Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden. Variables Separables Ecuaciones con Coeficientes Homogéneas

1. CÁLCULO AVANZADO
ESCUELA:
ESCUELA: INGENIERÍA CIVIL
NOMBRE: Ing. Carmen Esparza Villalba
CLASE:
CLASE: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
SEMESTRE: ABRIL – AGOSTO 2011
SEMESTRE:
CLASE: Nro 2

2. Contenidos
2.1 Teoría de existencia y unicidad de soluciones.
2.2 Ecuaciones de variables separables.
2.3 Ecuaciones con coeficientes homogéneos.

3. 2.1 Teoría de existencia y unicidad de
soluciones
Existencia y unicidad de soluciones (ED).-
• La ED de primer orden:
dy
= f ( x, y ) 1
dx
con frecuencia no se puede resolver por integración
directa. Es importante saber cuando existen
soluciones.
• Teorema.- existe una solución única a la ED dy = f ( x, y)
dx
que satisface la condición inicial y( xo) = yo , si la

4. 2.1 Teoría de existencia y unicidad de
soluciones
Existencia y unicidad de soluciones (ED).- cont…
función f ( x, y) y su derivada parcial ∂f son continuas
∂y
en x y y cerca al punto inicial x = xo, y y = yo
Al resolver un problema de condición inicial surgen
dos preguntas
¿Existe solución al problema?, si la hay, ¿es única?

5. 2.2 Ecuaciones Diferenciales de Variables
Separables
• La ED de primer orden de la forma:
dy
= f ( x, y ) 1
dx
es de variables separables si f ( x, y ) se considera un cociente
de diferenciales, esto también puede ser escrito de la forma .
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 2
donde
M ( x, y ) = − f ( x, y ) y
N ( x, y ) = 1

6. 2.2 Ecuaciones Diferenciales de Variables
Separables
• En el caso de que M sea una función exclusiva de x y N es
función exclusiva de y, entonces
M = f (x) N = g ( y)
f ( x)dx + g ( y )dy = 0 EDVS
• Ésta ecuación puede ser resulta inmediatamente por
integración cuya solución es una función
H ( y ) = F ( x) + C Solución general de una ED
de variables separables

7. 2.2 Ecuaciones Diferenciales de Variables
Separables
Ejemplos:
dy  2 y + 3 
2
= 
dx  4 x + 5 
dy dx
=
(2 y + 3)2 (4 x + 5)2 EDVS
dy dx
=∫
∫ (2 y + 3)2 (4 x + 5)2 Utilizando la técnica de integración por sustitución
u = 2y + 3 v = 4x + 5
du = 2dy dv = 4dx
du dv
= dy = dx
2 4

8. 2.2 Ecuaciones Diferenciales de Variables
Separables
Ejemplos:
du dv
∫ 2(u )2 4(v )2
=∫
1 1
− + C1 = − + C 2 Reemplazando u y v
2u 4v
1 1
= +C
2(2 y + 3) 4(4 x + 5)
2 1
= +C Solución general de la EDVS
(2 y + 3) (4 x + 5)

9. 2.2 Ecuaciones Diferenciales de Variables
Separables
Ejemplos:
(e y
+ 1) e − y dx + (e x + 1) e − x dy = 0
2 3
e y dy e x dx
∫ (e y
+ 1)
2
= −∫
(e x
+ 1)
3 Reemplazando u y v
u = ey +1 v = ex +1 Utilizando la técnica de integración por sustitución
du = e y dx dv = e x dx
du dv
∫ (u )2 = −∫ 3
(v )

10. 2.2 Ecuaciones Diferenciales de Variables
Separables
Ejemplos:
1 1
− + C1 = + C2 Reemplazando u y v
2(v )
2
u
1 1
− = +C
e y + 1 2(e x + 1)2
1 1
+ =C
e y + 1 2(e x + 1)2
Solución general de la EDVS

11. 2.3 Ecuaciones Diferenciales con
coeficientes homogéneos
• Si los coeficientes M y N en la ecuación de orden uno
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0
son ambas funciones homogéneas y del mismo grado en x y y,
entonces M /N sólo es una función f(y/x) de aquí la ecuación
puede expresarse en la forma:
dy
= f ( y / x)
dx

12. 2.3 Ecuaciones Diferenciales con
coeficientes homogéneos
• Observación: Los polinomios en los que todos los términos
(x,y) son del mismo grado como:
x 3 − 2 xy 2 + 3 y 3 ,
x2 − 4y2 ,
xy 4 + 2 y 5 ,
son llamados homogéneos
Una definición formal de la homogeneidad es: la función f ( x, y )
es homogénea de grado k en x y y sí y sólo sí
f (λx, λy ) = λk f (x, y )

