Ejercicio resuelto de microeconomía, de competencia perfecta, en el que calculo el punto de cierre y el punto de nivelación, representando los costes marginales, costes variables medios y costes totales medios.

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Juancarlos.aguado.franco@gmail.com @juancaraguado juancarlos.aguado @urjc.es
1.- Una empresa que trabaja en un mercado de competencia perfecta tiene una
función de costes totales: CT = 2Q3
– 72Q2
+ 964Q +10580.
El precio de equilibrio en el mercado en el que trabaja es P = 1114 u.m.
a) Calcule qué cantidad producirá para maximizar beneficios.
b) Halle qué beneficio obtendrá y represente gráficamente el equilibrio de la
empresa.
c) Calcule y represente gráficamente el mínimo de explotación.
d) Calcule y represente gráficamente el punto de nivelación.
Si necesita repasar los conceptos manejados en este ejercicio, puede ver los vídeos
correspondientes donde se explica la teoría en mi página:
http://microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es/p/videos.html
a) La condición de primer orden de maximización de beneficios de una
empresa competitiva nos dice que ésta habrá de producir una cantidad tal que
haga igualar sus costes marginales con el precio de equilibrio del mercado.
A continuación, calcularemos los costes marginales, que son la derivada de los
costes totales respecto de Q:
C’ = = 6Q2
– 144Q + 964
Para maximizar beneficios, se ha de cumplir la siguiente igualdad:
P = C’
1114 = 6Q2
– 144Q + 964
6Q2
– 144Q – 150 = 0
Q2
– 24Q – 25 = 0
A simple vista se puede apreciar que las dos raíces de esta ecuación son – 1 y 25, pues
el término independiente es el producto de ambas raíces y el valor que acompaña a la Q
es la suma de ambas con signo negativo.
Resolvemos no obstante de la forma más tradicional para quienes no lo vean tan
inmediato:

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; ; las dos posibles soluciones por
consiguiente son Q = –1 y Q = 25.
Aunque matemáticamente obtengamos dos resultados, sólo uno es el que nos hará
maximizar beneficios –el otro, por el contrario, es el que nos haría minimizar
beneficios-. La condición de segundo orden de maximización de beneficios de una
empresa competitiva nos dice que los costes marginales han de estar en su tramo
creciente. Esto matemáticamente implica que sustituyendo en la derivada del coste
marginal el valor de la Q que hemos hallado, nos ha de dar un valor positivo. En este
caso, dado que no existen cantidades negativas que podamos producir, es obvio que el
valor que nos interesa es Q = 25.
b) Ahora que ya sabemos que va a producir 25 unidades y que las va a vender a
un precio de 1114 u.m., podemos conocer el beneficio de la empresa como la
diferencia entre los ingresos totales y los costes totales:
B = IT – CT = 1114·25 – 2·253
+ 72·252
– 964·25 – 10580 = 6920 u.m.
La representación gráfica del equilibrio de la empresa sería el siguiente:
CTMe
P
P1
P2
C’
CVMe
Q
1114
P1
-1 25

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c) El mínimo de explotación viene dado por ese precio a partir del cual la
empresa comienza a producir, pues ahí ya cubre sus costes variables y a
partir de ese precio empieza a recuperar los costes fijos –obviamente, si ese
precio es aún mayor empezará a tener beneficios, pero eso lo calcularemos
en otros ejercicios-.
Eso se produce en el mínimo de los costes variables medios, que es el punto en el que
los costes marginales cortan con dichos costes variables medios. Por eso, podemos
calcularlo matemáticamente de cualquiera de las dos formas:
o bien
C’ = CVMe
Lo haremos a continuación de las dos formas posibles.
Para ello, necesitamos en primer lugar conocer quiénes son los costes variables
medios. Por su propia definición serán el resultado de dividir los costes variables –todos
aquellos que dependen de la cantidad, Q- entre Q:
CVMe = =
–
2Q2
– 72Q + 964
Para minimizar esta función, su derivada respecto de Q deberá ser igual a cero:
; 4Q – 72 = 0; Q = 18
Si la cantidad asociada al mínimo de explotación es Q = 18, sustituyendo este valor ya
sea en el coste marginal ya sea en el coste variable medio, obtenemos el precio mínimo
a partir del cual la empresa comenzará a producir:
CVMe(Q = 18) = 2·182
– 72·18 + 964 = 316 u.m.

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El mínimo de explotación se produce por tanto para esta empresa cuando el precio
alcanza las 316 u.m., y comienza a producir 18 unidades.
La representación gráfica sería la siguiente:
d) El punto de nivelación es aquel en el que el precio es lo suficientemente alto como
para que la empresa deje de tener pérdidas, es decir, aquel en el que el beneficio es B =
0. Si el precio es mayor que este, la empresa comenzará a presentar beneficios positivos.
Tenemos dos posibilidades para su cálculo: hallar el mínimo de los costes totales
medios, o bien calcular el punto de corte entre los costes marginales y los costes totales
medios. Esto es así porque el coste marginal corta a los costes totales medios en el
mínimo de éstos. Optemos por una u otra opción vamos a encontrarnos finalmente con
la misma ecuación. Lo hallaremos en esta ocasión calculando el mínimo de los costes
totales medios.
Los costes totales medios son el resultado de dividir los costes totales entre Q:
CTMe = =
–
= 2Q2
– 72Q + 964 +
Para calcular su mínimo, igualamos a cero la derivada respecto de Q de esta función:
CTMe
P
P1
P2
C’
CVMe
Q
1114
P1
P2
316
P1
P2
Mínimo de explotación o
punto de cierre
P1
P2
18 25-1
P1
P2

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= 0;
4Q – 72 – = 0;
4Q3
– 72Q2
– 10580 = 0
Q3
– 18Q2
– 2645 = 0
Sabemos que la cantidad que buscamos es mayor que 18, pues esta es la asociada al
punto de cierre. También conocemos que ha de ser inferior a 25, pues con esta cantidad
hemos visto que obtenía beneficios, por lo que la cantidad que buscamos está
comprendida dentro de un estrecho margen.
Un buen candidato es el número 23, pues es uno de los divisores del término
independiente y está comprendido dentro del rango descrito; comprobamos utilizando el
método de Ruffini que esa es una de las raíces de la ecuación:
1 –18 0 – 2645
23 23 115 2645
1 5 115 0
Dejamos en manos del lector la comprobación de que el resto de raíces son imaginarias.
Si la cantidad para la que el coste total medio es mínimo es de 23 unidades, el precio
correspondiente al punto de nivelación lo obtendremos sustituyendo dicho valor ya sea
en el coste marginal, ya sea en el coste total medio. Elegimos hacerlo en éste último:
CTMe (Q = 23) = 2Q2
– 72Q + 964 + ;
CTMe (Q = 23) = 2·232
– 72·23 + 964 + ;
CTMe (Q = 30) = 826 u.m.

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La representación gráfica sería la siguiente:
Si necesita repasar los conceptos manejados en este ejercicio, puede ver los vídeos
correspondientes donde se explica la teoría en mi página:
http://microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es/p/videos.html
23
P1
P2
826
P1
P2
316
P1
P2
18
CTMe
P
P1
P2
C’
CVMe
Q
1114
P1
P2
-1
P1
P2
25
P1
P2
Punto de nivelación
P1
P2