Introducción al Álgebra Liineal

1. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Introducción Álgebra Lineal Rubén Darío Lara Escobar1 1Unidad de Ciencias Básicas Universidad Católica de Manizales Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 1/29

2. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Contenidos 1 Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal 2 Matrices y Elimininación Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 2/29

3. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistemas de Ecuaciones Lineales Un Ecuación Lineal en n variables es x1;x2;x3; :::;xn es de la forma: a1x1+a2x2+a3x3+:::+anxn = b Donde los ai0s y b son constantes; la constante a1 se denomina coeficiente principal y la variable x1 es la variable principal Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 3/29

4. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Las ecuaciones lineales no tienen productos de variables, ni raices; tampoco variables que aparezcan en funciones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Las variables aparecen solamente elevadas a la primera potencia. Ejemplo 3x+2y = 7 xy+z = 2 1 2x+yz = p 2 ex2y = 4 Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 4/29

6. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables es un conjunto de m ecuaciones, cada una de las cuales es lineal en las mismas n variables. a11x1+a12x2+a13x3+:::+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+a23x3+:::+a2nxn = b2 a31x1+a32x2+a33x3+:::+a3nxn = b3 . . . am1x1+am2x2+am3x3+:::+amnxn = bm Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 6/29

7. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Ejemplos 2xy = 0 x+2y = 3 x+y = 3 xy = 1 Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 7/29

8. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Ejemplos 2xy = 0 x+2y = 3 x+y = 3 xy = 1 Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 7/29

9. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación La forma general de una solución de un sistema de ecuaciones lineales nxn es una sucesión de números s1; s2; :::; sn que es una solución de cada una de las ecuaciones que forman el sistema. Una Solución del sistema: x1+x2 = 10 x1+x2 = 0 Este sistema tiene una solución única en un punto Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 8/29

12. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Figura : Dos rectas que se cortan en un punto Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 9/29

13. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Ejemplos II el sistema x12x2 = 3 2x14x2 = 8 el sistema no tiene solución el sistema x1+x2 = 3 2x12x2 = 6 el sistema tiene infinitas soluciones Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 10/29

17. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Sistema Única Solución Figura : Sistema tiene única solución Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 11/29

18. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Sistema Infinitas Soluciones Figura : una recta sobre la otra (son multiplos) Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 12/29

19. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Sistema que no tiene Solución Figura : Dos rectas no se cortan (Paralelas) Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 13/29

21. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Característica de la Solución Un sistema de ecuaciones lineales solo puede tener una de las tres clases de soluciones Sistema Consistente:Tiene exactamente una solución; las rectas se cortan en un punto Sistema Inconsistente:No tiene solución; las rectas son paralelas Tiene infinitas soluciones; una recta es multiplo de la otra Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 15/29

24. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Estrategia de Solución La estrategia general de solución de un sistema de ecuaciones es reemplazar el sistema inicial por un sistema equivalente mas fácil de resolver. Por ejemplo el sistema: x12x2 = 1 x1+3x2 = 3 Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 16/29

25. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Figura : Analogı’a de los tres tipos de soluciones Sistemas En 3D Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 17/29

26. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Notación Matricial Una forma usual, por su utilidad, de presentar un sistema de ecuaciones es la Forma Matricial. El sistema x12x2 = 1 x1+3x2 = 3 se puede ver de la forma matricial:

30. 1 2 1 1 3 3

34. Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 18/29

35. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Matrices El sistema puede generar la siguiente matriz equivalente

39. 1 2 1 0 1 2

43. Esto implica que nuestro sistema inicial se puede expresar de forma eqivalente así: x12x2 = 1 x2 = 2 De donde es claro que x1 = 3. ¿ Cómo se paso de la primera matriz a la segunda? Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 19/29

44. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Operaciones Elementales Reemplazar Se puede reemplazar una fila por un multiplo de otra fila. Intercambio Intercambiar dos filas Escalar Multiplicar todas las entradas en una fila por una constante k6= 0 Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 20/29

45. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Matrices Equivalentes Por Filas Definición Dos matrices, una de las cuales se puede transformar en la otra mediante una secuencia de operaciones elementales por filas, se denominan que son: Equivalentes por filas. Definición Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son equivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen el mismo conjunto solución. Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 21/29

46. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Ejemplo Ejemplo Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x+2y+z = 2 3x+8y+z = 12 4y+z = 2 Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 22/29

47. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Solución al Ejemplo Matriz del Sistema El sistema genera la siguiente matriz

53. 1 2 1 3 8 1 0 4 1

59. Observese que sólo tenemos en cuenta los coeficientes de las variables. Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 23/29

60. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Solución al Ejemplo I Matriz Equivalente del Sistema El sistema genera la siguiente matriz

66. 1 2 1 0 2 2 0 4 1

72. El número que esta encerrado lo llamamos un pivot. La pregunta es ¿que operación sobre las filas transformo en esta matriz equivalente la primera matriz del sistema? Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 24/29

73. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Solución al Ejemplo II Matriz Equivalente del Sistema El sistema genera la siguiente matriz

79. 1 2 1 0 2 2 0 0 5

85. El número que esta encerrado es el segundo pivot. De nuevo ¿que operación sobre las filas transformo en esta II matriz equivalente la I matriz equivalente del sistema? Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 25/29

86. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Matriz Triangular Superior II Matriz Equivalente del Sistema El sistema genera la siguiente matriz

92. 1 2 1 0 2 2 0 0 5

98. Esta matriz lleva el nombre de Matriz Triangular Superior, dado que bajo la diagonal principal todas las entradas son ceros. Esta es la forma ideal para reoslver un sistema de ecuaciones lineales. Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 26/29

99. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Matriz Triangular Superior Sistema Equivalente El sistema ahora tiene la forma matricial equivalente Ux = C Donde U es una matriz Matriz Triangular Superior, x es el vector de variables y C es el nuevo vector de constantes. ¿que paso entonces con estas constantes? Para incluirlas generamos la siguiente matriz aumentada: Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 27/29

100. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Introducción Sistemas de Ecuaciones Lineales Soluciones de una Ecuación Lineal Matrices y Elimininación Matriz Aumentada Matriz Aumentada del Sistema El sistema genera la siguiente matriz aumentada

106. 1 2 1 2 3 8 1 12 0 4 1 2

112. Esta matriz lleva el nombre de Matriz Aumentada ya que incluye las constantes independientes. Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 28/29

113. Introducción Rubén Darío Lara Escobar Apéndice Lecturas Recomendadas Lecturas Recomendadas I Apostol, Tom. Calculus. Reverté, 1980. Larson, R.; Edwards, B. Introducción al Álgebra Lineal. Limusa, 2009. Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 29/29

Introducción al Álgebra Liineal

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (16)

Similar a Introducción al Álgebra Liineal

Similar a Introducción al Álgebra Liineal (20)

Más de Ruben Dario Lara Escobar

Más de Ruben Dario Lara Escobar (7)

Último

Último (20)

Introducción al Álgebra Liineal