1. MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA
La ecuación de onda relativista de Partículas de Espín-0: La ecuación
de Klein-Gordon y sus aplicaciones
La descripción de los fenómenos a altas energías requiere la investigación
de ecuaciones de onda relativistas. Esto significa que las ecuaciones son
invariantes bajo transformaciones de Lorentz. La transición de una
descripción no relativista a una descripción relativista implica que varios
conceptos de la teoría no relativista tienen que ser reinvestigados, en
particular:
(1) las coordenadas espaciales y temporales tienen que ser tratados por
igual dentro de la teoría.
(2) Debido a que , una partícula relativista no puede ser
localizado de manera más precisa que , en caso contrario aparece
la creación de pares para Por lo tanto, la idea de una partícula
libre sólo tiene sentido si la partícula no es confinada por las restricciones
externas a un volumen que es menor que aproximadamente la longitud de
onda de Compton . En caso contrario la partícula tiene
automáticamente compañero debido a la creación de partícula-antipartícula.
(3) Si la posición de la partícula es incierta, es decir, si , luego el
tiempo también es incierto, debido a .
En una teoría norelativista se vuelve arbitrariamente pequeño, debido a
que . De este modo, reconocemos la necesidad de reconsiderar el
concepto de densidad de probabilidad de , que describe la
probabilidad de encontrar una partícula en un lugar definido en un instante
fijo t.
(4) A altas energías (relativista) ocurren procesos de creación y
aniquilación de pares, normalmente en la forma de creación de pares de
partícula-antipartícula. Por lo tanto, a la conservación de energías de
partículas relativistas no es ya una suposición válida. Una teoría relativista
debe ser capaz de describir la creación de pares, polarización del vacío, de
conversión de partículas, etc.

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La notación
Primero se observará sobre la notación utilizada. Hasta ahora hemos
expresado cuadrivectores mediante la notación de Minkowski, con una
cuarta componente imaginaria, como por ejemplo
(1.1).
Las letras abrevian a los cuadrivectores completos. Algunas
veces, también se los denotarán por , etc, es decir, con una flecha
doble. En tanto no surja confusión ahí, se prefiere la primera notación. Para
lo siguiente es útil introducir el tensor métrico (componentes covariantes)
(1,2).
De este modo, uno puede denotar la longitud del vector
Esta relación se ha tomado con
frecuencia como la relación de definición del tensor métrico. La forma
contravariante del tensor métrico se sigue de la condición
.
Aquí es el cofactor de [es decir, el sub-determinante, obtenido por el
cruce de la μ ésima fila y la σ ésima columna y multiplicando con la fase
] y g viene dada por . Para la métrica espacial de
Lorentz el tensor métrico contravariante y covariante son idénticos:
.
A partir de ahora vamos a utilizar el cuadrivector contravariante
(1,5), para la descripción de las coordenadas
espaciotemporales, en donde la componente temporal se denota como

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componente cero. Tenemos la forma covariante del cuadrivector al "bajar" el
índice μ con la ayuda del tensor métrico, esto es
(1,6).
Del mismo modo los índices pueden ser "elevados" para dar
.
Esto significa que se puede transformar fácilmente la forma covariante en la
forma contravariante de un vector (respectivamente de un tensor) y
viceversa. Excepto en casos especiales, donde se denota explícitamente,
se utiliza la convención de sumatoria de Einstein: Se suma
automáticamente de 0 a 3 sobre los índices que ocurren doblemente (un
índice superior y un índice inferior). Así tenemos, por ejemplo,
(1,7)
La definición del vector de cuadrimomento es análogo,
(1,8)
y escribimos el producto escalar en cuatro dimensiones (espacio-temporal)
como
(1-9)
o igualmente
(1-10)
Identificamos los cuadrivectores mediante una letra común. Así, por
ejemplo, .
En contraste con esto se denota trivectores en negrita como en
.
A menudo se escribe sólo las componentes. De aquí, ,
significa un cuadrivector con componentes contravariante. Índices griegos,
como μ, siempre van de 0 a 3. Índices en latín, como por ejemplo i, implican
valores de 1 a 3. Un trivector puede por lo tanto también ser escrito en
forma contravariante como , o bien en forma covariante

