Matematicas para ingenieria 3

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Módulo 1. Cálculo diferencial de funciones de varias variables. 1. Cilindros y superficies cuádricas 1.1. Describir el espacio tridimensional a través del sistema de coordenadas cartesianas. 1.2. Localizar puntos en el espacio tridimensional cartesiano. 1.3. Reconocer las ecuaciones de los planos coordenados y de planos paralelos a los planos coordenados. 1.4. Reconocer una ecuación lineal de tres variables como la ecuación de un plano. 1.5. Definir y hacer gráficas de cilindros con directrices en cualquier plano coordenado. 1.6. Definir y hacer graficas de las siguientes superficies cuádricas: esfera, elipsoide, paraboloide circular, paraboloide elíptico y cono. 2. Funciones de dos y más variables. 2.1. Definir función de dos o más variables. 2.2. Definir y encontrar Dominio e Imagen de una función de dos variables. 2.3. Trazar la gráfica de una función de dos variables. 2.4. Definir y obtener las curvas y superficies de nivel. 3. Derivadas parciales y diferencial total. 3.1. Definir y aplicar el concepto de derivada parcial de una o más variables. 3.2. Interpretar geométricamente el concepto de derivada parcial de una función de dos variables. 3.3. Definir y aplicar derivadas parciales mixtas y de orden superior. 3.4. Establecer y aplicar el resultado acerca de la igualdad de las derivadas parciales mixtas. 3.5. Definir el diferencial total de una función de dos y tres variables y establecer la relación con el incremento de la función. 3.6. Enunciar y aplicar la regla de la cadena. 4. Derivadas direccionales y vector gradiente. 4.1. Definir, aplicar e interpretar geométricamente el concepto de derivada direccional. 4.2. Definir y aplicar el concepto de vector gradiente. 4.3. Establecer la fórmula para calcular la derivada direccional como el producto punto del vector gradiente y un vector unitario. 4.4. Demostrar y aplicar el corolario que afirma que el valor máximo de la derivada direccional ocurre en la dirección del gradiente. 4.5. Enunciar y aplicar el teorema de la ortogonalidad del vector gradiente con un conjunto de nivel. 4.6. Establecer la ecuación general de un plano. 4.5. Construir la ecuación del plano tangente a una superficie en un punto. 5. Extremos relativos y absolutos. 5.1. Definir valores extremos relativos y absolutos. 5.2. Definir puntos críticos. 5.3. Establecer la relación entre extremos relativos y puntos críticos.

5.4. Definir y ejemplificar el concepto de punto silla. 5.5. Enunciar y aplicar el criterio de las segundas derivadas parciales para extremos relativos. 5.6. Aplicar el método de multiplicadores de Lagrange a problemas de valores extremos, empleando uno y dos multiplicadores.
Módulo 2. Integración múltiple. 1. Integral doble. 1.1. Definir suma de Riemann para funciones de dos variables. 1.2. Definir e interpretar como volumen la integral doble de una función de dos variables. 1.3. Enunciar y aplicar las propiedades de linealidad de la integral doble. 1.4. Enunciar y aplicar la propiedad de la integral doble sobre una unión de dos regiones que no se traslapan. 1.5. Reconocer región tipo I y región tipo II. 1.6. Evaluar una integral doble sobre una región tipo I o tipo II, mediante una integral iterada. 1.7 Invertir el orden de integración en una integral iterada. 2. Coordenadas polares e integración en coordenadas polares. 2.1. Definir el sistema de coordenadas polares y obtener las dos familias de representación de un punto en coordenadas polares. 2.2. Transformar las coordenadas de un punto y una ecuación dadas en el sistema polar a coordenadas cartesianas y viceversa. 2.3. Analizar simetría de la gráfica de una ecuación en coordenadas polares, con respecto al eje polar, la recta = 1/2, y al polo. 2.4. Graficar ecuaciones en coordenadas polares. 2.5. Calcular integrales dobles en coordenadas polares. 2.6. Calcular volúmenes y áreas usando la integral doble en coordenadas cartesianas y polares. 2.7. Calcular áreas usando la integral doble en coordenadas cartesianas y polares. 2.8. Calcular el área de una superficie en R3. 3. Integración triple. 3.1. Definir la integral triple de una función de tres variables. 3.2. Calcular integrales triples mediante integrales iteradas. 3.3. Modificar el orden de integración de una integral triple. 3.4. Calcular el volumen de un sólido utilizando integral triple. 3.5. Definir los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas y establecer las relaciones entre los tres sistemas (cartesiano, cilíndrico y esférico). 3.6. Calcular integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. 3.7. Calcular volúmenes mediante la integral triple en

