que puede tomar la variable
dependiente (y), es necesario graficarla.

5. Ejemplos
𝑓 𝑥 =
4𝑥 − 5
6𝑥 − 6
𝑓 𝑥 =
4
𝑥2 − 9
𝑓 𝑥 =
5𝑥
𝑥2 − 5𝑥 − 6

6. Tarea
 Encuentra el dominio y el rango de las siguientes funciones.
Grafica con Geogebra
𝑓 𝑥 =
4𝑥 + 9
2𝑥 − 7
𝑓 𝑥 =
5
2 − 𝑥
𝑓 𝑥 =
2𝑥 + 3
𝑥2 + 16𝑥

7. Asíntotas de funciones racionales
 Para graficar una función racional se toman en cuenta sólo los
valores de su dominio (que no generan división entre cero).
 Cuando el denominador de una función racional se hace muy
pequeño, su valor tiende a infinito.
 Asimismo, si el denominador se hace muy grande, el valor de la
función se hace muy pequeño (tiende a cero).
 Una asíntota es una recta imaginaria cuya distancia con la curva
tiende a cero y se aleja indefinidamente del origen.
 La asíntota se define como la tangente a la curva en el infinito.

8. Asíntota vertical
 Corresponden a los
valores de x en los que el
denominador se hace
cero.
 Para encontrarlas
igualamos el
denominador a cero y
obtenemos los valores de
sus ceros o raíces.
 Ejemplo :
𝑓 𝑥 =
2𝑥
3𝑥 − 6

9. Más ejemplos
𝑓 𝑥 =
𝑥2
+ 2𝑥 − 3
𝑥2 − 1 𝑓 𝑥 =
𝑥2
− 1
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥
=
𝑥 + 1
𝑥(𝑥 + 2)

10. Asíntota horizontal
 La asíntota horizontal es la recta y = a, se refiere al valor de
y, que no toca la función.
 Para obtenerla, debemos considerar el grado de los
polinomios
Pn(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a1x + a0, numerador y
Qm(x) = bmxm + bm-1xm-1 +…+ b1x + b0, denominador
 Si m > n, la asíntota es y = 0
 Si m = n, la asíntota es y = an/bm
 Una función racional puede tener como máximo UNA
asíntota horizontal

11. Ejemplos
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 2
2𝑥 − 3
𝑓 𝑥 =
𝑥 − 4
3𝑥2 − 18
𝑓 𝑥 =
2𝑥2 − 4
(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)

12. Asíntota oblicua
 Si en la función racional el
grado de Pn(x) es una unidad
más grande que Qm(x), la
función presenta una
asíntota oblicua.
 Si n = m + 1, tenemos una
asíntota oblicua la cual está
dada por el cociente (la
división)
y = Pn(x)/Qm(x)
sin el residuo
 En cualquier otro caso la
función racional no
tendrá una asíntota
horizontal.
 El principal uso de las
asíntota es esbozar las
gráficas de las funciones
racionales.

13. Ejemplos
𝑓 𝑥 =
𝑥2 + 8
𝑥 − 5
𝑓 𝑥 =
𝑥3
+ 4𝑥2
− 3𝑥 + 9
𝑥2 + 9𝑥 − 4
𝑓 𝑥 =
2𝑥2 + 2𝑥 − 3
𝑥 + 2

14. Tarea
𝑓 𝑥 =
2𝑥2 + 2𝑥 − 3
𝑥2 − 𝑥 − 6
𝑓 𝑥 =
𝑥3
+ 3𝑥 + 1
3𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥
𝑓 𝑥 =
−6𝑥 − 2
2𝑥 + 6
𝑓 𝑥 =
𝑥2
− 3𝑥 − 1
2𝑥2 − 6𝑥 + 4
𝑓 𝑥 =
𝑥2
− 2𝑥 − 2
𝑥 − 3
𝑓 𝑥 =
2𝑥2
+ 𝑥 − 2
𝑥 + 3
𝑓 𝑥 =
4𝑥2 + 2𝑥 − 5
2𝑥 + 4
𝑓 𝑥 =
3𝑥2
− 4𝑥 + 5
2𝑥 − 5