1. UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
SEPARATA 7
ESTÁTICA (GEAF 204)
SEMESTRE 2013 – II
CONTENIDO: SEMANA 7
Análisis estructural
Armaduras simples métodos de nudos y método de
secciones.
Armaduras espaciales.
AUTOR: Mg. Martín Sandoval Casas.
Dirección Académica | E.A.P. Ingeniería Civil | Telf. 202 4342 Anexo 2037 | www.ucvlima.edu.pe
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2. FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
ESTÁTICA (GEAF 204)
1.
GENERALIDADES:
FUNDAMENTACIÓN DEL CURSO:
La asignatura de Estática corresponde al área de formación profesional y es de naturaleza teórico –
práctica y de carácter obligatorio.
Esta asignatura tiene como propósito hacer comprender a los estudiantes que en toda estructura, así
como en todos sus elementos que lo conforman deben considerarse tres conceptos importantes:
equilibrio, estabilidad y resistencia.
En este curso se tratan los dos primeros aspectos, es decir, que la estructura y sus partes
componentes deben disponerse de tal manera que se asegure el estado de reposo con respecto a su
base.
COMPETENCIAS.
Identifica los distintos tipos de estructuras de Ingeniería Civil que se presentan en la vida diaria en la
práctica profesional.
2.
INTRODUCCIÓN
Esta separata desarrolla los puntos
contenidos en la programación del sílabo
correspondientes a la octava semana: El
análisis de estructuras es un tema muy
importante en el desarrollo de la estática y
en la formación de un ingeniero civil. El
análisis estructuras se hace con la
aplicación de la primera ley de Newton y la
segunda condición de equilibrio. Al final el
alumno podrá analizar estructuras en el
plano y en el espacio, así como aplicarlas
en casos reales y construir estructuras
estables en forma experimental.
3.
CONTENIDO
Semana
3.1. SEGUNDA UNIDAD: EQUILIBRIO CUERPOS RÍGIDOS Y ANÁLISIS ESTRUCTURAL
7
Contenidos
Análisis estructural
Armaduras: métodos
de nodos y método
de secciones.
Armaduras
espaciales.
Capacidad
Resuelve
situaciones
problemáticas
sobre
armaduras.
Indicador de logro
Resuelve
problemas
de
armaduras planas
y espaciales en
una
práctica
dirigida.
Actitudes
Indicador de logro
Protege
su
entorno
físico.
Respeta
los
espacios
que
permiten la libre
circulación entre
el mobiliario del
aula, a fin de
mitigar los riesgos
en
caso
de
evacuación.
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3. ESTRUCTURAS
Las estructuras están en toda la naturaleza, en una telaraña, en el sistema esquelético, etc.
Trataremos de enfocar analizando las fuerzas internas de una parte de la estructura sobre otra parte
de la misma. Para determinar las fuerzas internas se dividirá la estructura y se realizará un DCL de
cada parte.
CLASIFICACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS.
1. Armaduras. Estas estructuras se diseñan para soportar cargas y prevenir el movimiento. Las
partes de la armadura se componen de piezas espigadas y rectas que se conectan en sus
extremos, formando juntas. Estas armaduras pueden ser planas o espaciales, dependiendo
la configuración de sus miembros. En este caso se considera solo fuerzas de tensión o
comprensión.
2. Marcos. Un marco se diseña para soportar cargas y prevenir el movimiento pero, a
diferencia de la armadura, tiene al menos un miembro con más de dos fuerzas actuando
sobre él. Esto significa que algunas partes del marco estará sujeto a los efectos de flexión y
torsión.
3. Máquinas. Es un ensamble de partes que trasmiten fuerzas y movimiento, es decir se
trasmite energía de un cuerpo a otro y por lo tanto se tendrá partes móviles.
ARMADURAS PLANAS
El análisis de armaduras se basa en que se supone que todos los miembros o partes de la armadura
son miembros de dos fuerzas. Un miembro es un elemento, recto y rígido que esta remachado a uno
o más elementos diferentes en conexiones llamadas juntas.
Fa
Fb
Fa
Fb
Tensión
Compresión
Si hay equilibrio entonces Las fuerzas son iguales en magnitud pero opuestas en dirección.
El elemento constitutivo básico de toda armadura es el triángulo. Para mantener su forma y resistir
las grandes cargas que se apliquen, las armaduras han de ser estructuras rígidas, desde luego esto
no significa que la estructura no se deforme, experimentara deformaciones muy pequeñas, pero
mantendrá casi totalmente su forma. Las armaduras grandes se construyen a base de triángulos, a
estas armaduras se denominan armaduras simples.
La importancia de la armadura simple es que permite de manera sencilla la rigidez y resolubilidad de
la armadura. Sea m el número de miembros y n el número de nudos de la armadura, estos estarán
relacionados por:
m = 2n – 3
(1)
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4. Esta es la condición necesaria para garantizar que el número de ecuaciones a resolver (2n) es igual
al número de incógnitas a despejar (m fuerzas en los miembros más tres reacciones en los apoyos).
Esta relación solo es garantía para armaduras simples y planas. Una generalización de la ecuación
(1) es:
m = 2n – r
(2)
Donde r es el número de reacciones en los apoyos.