coordenadas cilíndricas y esféricas.
Módulo 3. Funciones vectoriales. 1. Representación paramétrica de curvas y funciones vectoriales. 1.1. Representar en forma paramétrica una curva en el plano y en el espacio. 1.2. Dibujar una curva a partir de sus ecuaciones paramétricas. 1.3. Obtener la ecuación cartesiana de una curva plana a partir de sus ecuaciones paramétricas. 1.4. Definir función vectorial. 1.5. Trazar la gráfica de una función vectorial. 1.6. Encontrar la ecuación vectorial de una curva a partir de sus ecuaciones paramétricas y viceversa. 2. Derivadas e integrales de funciones vectoriales. 2.1. Definir y aplicar el concepto de derivada de una función vectorial. 2.2. Interpretar geométricamente la derivada de una función vectorial. 2.3. Enunciar, demostrar y aplicar el teorema que afirma que la derivada de una función vectorial se obtiene derivando sus componentes. 2.4. Enunciar y aplicar la regla de la cadena para derivar la composición de una función vectorial con una escalar. 2.5. Enunciar y aplicar los teoremas sobre las derivadas de la suma, el producto de una función escalar y una vectorial y el producto punto. Demostrar el del producto punto. 2.6. Definir y aplicar la integral de una función vectorial. 3. Vector tangente y normal unitario. 3.1. Definir vectores velocidad y aceleración y aplicarlos en la solución de problemas. 3.2. Definir vectores tangente, normal unitarios y aplicarlos en la solución de problemas. 3.3. Deducir y aplicar las fórmulas para obtener las componentes tangencial y normal de los vectores velocidad y aceleración. 3.4. Definir curvatura, radio de curvatura e intuitivamente círculo de curvatura. 3.5. Deducir y aplicar las fórmulas para calcular curvatura y radio de curvatura.
Módulo 4. Elementos de análisis vectorial. 1. Integral de línea. 1.1. Definir y aplicar la integral de línea de una función de dos o tres variables. 1.2. Definir y ejemplificar el concepto de "campo vectorial" en el plano y en el espacio. 1.3. Establecer el "trabajo" realizado al mover un objeto, como una integral de línea de funciones escalares o de una función vectorial. 2. Integral de línea independiente de la trayectoria. 2.1. Reconocer el concepto de integral independiente de la trayectoria.

2.2. Establecer las diferentes condiciones bajo las cuales la integral independiente de la trayectoria. es un diferencial exacto. es un campo gradiente. 2.3. Definir y aplicar los conceptos de campo conservativo y función potencial. 2.4. Enunciar y aplicar el "Teorema de Green".
Bibliografía
Libro de Texto:
 Stewart, J. (2008). Cálculo de varias variables. (6ª Ed.) México: Editorial Cengage Learning. (ISBN 9706866523)
Libro de Apoyo:
 Zill, Dennis G. "Cálculo con Geometría Analítica". Editorial Iberoamérica. (ISBN 968-7270- 37-3)

