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Triángulos congruentes
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Postulado AAL
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Postulado LAL
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 Ejemplos:
En la figura, se tiene un triángulo ABC 
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FIGURAS SEMEJANTES
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¿Cómo son las figuras mostradas?
Son proporcionales
Son semejantes
Semej anzaSemej anza
• Dos figuras que tienen la misma forma,
aun con diferentes dimensiones, se
llaman semejantes.
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 Dos figuras del
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semejantes si los
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segmentos
determinados por
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Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y
los ángulos iguales.
El cociente
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k
a' b' c'
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SEMEJANZA
DE TRIÁNGULOS
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Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.
Multiplica cada uno de los lados por 3.
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Identificamos algunos elementos :
RAZÓN DE SEMEJANZA : 3
LADOS HOMÓLOGOS : AB
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CASOS DE SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS
Criterios de semejanza de triángulos
 existen algunos principios que nos permiten
determinar si dos triángulos son semeja...
Existen tres criterios de semejanza
de triángulos
1. AA ( ángulo-ángulo)
2. LLL (lado-lado-lado)
3. LAL (lado-ángulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
POSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza.
 Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos  án...
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¿Son los siguientes triángulos semejantes?
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II. Segundo criterio LLL
 Dos triángulos que tienen los tres lados
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III. Tercercriterio LAL
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¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
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Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
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ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
 Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la
razón de sem...
Ejercicio
 Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cmy 5 cm
respectivamente y deseamos haceruna ampliación a escal...
Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo
triángulo miden 12, 16 y ...
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  1. 1. ¿Cómo son las figuras mostradas?2 Son idénticas
  2. 2. Ej emplos de CongruenciaEj emplos de Congruencia ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTESESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTESESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES ESTASESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTESSON FIGURAS CONGRUNTES
  3. 3. CongruenciaCongruencia Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, es decir, si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensión.
  4. 4. Criterios de congruencia
  5. 5. Triángulos congruentes  Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus partes correspondientes son congruentes. A B C D E F ABC ≅ DEF
  6. 6. Definición: Dos triángulos ABC y DEF son correspondientes si:  Sus lados correspondientes son iguales  Sus ángulos correspondiente son iguales.  En la figura A EFAC DFBC EDAB = = = ; ; B C E F D α β γ α βγ
  7. 7. POSTULADOS DE CONGRUENCIA  Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro, entonces los triángulos son congruentes.  Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.  Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.  Criterio LLA: Si el lado más largo del triangulo, junto con otro lado de éste, y el ángulo superior del lado más largo del triángulo son congruentes con los del otro triangulo, entonces los triángulos son congruentes.
  8. 8. Postulado LLL  Si los lados de un triángulo son congruentes con los lados de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes. A B C D E F ABC ≅ DEF
  9. 9. Postulado ALA  Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes. A B C D E ABC ≅ CDE
  10. 10. Postulado AAL  Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado no incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes. A B C D E ABC ≅ EFD F
  11. 11. Postulado LAL  Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son congruentes a dos lados y el ángulo incluido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. A B C D E ABC ≅ DEF F
  12. 12.  Ejemplos: En la figura, se tiene un triángulo ABC  isósceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales. ¿Cuáles triángulos son congruentes?
  13. 13. FIGURAS SEMEJANTES
  14. 14. 15 ¿Cómo son las figuras mostradas? Son proporcionales Son semejantes
  15. 15. Semej anzaSemej anza • Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes. • Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. • Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.
  16. 16.  Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los segmentos determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales. ML M'L' es la razón de semejanza
  17. 17. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales. El cociente a b c k a' b' c' = = = se llama razón de semejanza.
  18. 18. 19 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
  19. 19. 22 Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m. Multiplica cada uno de los lados por 3. x 3 Los lados del triángulo se han triplicado. 4m 5m 6m A B C 18m 15m 12m P Q R
  20. 20. 23 Identificamos algunos elementos : RAZÓN DE SEMEJANZA : 3 LADOS HOMÓLOGOS : AB BC AC PQ QR PR Si la altura relativa al lado AC mide a, podemos afirmar que la altura relativa a su lado homólogo PR mide 3a. Además: Cualquier longitud (lados y líneas notables) en el triángulo ABC se triplica en el triángulo PQR.
  21. 21. 24 CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
  22. 22. Criterios de semejanza de triángulos  existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos
  23. 23. Existen tres criterios de semejanza de triángulos 1. AA ( ángulo-ángulo) 2. LLL (lado-lado-lado) 3. LAL (lado-ángulo-lado)
  24. 24. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS POSTULADOS DE SEMEJANZA Criterio AA de semejanza.  Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos  ángulos  correspondientes congruentes, entonces el tercero también será congruente y los triángulos son semejantes”.   Criterio LAL de semejanza.  Teorema: “ Dos  triángulos  son  semejantes   si   tienen   un   ángulo congruente comprendido entre lados proporcionales”.   Criterio LLL de semejanza.  Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes". Criterio AA de semejanza.  Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos  ángulos  correspondientes congruentes, entonces el tercero también será congruente y los triángulos son semejantes”.   Criterio LAL de semejanza.  Teorema: “ Dos  triángulos  son  semejantes   si   tienen   un   ángulo congruente comprendido entre lados proporcionales”.   Criterio LLL de semejanza.  Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes".
  25. 25. A´ B´C’ A B C I. Primercriterio AA  Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. α´ α β´ β γ´ γ Es decir: Si α = α´ , β = β´ de lo anterior se deduce que γ = γ´ Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´
  26. 26. Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? 25 65 25 65 ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA
  27. 27. II. Segundo criterio LLL  Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. A´ B´C’ A BC a a´ El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza. Es decir: a a´ = b b´ = c c´ =K b b´ c c´ Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´
  28. 28. Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes A B C P Q R 1,5 3,5 5 3 7 10 Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales 1,5 3 = = 3,5 7 5 10 Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
  29. 29. III. Tercercriterio LAL  Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. A´ B´C’ A BC Es decir: a a´ a a´ = c c´ c c´ y α = α´ α α´ Entonces ∆ ABC semejante a ∆ A´B´C´
  30. 30. Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? A B C 4 3 D E F 9 12 Veamos si dos de sus lados son proporcionales 3 9 = 4 12 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos
  31. 31. ALGUNAS APLICACIONES DE ESTOS CONCEPTOS
  32. 32. Ejercicio  Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza.  a) 8 cm, 10 cm, 12 cm b) 52 cm, 65 cm, 78 cm Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL 8 10 12 78 65 52 Representemos el ejercicio Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 65 : 10 = 6,5 52 8 = 65 10 = 78 12 = 6,5 Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, podemos ver la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos 52 •10 = 8 • 65 = 520 65 • 12 = 10 •78 = 780
  33. 33. Ejercicio  Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cmy 5 cm respectivamente y deseamos haceruna ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. Luego, debe ocurrir: 3 4 5 x y z Entonces: X= 3· 3 = 9 = 9 Y = 4 · 3 =12 12 = Z = 5 · 3 = 15 =15 La razón de semejanza es 3 Representamos la situación = X 3 = Y 4 Z 5 = 3 1 =3 Escala de ampliación X 3 = 3 Y 4 =3 Z 5 =3
  34. 34. Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. 50 30 40 12 16 20 30 12 = 40 16 50 20 = Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 30x16=480 y 40x12=480 además 40x20=800 y 16x50=800 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales

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