Descripción de como resolver ecuaciones diferenciales por el método exacto y factor integrante

1. Ecuaciones Diferenciales Exactas<br />Si z = f(x,y) es una función con derivadas parciales de primer orden continuas en una región rectangular R del plano xy, entonces su diferencial total, denotada por dz o df, se define como:<br />df= ∂f∂xdx+ ∂f∂ydy<br />Ahora bien si f{x,y) = c, donde c es una constante, entonces<br />∂f∂xdx+ ∂f∂ydy=0<br />Si f(x,y) = x4 + 3x2y2 + y3 = c, entonces df = 0, es decir<br />4x3+6xy2dx+6x2y+3y2dy=0<br />o bien<br />dydx= -4x3+6xy26x2y+ 3y2<br />Se puede notar que la ecuación diferencial anterior no es separable ni tampoco homogénea, decimos que es exacta y su solución es x4 + 3x2y2 + y3 — c.<br />De manera general hacemos la siguiente definición.<br />Una ecuación diferencial es exacta si puede escribirse en la forma df = 0, es decir<br />Mx,ydx+Nx,ydy=0<br />∂f∂xdx+ ∂f∂ydy=0<br />Equivalentemente, la ecuación diferencial anterior es exacta si existe una función f tal que<br />∂f∂x=Mx,y y ∂f∂y=N(x,y)<br />210439085090Función Potencial0Función Potencial<br />Fx,y=Mx,yi+Nx,yj<br />1726359130810Función Campo Vectorial Conservativo0Función Campo Vectorial Conservativo<br />La solución de una ecuación diferencial exacta está dada implícitamente por la ecuación f(x,y) = c, donde c es una constante arbitraria.<br />En este contexto, resolver la ecuación diferencial exacta es equivalente a encontrar la función potencial del campo.<br />El siguiente teorema proporciona un criterio simple para determinar si una ecuación diferencial es exacta. Su aplicación queda clara en los ejemplos posteriores.<br />Teorema: Sean las funciones M, N, My y Nx continuas en la región rectangular R. <br />Entonces la ecuación <br />Mx,ydx+Nx,ydy=0<br />es exacta en R si y sólo si <br />∂M∂yx,y= ∂N∂x(x,y)<br />para todo punto (x, y) en R.<br />Despues de analizar si la ecuación es exacta y se cumple la condición lo siguiente es resolverla y para eso utilizaremos la siguiente fórmula:<br />fx,y=M(x,y)dx+ Nx,y- ∂∂yM(x,y)dxdy<br />Ejemplo 1: <br />2xydx+x2-1dy=0<br />1° Verificar<br />∂M∂y2xy=2x ∂N∂xx2-1=2x ∴ ∂N∂x = ∂M∂y Es exacta<br />2° Utilizar la formula<br />fx,y=M(x,y)dx+ Nx,y- ∂∂yM(x,y)dxdy<br />fx,y=2xydx+ x2-1- ∂∂y2xydxdy<br />fx,y=x2y+ x2-1- ∂∂y(x2y)dy<br />fx,y=x2y+ x2-1- x2)dy<br />fx,y=x2y+ -1dy<br />x2y-y+C<br />Ejemplo 2:<br />dydx= x- y22xy+ y ∴ x- y2dx-2xy+ydy=0<br />1° Verificar<br />∂N∂x-2xy+y=-2y ∂M∂yx-y2=-2y ∴ ∂N∂x = ∂M∂y Es exacta<br />2° Utilizar la formula<br />fx,y=(x-y2)dx+ -2xy+y- ∂∂y(x-y2)dxdy<br />fx,y=x22-xy2+-2xy+y- ∂∂y(x22-xy2)dy<br />fx,y=x22-xy2+-2xy+y+2xy)dy<br />fx,y=x22-xy2+-ydy<br />x22-xy2-y22+C<br />Ejemplo 3:<br />4x3y3+1xdx+3x4y2-1ydy=0<br />1° Verificar<br />∂M∂y4x3y3+1x=12x3y2 ∂N∂x3x4y2-1y=12x3y2 ∴ ∂N∂x = ∂M∂y Es exacta<br />2° Utilizar la formula<br />fx,y=4x3y3+1xdx+ 3x4y2-1y- ∂∂y4x3y3+1xdxdy<br />fx,y=x4y3+lnx+3x4y2-1y- ∂∂y(x4y3+lnx)dy<br />fx,y=x4y3+lnx+3x4y2-1y - 3x4y2dy<br />x4y3+lnx-lny+C<br />Ecuaciones Diferenciales Exactas Por Factor Integrante<br />Si la ecuación diferencial <br />Mx,ydx+Nx,ydy=0<br />no es exacta, pero existe una función μ(x,y), tal que al multiplicar por μ(x,y), la ecuación resultante<br />μ(x,y)Mx,ydx+μ(x,y)Nx,ydy=0<br />es exacta, entonces se dice que /i(x, y) es un factor integrante de la ecuación diferencial<br />Debemos observar que la solución de la segunda ecuación es la solución de la primera y que en general no es fácil encontrar un factor integrante para una ecuación no exacta.