CONSIDERACIONES DE ANÁLISIS
La armadura solo está cargada en los nudos.
Se desprecian los pesos de los miembros de la armadura.
2 000 N
MÉTODO DE NUDOS
1 000 N
Consideremos la siguiente armadura.
C
D
4m
B
A
8m
Veamos si cumple la condición de rigidez y resolución, vemos que son 5 miembros (m), cuatro
nudos (n) y tres reacciones en los apoyos
Según la ecuación (1) se tiene 5 = 2*4 – 3, por lo tanto la estructura es rígida y tiene solución.
2 000 N
El diagrama de cuerpo libre de la armadura es
1 000 N
Como la estructura se encuentra en equilibrio, entonces
4m
C
D
podemos
aplicar
la
obtenemos:
primera
ley
de
Newton
y
B
A
Ax
Ay
By
8m
Aplicamos la primera ley de Newton en el eje x. 1 000 + Ax = 0, por lo tanto
Ax = – 1
000 N, lo cual implica que su magnitud es 1 000 N y su dirección es opuesta a la elegida, es decir la
reacción Ax no apunta hacia la derecha, según lo hemos elegido en la figura, su correcta disposición
seria hacia la izquierda.
Aplicamos la primera ley de Newton en el eje y. Ay + By = 2 000 N
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5. Aplicamos sumatoria de momentos en A. Los torques horarios los igualamos con los torques
antihorarios, entonces tenemos:
1 000 (4) + 2 000(8) = By(8), entonces By es 2 500 N y en la dirección mostrada.
Reemplazamos en la ecuación anterior y obtenemos Ay = – 500 N. El resultado implica que la
dirección de Ay es contraria a la elegida.
Si la estructura es un cuerpo rígido en equilibrio, entonces cada una de sus partes también lo estará.
El método de nudos consiste en desmontar la armadura y analizar cada miembro de la armadura y
cada pasador, para esto se debe realizar un correcto diagrama de cuerpo libre.
Si sacamos el miembro DC, tenemos:
FCD
FDC
En magnitud, podemos decir FCD = FDC, además serian fuerzas de compresión.
Si analizamos el nudo D, tenemos, según la
tercera ley de Newton F’CD sería la reacción a la
fuerza FCD que actúa sobre la barra CD.
1 000 N
D
F’CD
FAD
Aplicando la primera ley de Newton al nudo D, se tiene que F’CD = 1 000 N y FAD es nula.
Si analizamos el nudo C, aplicamos la primera
ley de Newton al eje x, se tiene:
1 000 N = FAC cos
FAC = 1 118 N
Analizamos el eje y y obtenemos:
2 000 N + FACsen = FBC
2
2 000 N
1 000 N
FAC
1
C
√
FBC
FBC = 2 500 N
FCB = 2 500 N
Ahora analizamos el nudo B, si aplicamos la primera ley de
Newton al eje x, de inmediato se obtiene que F AB es nula.
Y si analizamos el eje y, obtenemos que By = 2 500 N.
FAB
B
By
Finalmente analizamos el nudo A, y lo usamos
para verificar nuestros resultados, cumple con
todo lo encontrado.
FDA = 0 N
FCA
1 000 N
A
FBA = 0 N
Ay
Finalmente podemos concluir que las barras AD y AB no soportan fuerzas, pero están listas a actuar
en el caso que se apliquen fuerzas diferentes a las aplicadas, por ejemplo una carga vertical en el
nudo D y actuaria la barra AD.
Las barras BC y CD están sometidas a fuerzas de compresión y la barra AC está sometida a tensión.
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6. MÉTODO DE SECCIONES
En el método de nudos se trata de descomponer todas las partes de la armadura y analizar uno a
uno los nudos, este proceso resulta trabajoso si queremos calcular alguna fuerza que esta por el
medio de la armadura. El método de secciones permite partir la armadura en dos partes, si el total
está en equilibrio, las partes o secciones también lo están.
Determínese la fuerza en el miembro EF de la armadura.
28 kN
A
C
28 kN
E
G
I
K
16 kN
K
16 kN
10 m
B
F
D
8m
8m
J
H
8m
8m
8m
Hacemos el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura.
28 kN
A
C
28 kN
E
G
I
10 m
B
D
Bx
F
By
8m
8m
J
H
8m
Jy
8m
8m
En el eje x, la aplicación de la primera ley de Newton, nos da:
por lo tanto Bx = – 16 kN.
Bx + 16 = 0
Esto significa que la dirección elegida no es la correcta, es decir, su dirección no es hacia la derecha
sino hacia la izquierda.
El análisis en el eje y, By + Jy = 56 kN.
Ahora aplicamos momentos con respecto a B, igualamos los momentos horarios y antihorarios.
28(8) + 28(24) + 16(10) = Jy(32)
entonces Jy = 33 kN.
Reemplazamos en la relación anterior y obtenemos By = 23 kN.
Ahora realizamos cortes, para buscar las fuerzas pedidas.