Instrucciones
Leer la(s) lección(es) del libro de texto para la realizacion del siguiente ejercicio.
1.
Debes identificar el sistema de coordenadas en el espacio así como los ejes, trata de ubicar algunos puntos. Imagina por ejemplo la ubicación de los puntos A(2, 3, 4), B(1, - 2, -2), C(2, 4, 0), D(0, 0, 4).
2.
Identifica en el espacio, ocho octantes, realiza un dibujo donde marques los puntos anteriores.
3.
Identifica los tres importantes planos asociados con el espacio tridimensional. Presta especial atención a la ecuación del plano que te servirá para identificarlos:
xy
z = 0
yz
x = 0
xz
y = 0
4.
Un aspecto muy importante consiste en reconocer una ecuación lineal de tres variables como la ecuación de un plano. Imagina el plano representado por 2x + 3y + 4z = 12. Piensa qué ocurre cuando:
x = 0
y
y = 0
z = 3
y = 0
y
z = 0
x = 6
x = 0
y
z = 0
y = 4
Ubica esos puntos y piensa en un plano.
5.
Define y realiza la gráfica de cilindros con directrices en cualquier plano coordenado. Se sugieren los siguientes pasos:
 Marca tres ejes coordenados.
 Señala la traza del cilindro en el plano coordenado de dos variables.
 Señala las trazas en planos paralelos a cada lado.
 Agrega bordes exteriores paralelos.
6.
Define y grafica las siguientes superficies cuádricas: esfera, elipsoide, paraboloide y cono.
7.
Explica cómo se denotan las funciones de dos variables así como la forma de determinar su dominio e imagen.
8.
Aborda el tema de las curvas de nivel, así como su uso para describir una función f de dos variables. Pon especial atención a la forma en que se proyectan en el plano xy las gráficas de las ecuaciones f(x, y) = k para varios valores de k.
9.
Comentar la utilidad de las curvas de nivel en el diseño de mapas de contorno y la aplicación de éstos.
10.
Buscar una referencia que haga alusión al tema, ya sea en un libro o localizada en Internet.
11.
Resolver el ejercicio siguiente, que consiste en relacionar las columnas de manera que

cada función de dos variables le corresponda el dibujo de sus curvas de nivel.
1.
a)
2.
b)
3.
c)
4.
d)
12.
Realizar una descripción con palabras que conduzca a identificar un dibujo de la región del espacio de R3 que represente las ecuaciones que se dan a continuación. Puedes auxiliarte describiendo las trazas en los planos xy, xz y yz:
13.
Describir las regiones, argumentando su postura. Se sugiere que imagines las cinco figuras, y luego con palabras hagas una descripción de cada una, como ejemplo podrías decir: "en el plano xy se trata de una elipse con tales características". Esto deberá hacerse por tema.
14.
Cuando tengas una idea de la gráfica de la ecuación procede a identificar la figura de cada una de las ecuaciones entre las siguientes:

15.
Realiza un reporte de ejercicios que incluya tus respuestas sobre el desarrollo de la actividad así como las dificultades que tuviste para la elaboración del trabajo relacionado con matemáticas y para dibujar los cilindros, también menciona la utilidad de las curvas de nivel en el diseño de mapas de contorno y la aplicación de éstos.
Incluye en tu reporte la adecuada referencia bibliográfica o de Internet.

Instrucciones
1.
Resuelve las siguientes preguntas:
 ¿Qué es una derivada parcial de unas o más variables?
 ¿Cuál es la interpretación geométrica del concepto de derivada parcial de una función de dos variables?
 ¿Cómo se aplican las derivadas parciales mixtas y de orden superior?
 ¿Cuál es la relación entre el diferencial total de una función de dos y tres variables, y el incremento de la función?
 ¿Cómo se aplica la regla de la cadena?
2.
Encuentra las primeras derivadas parciales de la función indicada:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
3.
Resuelve los siguientes ejercicios:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
4.
Realiza un reporte de ejercicios con las respuestas a las preguntas y los ejercicios.
Instrucciones
Apoyo visual
1.
Contesta las siguientes preguntas:
 ¿Cuál es el significado del gradiente?
 Explica ¿Por qué es importante el gradiente?
 ¿Cuál es la diferencia entre derivada direccional y gradiente?

