Capítulo III (68) de física II Ley de Gauss - definitivo

Glosario de Términos del Capítulo II ,[object Object]

Intensidad del campo eléctrico

Punto de origen y punto del campo

Principio de Superposición de Campos eléctricos

Densidad volumétrica de carga

Momento dipolar eléctrico,[object Object]

El flujo eléctrico y la Carga encerrada

3.2 Cálculo del Flujo Eléctrico

Flujo de un campo eléctrico uniforme

Flujo de un campo eléctrico no uniforme

Carga puntual dentro de una superficie esférica

Carga puntual dentro de una superficie no esférica

Forma general de la Ley de Gauss

3.4 Aplicaciones de la Ley de Gauss

Prueba experimental de la Ley de Gauss

Campo en la superficie de un conductor ,[object Object]

Consideraciones iniciales En física, las propiedades de simetría de los sistemas constituyen una herramienta importante para simplificar los problemas. Muchos sistemas físicos tienen simetría, por ejemplo, un cuerpo cilíndrico se ve igual luego de hacerlo girar sobre su eje y una esfera de metal con carga se ve igual después de girar alrededor de cualquier eje que pase por su centro. La Ley de Gauss utiliza las propiedades de simetría de los sistemas para simplificar los cálculos del campo eléctrico. Esta ley es un enunciado fundamental acerca de la relación entre las cargas eléctricas y los campos eléctricos, ya que ayuda a entender cómo se distribuye la carga en los cuerpos conductores. La Ley de Gauss trata de lo siguiente: Dada cualquier distribución general de cargas, ésta se rodea con una superficie imaginaria que la encierra y luego se observa el campo eléctrico en distintos puntos de esa superficie imaginaria. En resumen, la Ley de Gauss es una relación entre el campo eléctrico en todos los puntos de la superficie y la carga total que esta encierra.

E E +q - +q + Magnitud y Dirección del Campo Campo Eléctrico Producido por una Carga Puntual La magnitud de la intensidad de un campo eléctrico E es proporcional a la fuerza ejercida en el punto con carga q. La dirección de la intensidad del campo eléctrico E en un punto en el espacio es la misma que la dirección en la cual una carga positiva se movería si se colocara en ese punto. -Q +Q

Líneas de campo eléctrico para tres diferentes distribuciones de carga

3.1 Carga y Flujo Eléctrico En el capítulo anterior vimos que dada una distribución de cargas, cuál era el campo eléctrico que producía dicha distribución en un punto dado “P”. Tenemos que si se representaba la distribución como un conjunto de cargas puntuales, cada una de las cargas producía un campo eléctrico Eᵢ , y el campo total E en P, se calculaba como la suma vectorial de los campos debidos a todas las cargas puntuales.

Carga y Flujo Eléctrico Como relación alternativa entre las distribuciones de carga y los campos eléctricos, podríamos plantearnos la pregunta a la inversa: “si se conoce la disposición del campo eléctrico en una región determinada, ¿qué podemos determinar acerca de la distribución de carga en esa región del espacio? Ejemplo: consideremos la caja de la figura 22.1 como una superficie imaginaria cerradaque puede contener o no una carga eléctrica. ¿Cómo podemos determinar cuánta carga eléctrica (si la hay) se encuentra dentro de la caja?

[object Object],Como sabemos que una distribución de carga produce un campo eléctrico E y que éste ejerce una fuerza F sobre una carga de prueba; procedemos a mover una carga de prueba qₒ en torno a las proximidades de la caja. Con la medición de la fuerza F experimentada por la carga de prueba en diferentes posiciones, podemos elaborar un mapa tridimensional del campo eléctrico E = F/qₒ fuera de la caja. En la figura 22.1 b, podemos apreciar que el mapa obtenido es el mismo que el del campo eléctrico producido por una carga puntual positiva (Figura 21.29 a). A partir de los detalles del mapa es posible determinar el valor exacto de la carga puntual dentro de la caja.

Flujo Eléctrico sobre la superficie de cajas que contienen carga neta positiva o negativa Para determinar el contenido de la caja, solo se necesita medir E en la superficie de la caja. En a) y b) el campo apunta hacia fuera; en c) y d) E apunta hacia dentro. Figura 22.2

Flujo Eléctrico si la carga neta dentro de la caja es cero Si la carga neta dentro de la caja es cero, no hay Flujo eléctrico neto hacia fuera o hacia dentro de la caja.