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. De este modo, el operador cuadrimomento por lo tanto, se
denota por
(1.11).
Se transforma como un cuadrivector contravariante, de modo que
(1.12).
Esta ecuación define tanto el operador delta tridimensional como
el operador de d'Alembertiano tetradimensional Por
último, comprobamos las relaciones de conmutación del momento y la
posición por medio de (1.11 y 1.5), con lo que se obtiene
(1.13).
En el lado derecho (rhs), el tensor métrico parece que expresa la forma
covariante de la relación de conmutación.
El cuadripotencial del campo electromagnético está dado por
(1.14).
De aquí son los componentes contravariante y los
componentes covariante. A partir de el tensor de campo
electromagnético se sigue de la manera bien conocida:
(1.15).

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La ecuación de Klein-Gordon
A partir de la mecánica cuántica elemental conocemos la ecuación de
Schrödinger
(1,16), corresponde a la relación de la energía
norelativista en forma de operador,
, son los
operadores de la energía y del momento, respectivamente. A fin de obtener
una ecuación de onda relativista empezamos al considerar partículas libres
con la relación relativista (1-19)
Ahora se sustituye el cuadrimomento por el operador cuadrimomento
(1,20).
Al seguir de (1.6) y (1.11), el resultado está de acuerdo con (1.18). Por lo
tanto, se obtiene la ecuación de Klein-Gordon para partículas libres,
(1.21).
De aquí m0 es la masa en reposo de la partícula y c es la velocidad de la luz
en el vacío. Con la ayuda de (1.12) podemos escribir (1.21) en la forma
(1.22).
Podemos comprobar inmediatamente la covariancia de Lorentz de la
ecuación de Klein-Gordon, puesto que es un invariante de Lorentz.
También reconocemos (1.22) como la ecuación de onda clásica incluyendo
los términos de masa Las soluciones libres son de la forma

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(1.23).
En efecto, la inserción de (1.23) en (1.21) conduce a la condición
, que da resultados
en
(1-24).
Por lo tanto, ahí existen soluciones tanto para energías positiva
, como para energías negativas ,
respectivamente (véase la fig. 1.1). Se verá más adelante que las
soluciones las cuales llevan a energías negativas están conectados
físicamente con antipartículas. Debido a que antipartículas pueden en efecto
observarse en la naturaleza, ya hemos obtenido una indicación del valor de
que se extienda la teoría no relativista.
A continuación se estructura la cuadricorriente conectado con (1.21). En
analogía a las consideraciones relacionado a la ecuación de Schrödinger,
esperamos una ley de conservación para la . Partimos de (1.22), en la
forma , y tomamos el complejo conjugado de esta
ecuación, es decir .
Multiplicando ambos ecuaciones a partir de la izquierda, la primera por y
la segunda por , y el cálculo de la diferencia de la de las dos ecuaciones
resultantes se llega a , o bien
(1.25).
Por consiguiente, la densidad cuadricorriente es
(1,26).
De aquí hemos multiplicado por de modo que la componente cero
tiene la dimensión de una densidad de probabilidad (que es 1/cm3). Además