 ¿Cómo pueden aplicarse estos conceptos?
2.
a.
¿Cuál seria la derivada direccional de f(x, y, z) = z2exy; en el punto P(-1, 2, 3), en la dirección dada por a = 3i + j - 5k ?
b.
¿Cuál es la derivada direccional de f(x, y) = xcos2y; en el punto P(2,/4 ), en la dirección dada por a=(5,1)?
c.
Si la temperatura T en un punto (x, y) de una placa de metal colocada en el plano xy es inversamente proporcional a la distancia al origen. La temperatura en P(3, 4) es 100°C.¿Cuál es la razón de cambio de T en P en la dirección del vector i + j?
d.
Si la temperatura T en un punto (x, y) de una placa de metal colocada en el plano xy es inversamente proporcional a la distancia al origen. La temperatura en P(3, 4) es 100°C. La dirección en que disminuye más rápidamente T en P es:
e.
El potencial eléctrico V en un punto P(x, y, z) de un sistema de coordenadas rectangulares es V = x2 + 4y2 + 9z2. ¿Cuál es la tasa máxima de cambio en P?
f.
La temperatura T en un punto (x, y, z) de un sistema de coordenadas rectangulares en el espacio está dada por la fórmula . La razón de cambio de T con respecto a la distancia en el punto P(1,3,-2) en la dirección del vector a = i - j + k.
g.
La temperatura T en un punto (x, y, z) de un sistema de coordenadas rectangulares en el espacio está dada por la fórmula . La dirección a partir de P en que aumenta más rápidamente T es:
h.
La temperatura T en un punto (x, y, z) de un sistema de coordenadas rectangulares en el espacio está dada por la fórmula . La tasa máxima de variación de T en P es:
i.
El potencial eléctrico V en un punto P(x, y, z) de un sistema de coordenadas rectangulares es V = x2 + 4y2 + 9z2. La tasa de cambio de V en P(2, -1, 3) en la dirección de P al origen:
j.
Una función de ingreso es R(x, y) = x(100 - 6x) + y(192 - 4y), en donde "x", "y" denotan el número de artículos vendidos de dos productos. Dado que la función de Costo correspondiente es C(x, y) = 2x2+2y2+4xy-8x+20 determina la utilidad máxima. (Sugerencia: Utilidad = ingreso - costo).
k.
Se va a construir una caja rectangular cerrada de manera que su volumen sea de 60 pies3. Los costos del material de la tapa y de la base son de 10 y de 20 centavos (de dólar) por pie cuadrado, respectivamente. El costo de los lados es de 2 centavos por pies cuadrado. Determinar la función de costo C(x, y), en donde "x" y "y" son la longitud y la anchura de la caja respectivamente y evaluar las dimensiones de la caja que darán el costo mínimo.
A partir del problema, respondan las siguientes preguntas:
 ¿Cuántos artículos debe vender a fin de obtener el máximo beneficio en la utilidad?
 ¿Cuál será la máxima utilidad?
 ¿Cuáles son las dimensiones de la caja que dan el costo mínimo?
 ¿Cuál es el costo mínimo?
3.
Realiza un reporte de ejercicios con las respuestas a las preguntas y ejercicios anteriores.

Instrucciones
Apoyo visual
1.
Resuelve las siguientes preguntas:
 ¿Qué es la suma de Riemann para funciones de dos variables?
 ¿Se puede interpretar como volumen la integral doble de una función de dos variables? ¿Cómo?
 ¿Cómo se aplican las propiedades de la integral doble?
 ¿Cómo se aplican las propiedades de la integral doble sobre una unión de dos regiones que no se traslapan?
 ¿Cuál es la diferencia entre la región tipo I y región tipo II?
 ¿Qué procedimiento debes llevar a cabo para evaluar una integral doble sobre una región tipo I o tipo II, mediante una integral iterada?
 ¿Cómo se invierte el orden de integración en una integral iterada?
2.
Contesta el siguiente cuestionario donde deberás especificar si cada uno de los planteamientos es verdadero o falso:
a.
donde k es cualquier constante.
b.
en la región indicada a continuación es 50.
c.
Si se supone que y y que el área de R es 8. El valor de .
d.
Si R1 y R2 son regiones que no se traslapan y R= R1u R2 y y el valor de =18.
e.
Toda integral doble da un volumen.
Nota: el tema de integración doble requiere aplicar las nociones sobre integración aprendidas en el curso de cálculo integral de una variable, por ello se recomienda estudiar y dominar ese tema si no se recuerda, a fin de contar con base teórica suficiente para entrar al tema de integración doble.
3.
Resuelve los siguientes problemas:

a.
Consideren la región R limitada por las gráficas de y = x1 y y = 4. Coloquen una red o cuadrícula sobre R que corresponda a las rectas x = -2, x = - 3 / 2, x = - 1,..., x = 2; y = 0, y = ½, y = 1,..., y = 4. Aproxime la integral doble empleando la suma de Riemann, en donde los (x * k, y * k) se elijan en la esquina inferior derecha de cada rectángulo completo Rk en R.
b.
Evalúen la siguiente integral iterada:
c.
Inviertan el orden de la siguiente integración:
4.
Realiza un reporte de ejercicios con los resultados de los problemas y preguntas anteriores.
Instrucciones
Apoyo visual
1.
Identifica el tipo de gráfica (si tiene nombre particular mencionarlo) de las ecuaciones siguientes dadas en coordenadas polares.
a.
La gráfica de r = 3 cos 2 es...
b.
La gráfica de r = 2 + 3 sen es...
c.
La gráfica de r2 = 9 sen 2 es...
d.
La gráfica de r = 2(1 - sen ) es...
e.
La gráfica de r = 3 sen es...
2.
Evalúa la integral dada cambiando a coordenadas polares: donde R es el disco con centro en el origen y radio 1.
3.
4.
Utiliza una integral doble para determinar el área de la región de uno de los pétalos de una rosa r = cos 3.
5.
6.
7.
Utiliza una integral doble para determinar el área de la región de uno de los pétalos de una rosa r = cos 3
Nota: El tema de integración en coordenadas polares requiere el empleo de la fórmula de cambio de coordenadas polares en donde se escribe x = r cos y y = r sen , al utilizar los límites apropiados de integración para r y y sustituir dA con r drd haciendo uso de un rectángulo polar "infinitesimal".

Instrucciones
Apoyo visual
1.
Responde las siguientes preguntas:
 ¿Qué es una integral triple de una función de tres variables?
 ¿Cómo se calculan las integrales triples mediante integrales iteradas?
 ¿Se puede modificar el orden de integración de una integral triple? ¿Cómo?
 ¿Cuál es el procedimiento que se lleva a cabo para calcular el volumen de un sólido utilizando integrales triples?
 ¿Cuál es la relación entre los sistemas de coordenadas cartesiano, cilíndrico y esférico?
 ¿Cómo se pueden calcular integrales triples y volúmenes con coordenadas cilíndricas y esféricas?
2.
a.
b.
c.
Evaluar: en coordenadas cilíndricas, cuando:
E=
d.
Evaluar: en coordenadas cilíndricas, cuando:
E=
e.
donde E =
f.
donde E está bajo el plano z = x + 2y y encima de la región del plano xy acotada por las curvas y = x2, y= 0 y x = 1.
g.
Evaluar: en coordenadas esféricas, cuando:
E=
h.
Evaluar: en coordenadas esféricas, cuando:
E=
3.
Realiza un reporte de ejercicios con las respuestas a las preguntas y ejercicios anteriores.

Instrucciones
Apoyo visual
1.
 ¿Cómo se representa en forma paramétrica una curva en el plano y en el espacio y cómo se grafica?
 ¿Cuál es el procedimiento que debes llevar a cabo para obtener la ecuación cartesiana de una curva plana a partir de sus ecuaciones paramétricas?
 ¿Qué es una función vectorial, y cómo se representa gráficamente?
 ¿Es posible encontrar una ecuación vectorial de una curva a partir de sus ecuaciones paramétricas y viceversa? Explícalo.
 ¿Cómo aplicarías el concepto de derivada de una función vectorial, y cuál sería su interpretación geométrica?
 ¿Cómo puedes comprobar que la derivada de una función vectorial se obtiene derivando sus componentes?
 ¿Cómo aplicas los teoremas sobre las derivadas de la suma, el producto de una función escalar, una función vectorial y el producto punto?
2.
Revisa las funciones y las gráficas siguientes estableciendo la relación entre ellas. Una vez que has hecho esto, responde, ¿cuál es la gráfica que corresponde a cada expresión? Indicando las razones de tu elección.
1.
x = cos 4t,
y = t,
z = sen 4t
2.
x = t2 - 2,
y = t3,
z = t4 + 1
3.
x = t,
y = 1/(1 + t3),
z = t2
4.
x = sen 3t cos t,
y = sen 3t sen t,
z = t
5.
x = cos t,
y = sen t,
z = sen 5t
6.
x = cos t,
y = sen t,
z = ln t

3.
Resuelve lo que se solicita en cada pregunta:
a.
Encontrar la derivada de la función vectorial , cuando t = 1.
b.
Encontrar la derivada de la función vectorial , cuando t = 1.
c.
Encontrar la derivada de la función vectorial r(t) = ti + sen tj, cuando t = 0.
d.
Evaluar la integral
e.
Evaluar la integral
4.
Realiza un reporte de ejercicioscon los resultados obtenidos en los ejercicios y preguntas anteriores.
Instrucciones
Apoyo visual
1.
 Encuentra el vector tangente r'(t) a la función r(t) = sen ti - cos tj, cuando t = /3.
 Encuentra la curvatura K de una curva y = 2x2en x = 0.
2.