Flujo Eléctrico Es la medida del numero de línea de campo que atraviesan ciertas superficie. Cuando la superficie que esta siendo atravesada encierra una carga neta, las líneas que atraviesan tal superficie es proporcional a la carga neta que esta en el interior de ella. Existe una relación directa entre el signo de la carga neta contenida dentro de la superficie cerrada (positivo, negativo o cero) y el flujo eléctrico neto a través de la superficie de la caja.

Flujo Eléctrico sobre la superficie de cajas que contienen cargas Existe una relación entre la magnitud de la carga neta contenida dentro de la superficie cerrada y la intensidad del flujo eléctrico neto E sobre la superficie. Tanto en la figura a) como en la b) hay una sola carga puntual dentro de la caja, pero en la b) la magnitud de la carga es el doble de grande, por lo que el flujo neto de E en toda la superficie de la caja se duplica. Esto sugiere que el flujo eléctrico neto a través de la superficie de la caja es directamente proporcional a la magnitud de la carga neta encerrada en la caja. Y es independiente del tamaño de la caja.

Algunas conclusiones de lo visto hasta ahora Para los casos especiales de una superficie cerrada en forma de caja rectangular y distribuciones de carga constituidas por cargas puntuales o láminas con carga, se tiene lo siguiente: El hecho de que el flujo neto sea hacia el exterior o hacia el interior de una superficie cerrada depende del signo de la carga encerrada. Las cargas afuera de la superficie no provocan un flujo eléctrico a través de la superficie. El flujo eléctrico neto es directamente proporcional a la cantidad neta de carga contenida dentro de la superficie, pero en independiente del tamaño de la superficie cerrada. Esta observaciones son el planteamiento cualitativo de la ley de Gauss y son válidas para cualquier otra clase de distribuciones de carga y para superficies cerradas de forma arbitraria.

3.2 Cálculo del Flujo eléctrico Cualitativamente, el Flujo Eléctrico a través de una superficie es la descripción de si el Campo eléctrico E apunta hacia la superficie o desde la superficie hacia fuera. Esto se utilizo para obtener un enunciado cualitativo de la Ley de Gauss: el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada en el interior de dicha superficie. Para aprovechar por completo esta Ley, se necesita saber cómo calcular el flujo eléctrico. Tener en cuenta que un Campo Eléctrico no es un Flujo, solo se utiliza la analogía con un fluido en movimiento con fines explicativos.

[object Object],En primer lugar se consideremos un área plana A perpendicular a un plano eléctrico uniforme E. Se define el Flujo Eléctrico ΦΕa través de esta área como el producto de la magnitud del campo eléctrico E por el área A: ΦΕ = EA (3.0) En términos aproximados se puede imaginar a ΦΕcomo las líneas de campo que pasan a través de A. El incremento del área significa que más líneas de campo cruzan el área, por lo que aumenta el flujo; un campo más intenso significa mayor densidad de líneas de E, por lo que hay más líneas que pasan por unidad de área , lo que también incrementa el flujo.

[object Object],Si el área A es plana pero no perpendicular al campo E , entonces son menos las líneas de campo que la atraviesan. En este caso, el área que se toma en cuenta es la silueta que se observa al mirar en dirección de E. Esta es el área A﬩ en la figura 22.6b, y es igual a A cos φ. Esto hace que la definición de flujo eléctrico para un campo eléctrico uniforme s generalice a : ΦΕ = EAcosφ(3.1)

A Flujo eléctrico a través de superficies uniformes con diferentes orientaciones Como Ecosφ es la componente de E perpendicular al área, la ecuación anterior se expresa como: ΦΕ = E﬩A (Flujo eléctrico para E uniforme en superficie plana inclinada) (3.2) En términos del vector de área A perpendicular al área, el flujo eléctrico se expresa como el producto escalar de E y A: ΦΕ = E.A (Flujo eléctrico para E uniforme en superficie plana inclinada) (3.3) Las tres ecuaciones anteriores (3.1), (3.2) y (3.3) expresan el flujo eléctrico para una superficie plana y un campo eléctrico uniforme de maneras diferentes pero equivalentes. La unidad del Sistema Internacional de medidas para el flujo eléctrico es 1 N.m²/C. Observe en la figura 22.6c que si el área está de perfil respecto del campo, E y A son perpendiculares y el flujo es igual a cero.