<br />Sin embargo, si M(x,y) y N(x,y) cumplen ciertas condiciones entonces los factores integrantes son conocidos. <br />CASO I. Factor integrante dependiente de x. Suponga que<br />∂M∂y-∂N∂xN<br />es una función que depende únicamente de x, la cual denotaremos por f(x). Entonces,<br />un factor integrante para la ecuación dada es<br /> <br />μx= epxdx<br />CASO II. Factor integrante dependiente de y. Si se tiene que<br />∂N∂x-∂M∂yM<br />es una función de y únicamente, denotada por f(y), entonces<br />μy= epydy<br />es un factor integrante para la ecuación diferencial<br />También queremos advertir que al aplicar las fórmulas anteriores estamos interesados en obtener solamente un factor integrante, por lo cual después de calcular las integrales indefinidas implicadas en dichas expresiones basta considerar un valor fijo de la constante de integración.<br />Ejemplo 1:<br />2xy+y4dx+3x2+6xy3dy=0<br />1° Verificar<br />∂M∂y2xy+y4=2x+4y3; ∂N∂x3x2+6xy3=6x+6y3 <br /> ∂N∂x ≠ ∂M∂y No es exacta<br />2° Buscar el factor integrante<br />Como tenemos que no es una ecuación diferencial exacta. Buscaremos un factor integrante investigando si M y N cumplen con las condiciones mencionadas en el Caso I.<br />px=∂M∂y-∂N∂xN= 2x+4y3-6x-6y33x2+6xy3<br />=-(2y3+4x)3x2+6xy3<br />La expresión en no es una función exclusivamente de x. Por lo que investigaremos si M y TV son funciones que cumplen con la condición mencionada en el Caso II.<br />py=∂N∂x-∂M∂yM= 6x+6y3-2x-4y32xy+y4<br />=2(2x+y3)y(2x+y3)<br />=2y<br />La expresión en si es una función exclusivamente de y, luego un factor integrante es de la forma<br />e2ydy=e2lny=elny2=y2<br />μy= y2<br />Ya que se conoce un factor integrante multiplicamos dicha ecuación por y2 y procedemos a resolver la ecuación diferencial resultante<br />y2[2xy+y4dx+3x2+6xy3dy=0]<br />2xy3+y6dx+3x2y2+6xy5dy=0<br />3° Verificar una vez mas<br />∂M∂y2xy3+y6=6xy2+6y5 ∂N∂x3x2y2+6xy5=6xy2+6y5<br /> ∂N∂x = ∂M∂y Es exacta<br />4° Utilizar formula<br />fx,y=2xy3+y6dx+ 3x2y2+6xy5- ∂∂y2xy3+y6dxdy<br />fx,y=x2y3+xy6+ 3x2y2+6xy5- ∂∂y(x2y3+xy6)dy<br />fx,y=x2y3+xy6+ 3x2y2+6xy5- (3x2y2+6xy5)dy<br />fx,y=x2y3+xy6+ 0dy<br />x2y3+xy6+ C<br />Ejemplo 2:<br />3x2ydx+ydy=0<br />1° Verificar<br />∂M∂y3x2y=3x2 ∂N∂xy=0 ∴ ∂N∂x ≠ ∂M∂y No es exacta<br />2° Buscar el factor integrante<br />px=∂M∂y-∂N∂xN= 3x2y<br />py=∂N∂x-∂M∂yM= -3x23x2y= -1y<br />e-1ydy=e-lny=elny-1=y-1=1y<br />1y(3x2ydx+ydy=0)<br />3x2dx+dy=0<br />3° Verificar una vez mas<br />∂M∂y3x2=0 ∂N∂x1=0 ∴ ∂N∂x= ∂M∂y Es exacta<br />4° Utilizar la formula<br />fx,y=3x2dx+ 1- ∂∂y3x2dxdy<br />fx,y=x3+ 1- ∂∂yx3dy<br />fx,y=x3+ 1dy<br />x3+y+C<br />