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esto asegura que se obtiene el límite no relativista correcta [cf. (1,30-31)] en
lo que sigue. En detalle, (1.25) se lee
(1,27).
Esta expresión posee la forma de una ecuación de continuidad
(1.28).
Como usual la integración sobre todo el espacio de configuración se llega a
.
De aquí, , es decir, es constante en el tiempo. Sería
una suposición natural interpretar
(1,29), como una densidad de probabilidad. Sin
embargo, hay un problema con esta interpretación: En un momento dado t
tanto como pueden tener valores arbitrarios, por lo tanto, en
(1.29) puede ser ya sea positivo o negativo. De aquí, no está definido
positivo y no así una densidad de probabilidad. La razón más profunda de
esto es que la ecuación de Klein-Gordon es de segundo orden en el tiempo,
por lo que debemos conocer tanto como para un t dado.
Además ahí existen soluciones para energías negativas [véase (12.4) y
(1.38) a continuación]. Esto y la dificultad con que la interpretación de la
probabilidad era la razón de esto, durante mucho tiempo, la ecuación de
Klein-Gordon era considerado de ser físicamente descabellado. Uno por lo
tanto, lo observa para una ecuación de onda relativista de primer orden en
el tiempo con una probabilidad definida positiva, que fue deducido
finalmente por Dirac (cf. cap. 2). Sin embargo, resulta que esta ecuación
tiene soluciones energéticas negativas también. Como hemos previamente
indicado, y como se estudiará con mayor detalle después, en el capítulo 2,
estas soluciones están conectados con la existencia de antipartículas.
El límite no relativista
Podemos estudiar el límite no relativista de la ecuación de Klein-Gordon
(1,21). Afín de hacer esto, se hace el ansatz
(1.30), es decir, se divide la dependencia temporal de en dos términos,

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uno que contiene la masa en reposo. En el límite no relativista la diferencia
de la energía total E de la partícula y la masa en reposo m0c2 es pequeña.
Por lo tanto, definimos , y la observación de que la energía
cinética no es relativista, lo que significa . De aquí,
(1.31), también se cumple, y con (1.30) tenemos
.
Insertando este resultado en (1.21) se llega a
(1.32).
Esta es la ecuación de Schrödinger para partículas libres sin espín. Como el
tipo de partícula que se describe mediante una ecuación de onda tampoco
depende en si la partícula es relativista o no relativista, inferimos que la
ecuación de Klein-Gordon describe partículas de espín-cero. Más adelante
se obtendrá este importante resultado de una manera totalmente diferente,
al hacer uso de las propiedades de transformación del campo de Klein-
Gordon
Partícula libre de espín cero
Previamente hemos indicado que en una teoría relativista del concepto de
una partícula libre es una idealización. Además partículas de espín cero,
como los piones o kaones, interactúan fuertemente con otras partículas y
campos. Sin embargo, podemos descubrir algunos de los métodos prácticos
para tratar con estos problemas mediante el estudio de las soluciones libres
de (1.21). Se vuelve a la interpretación de la densidad de corriente (1.26)
que se descartó debido a g en (1.29) no está definida positiva. Como es
acostumbrado integrando la ecuación de continuidad (1.28) se llega a

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, lo que significa que
(1.33), es decir, la constancia en el tiempo de la
normalización (que es un resultado razonable). La pregunta permanece
cómo interpretar y La interpretación de la probabilidad no es aplicable,
como acabamos de ver en el contexto de (1.29). Sin embargo, tenemos la
siguiente alternativa: Obtenemos la t ésima cuadridensidad de corriente de
carga mediante la multiplicación de la densidad de corriente (1.26) con la
carga elemental e para dar
(1-34), donde
(1.35), significa la densidad de carga, y
(1-36), se refiere a la densidad de carga de
corriente. La densidad de carga (1.35) está permitida de ser positivo,
negativo o cero. Esto equivale a la existencia de partículas y antipartículas
en la teoría. Mediante el cálculo de las soluciones para partículas libres,
podemos entender esto aún mejor. Partiendo de (1.22), escrito en la forma
, y a partir de la ansatz (1.23) de ondas libres
, obtenemos la condición necesaria
de que , o, debido de
(1.37).
En consecuencia, ahí existen dos soluciones posibles para un determinado
momento p: uno con energía positiva y la otra con energía negativa,
(1-38).
son constantes de normalización, que se determinará posteriormente.
Insertando esto en la fórmula de la densidad (1,35), encontramos
(1.39).