[object Object],La dirección de un vector de área se puede representar con A empleando un vector unitario ň perpendicular al área ; ň significa “normal”. De esta forma: A = Aň (3.4) Una superficie tiene dos lados, por lo que hay dos direcciones posibles para ň y A . Siempre se debe especificar cuál es la dirección elegida. En la sección 3.1 se relacionó la carga dentro de una caja cerrada con el flujo eléctrico a través de ella. Con una superficie cerrada siempre se elegirá a ň como la que se dirige hacia el exterior, y se hablará del flujo hacia afuera de la superficie cerrada. Así, lo que se llamó “flujo eléctrico hacia fuera” corresponde a un valor positivo de Φᴇ , y lo que se denominó “flujo eléctrico hacia dentro” corresponde a un valor negativo de Φᴇ .

[object Object],¿Qué pasa si el campo eléctrico no es uniforme, sino que varia de un punto a otro del área A? O, ¿qué ocurre si A es parte de una superficie curva?. Aquí se divide A en muchos elementos pequeños dA, cada uno de los cuales tiene un vector unitario ň perpendicular a él, y un vector de área dA = ň dA. El flujo eléctrico se calcula a través de cada elemento y los resultados se integran para obtener el flujo total: Φᴇ = ∫ E cos φ dA = ∫ = ∫ E . dA (3.5) Definición General del Flujo Eléctrico Esta integral se llama integral de superficie de la componente E﬩ en el área, o integral de superficie de E . dA . Las diversas formas de la integral expresan el mismo concepto en términos diferentes E﬩dA

[object Object],En problemas específicos, una forma resulta en ocasiones más conveniente que otra. En el segundo ejemplo que veremos a continuación sobre el Flujo Eléctrico a través de una esfera, se hará uso de la ecuación 3.5. En la ecuación 3.5 el flujo eléctrico ∫ E﬩ . dA es igual al valor medio de la componente perpendicular del campo eléctrico, multiplicado por el área de la superficie. Esta es la misma definición del flujo eléctrico a que se llegó en la sección 3.1, ahora expresada en términos más generales. En la siguiente sección “Ley de Gauss”, se verá la vinculación entre el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada, sin importar su forma, y la cantidad de carga encerrada dentro de la superficie.

3.3 LEY DE GAUSS - Introducción La Ley de Gauss es una alternativa a la Ley de Coulomb. Aunque equivale por completo a la Ley de Coulomb, la Ley de Gauss ofrece una forma distinta de expresar la relación entre la carga eléctrica y el campo eléctrico. Esta ley fue formulada por Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos. Gauss también realizó contribuciones significativas en la física teórica.

Carga puntual dentro de una superficie esférica La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada (una superficie que encierra un volumen definido) es proporcional a la carga eléctrica total (neta) dentro de la superficie. Vamos a analizar el campo de una carga puntual positiva q. Las líneas de campo se extienden en forma radial hacia fuera en todas direcciones por igual. Colocamos esta carga en el centro de una superficie esférica imaginaria con radio R. La magnitud de E en cada punto de la superficie está dada por : (3.6)

Carga puntual dentro de una superficie esférica En cada punto de la superficie, E es perpendicular a ésta, y su magnitud es la misma en todos los puntos como se ilustró en el ejemplo 22.3 que vimos ayer . El flujo eléctrico total es el producto de la magnitud del campo E por el área total A = 4 ᴨ R² de la esfera. El flujo eléctrico es independiente del radio R de la esfera; sólo depende de la carga q encerrada por la esfera. En la figura 22.11 vemos que el flujo eléctrico es el mismo para las dos áreas independientemente del radio las esferas.

Cálculo del flujo eléctrico que pasa a través de una superficie no esférica

Ley de Gauss 1 - 12 2 2 e = = ´ × 8 85 10 C N m . / 0 p 4 k La intensidad de campo eléctrico producido por una carga q ubicada en el centro de una esfera imaginaria está dada por: La permisividad del espacio libre se define por: k = 1 = 9 x 109 N·m2/C2 4ᴨƐₒ Ley de Gauss: El número total de líneas de fuerza eléctrica que cruzan cualquier superficie cerrada en una dirección hacia afuera es numéricamente igual a la carga total neta contenida dentro de esa superficie. (3.7)

Carga puntual afuera de la superficie cerrada

FORMA GENERAL DE LA LEY DE GAUSS

Resumen de la Ley de Gauss ,[object Object]

Se trata de una relación entre la carga encerrada en una superficie y el flujo del campo eléctrico, a través de la misma.

Constituye un medio para obtener expresiones de campos eléctricos, con suficientes condiciones de simetría.,[object Object]

Conclusiones sobre las diferentes formas de la Ley de Gauss

Aplicaciones de la Ley de Gauss

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