a.
Encuentra el vector tangente unitario T(t) a la curva , cuando t = 0 .
b.
Encontrar el vector tangente unitario T(t) a la curva r(t) = ti + t2j, cuando t = 0.
c.
Encuentra el vector tangente unitario T(t) a la curva , cuando t = /2.
d.
La posición de una partícula está dada por , encuentra la aceleración de la partícula cuando t = 0
e.
La aceleración de una partícula está dada por a(t) = ti, y su velocidad cuando t = 0 está dada por v(0) = i + k, Encontrar su velocidad cuando t = 1.
f.
Encuentra la curvatura K de una curva r(t)= cuando t =/2.
g.
La velocidad de una partícula está dada por v(t) = i + tj, y su posición cuando t = 0 es r(0) = j + 2k. Encuentra su posición cuando t = 2.
h.
Sea la aceleración de una partícula dada por a(t) = ti, y su velocidad cuando t = 0 es v(0) = i + k. Encuentra su velocidad cuando t = 2.
i.
Encuentra la curvatura K de una curva cuando t = /2.
3.
Realiza un reporte de ejercicios con las respuestas de los ejercicios anteriores.
Instrucciones
Apoyo visual
1.
Define y ejemplifica el concepto de "campo vectorial" en el plano y en el espacio.
2.
Realiza una investigación referente al tema de Campo Vectorial, incluye una explicación comentando de dónde surge su nombre y qué tipos de imágenes visuales son generadas por estas funciones.
3.
En esta actividad se introducirán al estudio de los campos vectoriales, a partir de la elaboración de dibujos que representen algunos campos vectoriales sencillos. Resuelve los siguientes ejercicios:
a.
Imagina que a cada punto p del espacio se le asocia un vector F(p) que sale de p. Ante la imposibilidad de dibujar todos esos vectores dibujaras sólo una muestra representativa que pueda dar la idea intuitiva de un campo.
b.
En esta actividad encontraras cuatro funciones relativamente sencillas, intenta dibujar algunos vectores y piensa de las siguientes representaciones ¿Cuál es la más adecuada para cada función?
1.
F(p) = F(x, y) = x i + y j
2.
F(p) = F(x, y) = -1/2 y i + 1/2 x j
3.
F(p) = F(x, y) =
4.
F(p) =F (x, y) = - x i + 2 y j

4.
Elabora un reporte de ejercicios con las respuestas a los ejercicios anteriores, no olvides incluir la investigación y la definición.
Instrucciones
Apoyo visual
1.
Realiza lo que se te pide a continuación:
 Explica cómo aplicar la integral de línea de una función de dos o tres variables.
 Mediante una integral de línea de funciones escalares o de una función vectorial, explica cómo estableces el "trabajo" realizado al mover un objeto.
 Define el concepto de integral independiente de la trayectoria.
 Explica cómo se aplican los conceptos de campo conservativo y función potencial.
 Menciona a qué se atribuye la importancia del teorema de Green.
2.
Revisa el tema Cálculo Vectorial, y los ejercicios especiales referentes a este tema que se incluyen en tu libro de texto “Cálculo multivariable”.
3.
Resuelve lo siguiente:
a.
Evalúa la integral de línea , donde C es la curva x = t, y = t, 0 t 1

b.
Evalúa la integral de línea , donde C es la curva x = t, y = t2, 0 t 1
c.
Para qué valor de la constante b es el campo vectorial F = bxy2 i + x2yj conservativo.
d.
Dada . Determina si el campo vectorial es o no conservativo.
4.
Resuelve si es verdadero o falso y justifica tus respuestas:
a.
El trabajo realizado por la fuerza F = (2x + y)i + (xy)j al mover un objeto de (1, 0) al (2, 3) sobre la curva C dada por x = t +1, y = 3t es 1.41 .
b.
El trabajo realizado por la fuerza F = y3i + x3j al mover una partícula de (5, 0) al (5, 0) sobre la elipse en una revolución completa es 135 p.
c.
El trabajo realizado por la fuerza F = (3cos t - 4sen t) i + 3sen 2tj al mover la partícula desde P(3, 0) a Q(0, 2) sobre la curva dada en forma paramétrica como x = 3cos t, y = 2sen t es 8.92.
5.
Elabora un reporte de ejercicios con las respuestas a los ejercicios anteriores.

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