28 kN
A
C
28 kN
E
G
I
K
16 kN
10 m
B
Bx
D
F
By
8m
8m
J
H
8m
Jy
8m
8m
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7. Analizamos la sección de la izquierda
28 kN
Si tomamos el punto E y evaluamos los torques, se
A
C
E
FFG
tiene:
10 m
28(8) + FFD(10) = 23(16) +16(10)
B
16 kN
De donde FFD es 30,4 kN.
FFE
23 kN
By
8m
En el je x, podemos establecer que:
FFD +FFG = 16 N.
FFD
D
8m
8m
FFG = –14,4 N.
30,4 +FFG = 16
En el eje y, podemos establecer que:
By = 28 + FFE
FFE = –5 kN.
23 = 28 + FFE
ARMADURAS ESPACIALES
Una armadura cuyos nudos no se encuentran todos en un plano, o los apoyos y cargas no son
coplanarios, estamos frente a una armadura espacial. El equivalente tridimensional del triángulo es el
tetraedro, las armaduras espaciales se construyen a partir de subunidades tetraédricas, ahora cada
nudo lleva tres miembros y la relación entre los nudos y el número de miembros es:
m = 3n – 6
z
z
B
B
D
y
y
D
A
A
x
C
x
C
Las armaduras espaciales simples son siempre rígidas, el método de análisis ya fue descrito en los
temas anteriores, es decir podemos aplicar la suma de momentos igual a cero y la suma de fuerzas
igual a cero.
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8. EJERCICIOS PROPUESTOS – ARMADURAS
1. Determínese la fuerza en el miembro GI de la armadura.
28 kN
A
C
28 kN
E
G
I
K
16 kN
10 m
B
F
D
8m
8m
J
H
8m
8m
8m
2. Determine la fuerza en la barra CD de la cercha tipo Fink mostrado.
10 kN
20 kN
A
20 kN
20 kN
2m
10 kN
B
E
C
D
8 paneles de 1,5 m = 12 m
3. Determine las barras de fuerza nula en la armadura mostrada.
P
H
F
J
D
G
B
L
I
N
A
O
C
E
K
M
Q
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9. 4. Calcule la magnitud y calidad de los esfuerzos que se desarrollan en todas las barras.
D
1 000 N
2 000 N
60º
B
60º
30º
A
C
3m
F
60º
30º
E
3m
1 000 N
G
3m
1 000 N
5. Determínese las fuerzas en cada una de
las armaduras y establezca para cada
miembro si se encuentra en tensión o en
compresión.
1,5 m
1,5 m
A
B
C
0,8 m
1,6
kN
E
D
0,8 m
F
6. Determínese los miembros de fuerza cero en la armadura siguiente.
H
F
D
J
G
B
Q
L
I
N
A
C
E
K
O
M
P
7. Determínese la fuerza FH, GH y GI de la armadura del techo que se muestra en la figura.
1 kN
1 kN
1 kN
8m
1 kN
F
H
D
1 kN
B
J
A
L
C
5 kN
E
5 kN
G
I
K
5 kN
6 secciones de 5 m = 30 m
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10. 8. Determine la fuerza en
cada miembro de la
armadura e indique si
los miembros están en
tensión o compresión.
10 kN
4
1m
6
2
3m
1
8
5
3
7
4 paneles a 3 m = 12 m
9. Determínese los miembros de fuerza cero en la armadura siguiente
Q
A
P
B
C
D
E
a
G
I
F
J
H
a
K
O
L
a
M
a
N
a
a
10. En la armadura, todos los ángulos son de 90º o 45º:
a. Halle las reacciones externas.
b. Halle los esfuerzos en las barras CD y FI.
3T
T
G
K
H
2 2T
J
M
D
F
I
E
B
C
L
2m
45º
2m
A
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11. 11. El panel pesa 600 N, halle las fuerzas en: GJ; CD y CF.
60 cm
60 cm
B
60 cm
60 cm
C
E
G
I
140 cm
60 cm
60 cm
A
D
F
H
J
UCV
12. Halle las fuerzas (indicando tracción o compresión) en todas las barras de la armadura.
0,5 m
0,5 m
A
B
C
0,25 m
I
J
D
0,25 m
K
H
G
6 kN
10 kN
13. Para
la
armadura
mostrada. Determine los
esfuerzos y calidad de
las barras.
F
E
3 kN
2 kN
A
4m
10 kN
C
B
4m
D
E
4m
F
G
4m
H
I
12 m
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12. 14. Determine las fuerzas en BF y FE
1,2 m
2 800 N
B
C
A
0,3 m
D
E
0,4 m
F
1 3
6
1,0 m 0
0
N
H
G
1,4 m
1,5 m
15. En la siguiente armadura:
a. Calcule las reacciones.
b. Determine la fuerza en la barra BE.
c. Halle la fuerza en el miembro DE.
1 000 N
0,7 m
2 000 N
3,0 m
B
D
3,0 m
A
C
F
E
1,8 m
5,4 m
1,8 m
16. Halle las fuerzas en las barras EH, DG y JI
6 kN
G
6 kN
3m
12 kN
D
K
F
B
I
N
A
M
C
2m
E
2m
H
2m
J
2m
L
2m
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2m
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