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Esto sugiere la siguiente interpretación: especifica partículas con carga
, especifica partículas con la misma masa, pero con carga La
solución general de la ecuación de onda es siempre una combinación lineal
de ambos tipos de funciones. Este punto puede aclararse con más detalle al
discretizar las ondas planas continuas (1.23). Para este propósito se
confinan las ondas en una gran caja cúbica grande (caja de normalización)
con arista de longitud L (ver figura 1.2) y, como siempre, se demanda
condiciones de contorno periódicas en las paredes de la caja. Esto se llega
a la manera bien conocida
(1.40), donde
(1-41).
Aquí n es un vector (discreto) en el espacio de red con ejes nx, ny, nz.
Utilizando (1.39), los factores de normalización se determinan por los
requerimientos de que
.
Al seleccionar las fases en una manera tal que las amplitudes son reales, se
obtiene
(1.42), y de este modo
(1,43).
Observe que la normalización de cualquier tipo de solución (correspondiente
a la carga positiva y negativa) es la misma. La única diferencia se debe al
factor temporal Las soluciones más generales de la ecuación
de Klein-Gordon para partículas positivas y negativas de espín cero se leen
luego como

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(1,44),
respectivamente. Soluciones para partículas de espín 0 con carga cero se
pueden obtener también. Uno reconoce inmediatamente a partir de la forma
de la expresión para la densidad de carga (1.35) que el campo de Klein-
Gordon ha de no ser real para partículas neutras, en cuyo caso
(1.45).
Por medio de (1.43) podemos describir fácilmente un frente de onda de una
partícula neutra:
.
Así se cumple y, por lo tanto, de acuerdo con (1.35)
.
Asimismo, percibimos que la densidad de corriente de partículas
neutras (1,36) también se anula. En consecuencia, en este caso no existe
una ley de conservación. Obviamente, la teoría cuántica relativista conduce
necesariamente a nuevos grados de libertad, esto es como decir la carga
como grado de libertad de partículas. En una teoría no relativista, partículas
libres sin espín pueden propagarse libremente con un momento p bien
definido. En el caso relativista, la partícula libre sin espín, existen tres
soluciones, que corresponden a la carga eléctrica de las partículas,
para cada momentum p.

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Figura 1.2. La figura muestra una caja de
normalización. Se indican dos ondas estacionarias a
lo largo del eje x.
Ejemplo
El campo cargado de Klein-Gordon
Hasta ahora hemos examinado la ecuación de Klein-Gordon, tanto para un
real, es decir, no cargado, como para un complejo, es decir, campo escalar
cargado. En el caso de campo complejo especificamos una corriente
(1), con y una carga
(2).
Ahora deseamos examinar los campos cargados con algo más de detalle.
Para este fin, se descompone la función de onda compleja en
componentes real e imaginaria como
(3), donde y son reales. Si cumple
la ecuación de Klein-Gordon
(4), entonces se deduce inmediatamente que y
también obedecen a la ecuación de Klein-Gordon, es decir,
(5).
Por lo contrario se cumple lo siguiente: Si dos campos y cumplen
por separado una ecuación de Klein-Gordon con la misma masa m =
m1=m2, luego las ecuaciones pueden ser sustituidas por una ecuación de
un campo complejo, es decir, (6),
realizar

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(7).
Al intercambiar y en
(8), se obtiene la carga opuesta. De aquí y
caracterizan cargas opuestas. Estos estudios pueden, por ejemplo,
aplicarse al triplete de pión : El , siendo una partícula neutra,
está caracterizado mediante una función de onda real, mientras que y
, son campos cargados, que tienen que ser representados por funciones
de onda complejas . y tienen la misma masa y cargas opuestas, es
decir, se puede definir
.
Antes de comenzar a estudiar los grados de libertad con respecto a la carga
en detalle, vamos a considerar la energía. Es la energía positiva (para
partículas positivas), negativa (para partículas negativas) o incluso igual a
cero (para partículas neutras)? A fin de responder a esta pregunta, se tiene
que discutir sobre la energía del campo de Klein-Gordon dentro del ámbito
del formalismo canónico general.