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Métodos para resolver
ecuaciones lineales
Método Eliminación Gaussiana
Método de Gauss Jordan
Método de Gauss Seidel
Método de Eliminación
Gaussiana
Ejemplo de Matriz 3x3
Sistema de Ecuaciones
•Multiplicar la ecuación normalizada por el coeficiente de la primera incógnita de la
tercera ecuación : -x1-2x2-3x3 -12x4=-2
•Restar la tercera ecuación de la ecuación normalizada, eliminando la primera incógnita
de la tercera ecuación.
-x1-6x2+2x3-1x4=+3
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•Multiplicar por -1: -x1-2x2-3x3 -12x4=-2
•Restar
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•Restar la cuarta ecuación de la ecuación normalizada, eliminando la tercera
incógnita de la cuarta ecuación
Método de eliminación Gauss-Jordan
Es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Es un
tipo especial de procedimiento de eliminación, llamada
así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan.
Comienza con el sistema original de ecuaciones m x n y
lo transforma, mediante operaciones de renglón, en un
sistema equivalente. Se realiza hasta obtener una
matriz diagonal unitaria.
Sistema General de Ecuaciones
Matriz B del sistema
Ejemplo#1
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
lineales mediante el método de Gauss-Jordan.
a – b = -6
b + c = 3
c + 2d =4
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Desarrollo
Ejemplo#2
Resolveremos este sistema de ecuaciones
Aumentamos la matriz
Nuestra solución es x= 1, y= -1 y z= 2
Método de Gauss Seidel
• En honor a Carl Friedrich Gauss y Philipp
Ludwig von Seidel
• Es un método iterativo para resolver
sistemas de ecuaciones lineales
• para que exista solución única, el sistema
debe tener tantas ecuaciones como
incógnitas
Método de Gauss Seidel
• Partiendo de (x = 1, y = 2, z = 0) aplique dos
iteraciones del metodo de Gauss-Seidel para resolver
el sistema:
• 10 x + 0y − z = −1
• 4 x + 12y − 4z = 8
• 4 x + 4y + 10z = 4
10 x + 0y − z = −1
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x = −0.10 + 0.00 x + 0.00y + 0.10z
y = 0.66 − 0.33 x + 0.00y + 0.33z
z = 0.40 − 0.40 x − 0.40y + 0.00z
x1 = −0.10 + 0.00(1.00) + 0.00 (2.00) + 0.10 (0.00) = −0.1
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correspondiente
Aplicamos la primera iteracion partiendo de x0 = 1.00, y0 = 2.00, y z = 0.00
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Aplicamos la segunda iteracion partiendo de x1 = −0.10 y y1 = 0.70 y z1 = 0.16
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Métodos para resolver ecuaciones lineales

  • 1. Métodos para resolver ecuaciones lineales Método Eliminación Gaussiana Método de Gauss Jordan Método de Gauss Seidel
  • 3. Ejemplo de Matriz 3x3 Sistema de Ecuaciones
  • 4.
  • 5.
  • 6.
  • 7.
  • 8. •Multiplicar la ecuación normalizada por el coeficiente de la primera incógnita de la tercera ecuación : -x1-2x2-3x3 -12x4=-2 •Restar la tercera ecuación de la ecuación normalizada, eliminando la primera incógnita de la tercera ecuación. -x1-6x2+2x3-1x4=+3 +x1+2x2+3x3+12x4=+2 0 -4x2+5x3-12x4=+5 •Multiplicar por -1: -x1-2x2-3x3 -12x4=-2 •Restar -x1-3x2-11x3 +1x4=-3 +x1+2x2+3x3 + 12x4=+2 0 -1x2 -8x3+32x4= -1
  • 9.
  • 11.
  • 12. •Restar la cuarta ecuación de la ecuación normalizada, eliminando la tercera incógnita de la cuarta ecuación
  • 13.
  • 14. Método de eliminación Gauss-Jordan Es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Es un tipo especial de procedimiento de eliminación, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan. Comienza con el sistema original de ecuaciones m x n y lo transforma, mediante operaciones de renglón, en un sistema equivalente. Se realiza hasta obtener una matriz diagonal unitaria.
  • 15. Sistema General de Ecuaciones
  • 16. Matriz B del sistema
  • 17. Ejemplo#1 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordan. a – b = -6 b + c = 3 c + 2d =4 2a - 3d = 5
  • 20. Resolveremos este sistema de ecuaciones Aumentamos la matriz
  • 21. Nuestra solución es x= 1, y= -1 y z= 2
  • 22. Método de Gauss Seidel • En honor a Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel • Es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales • para que exista solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas
  • 23. Método de Gauss Seidel • Partiendo de (x = 1, y = 2, z = 0) aplique dos iteraciones del metodo de Gauss-Seidel para resolver el sistema: • 10 x + 0y − z = −1 • 4 x + 12y − 4z = 8 • 4 x + 4y + 10z = 4
  • 24. 10 x + 0y − z = −1 4 x + 12y − 4z = 8 4 x + 4y + 10z = 4 x = −0.10 + 0.00 x + 0.00y + 0.10z y = 0.66 − 0.33 x + 0.00y + 0.33z z = 0.40 − 0.40 x − 0.40y + 0.00z x1 = −0.10 + 0.00(1.00) + 0.00 (2.00) + 0.10 (0.00) = −0.1 y1 = 0.66 − 0.33(−0.10) + 0.00 (2.00) + 0.33 (0.00) = 0.70 z1 = 0.40 − 0.40(−0.10) − 0.40 (0.70) + 0.00 (0.00) = 0.16 Despejar de la ecuacion la incognita correspondiente Aplicamos la primera iteracion partiendo de x0 = 1.00, y0 = 2.00, y z = 0.00
  • 25. x1 = −0.10 + 0.00(−0.10) + 0.00 (0.70) + 0.10 (0.16) = −0.084 y1 = 0.66 − 0.33(−0.084) + 0.00 (0.70) + 0.33 (0.16) = 0.748 z1 = 0.40 − 0.40(−0.084) − 0.40 (0.748) + 0.00 (0.16) = 0.134 x1 = −0.10 + 0.00(−0.084) + 0.00 (0.748) + 0.10 (0.134) = −0.086 y1 = 0.66 − 0.33(−0.086) + 0.00 (0.748) + 0.33 (0.134) = 0.740 z1 = 0.40 − 0.40(−0.086) − 0.40 (0.740) + 0.00 (0.134) = 0.138 Aplicamos la segunda iteracion partiendo de x1 = −0.10 y y1 = 0.70 y z1 = 0.16 Aplicamos la tercera iteracion partiendo de x1 = −0.084 y y1 = 0.748 y z1 = 0.134
  • 27. Gracias! Gracias! Gracias! Gracias! Gracias! Gracias! Gracias! Gracias! Gracias! Gracias! Gracias! Gracias! Gracias! Gracias! Gracias! Gracias! Gracias! Gracias! Gracias!