13. 2.3 Ecuaciones Diferenciales con
coeficientes homogéneos
• Metodología para resolver EDCH: Si la ecuación diferencial es
de coeficientes homogéneos, se introduce una nueva variable
v haciendo y = vx entonces la ecuación se transforma es:
y = vx 3 dy
= f ( y / x)
dx
dy
= f (v) 4
dx
Derivando 3 respecto de x, se obtiene:
dy dv
= x +v 5
dx dx

14. 2.3 Ecuaciones Diferenciales con
coeficientes homogéneos
• Metodología para resolver EDCH cont..
Igualando 4 y 5 nos da:
dv
x + v = f (v)
dx
Agrupando términos comunes en x y v tenemos una EDVS
dx dv
= 6
x f (v ) − v

15. 2.3 Ecuaciones Diferenciales con
coeficientes homogéneos
Ejemplos:
(y 2
+ yx )dx − x 2 dy = 0
Comprobamos que sea una EDCH,
M ( x, y ) = ( y 2 + yx )
N ( x, y ) = − x 2
M (λx, λy ) = λ2 y 2 + λyλx = λ2 ( y 2 + yx) = λ2 M ( x, y )
N ( λ x, λ y ) = − λ 2 x 2 = λ 2 ( − x 2 ) = λ 2 N ( x, y )
Es EDCH de grado 2

16. 2.3 Ecuaciones Diferenciales con
coeficientes homogéneos
Ejemplos:
( y + yx) − x dy = 0
2 2
Reescribiendo la ED nos queda
dx
Utilizamos las ecuaciones 3 y 5
y = vx dy dv
= x +v
dx dx
(v 2  dv 
x 2 + vxx ) − x 2  x + v  = 0 Se convierte en una EDVS
 dx 
(v 2
x 2 + vx 2 )dx − x 2 ( xdv + vdx ) = 0 Multiplicando por dx a la ED
(v 2
+ v )dx − ( xdv + vdx ) = 0
Dividiendo para x2 a toda la ED

17. 2.3 Ecuaciones Diferenciales con
coeficientes homogéneos
Ejemplos:
dx dv
∫ x (v )
=∫ 2 Integrando la EDVS
1 Sustituyendo v en la SG
ln x = − + C
v
1
ln x = − +C
y/x
y ln x = − x + yC
x + y ln x = yC Solución general de la EDCH

18. 2.3 Ecuaciones Diferenciales con
coeficientes homogéneos
Ejemplos:
( )
− ydx + x + xy dy = 0
Comprobamos que sea una EDCH,
M ( x, y ) = − y
N ( x, y ) = x + xy
M (λx, λy ) = −λy = λ ( − y ) = λM ( x, y )
( )
N (λx, λy ) = λx + λxλy = λx + λ xy = λ x + xy = λN ( x, y )
Es EDCH de grado 1

19. 2.3 Ecuaciones Diferenciales con
coeficientes homogéneos
Ejemplos:
(
− y + x + xy ) dy = 0
dx
Reescribiendo la ED nos queda
Utilizamos las ecuaciones 3 y 5
y = vx dy dv
= x +v
dx dx
(  dv
vx = x + xvx  x + v  )

 dx 
(  dv
) 
vx = x 1 + v  x + v  Sacando factor común x en la ED
 dx 
( )
 dv 
v = 1 + v  x  + 1 + v (v )( ) Multiplicando termino a termino
 dx 

20. 2.3 Ecuaciones Diferenciales con
coeficientes homogéneos
Ejemplos:
( )
vdx = x 1 + v (dv ) + (v + v 3 / 2 )dx Multiplicando por dx a la ED
( )
v 3 / 2 dx = − x 1 + v (dv ) Agrupando términos comunes
− =
(
dx 1 + v
dv
) Se convierte en una EDVS
3/ 2
x v
dx 1 + v1 / 2
−∫
x ∫ v3/ 2
= dv
dx  1 v1 / 2 
−∫
x ∫  v3/ 2 v3/ 2 
=  + dv

21. 2.3 Ecuaciones Diferenciales con
coeficientes homogéneos
Ejemplos:
dx dv Multiplicando por dx a la ED
−∫ = ∫ v −3 / 2 dv + ∫
x v
Agrupando términos comunes
− =
(
dx 1 + v
dv
) Se convierte en una EDVS
3/ 2
x v
dx 1 + v1 / 2
−∫
x ∫ v3/ 2
= dv
− 2v −1 / 2 + ln v = − ln x + C Sustituyendo v en la SG
x y
−2 + ln = − ln x + C − 2 x + y ln y = C y
y x

22. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• ZILL, Dennis G.,2006, Ecuaciones diferenciales con
aplicaciones de modelado, 8ta. Edición. CENGAGE
Learning.
• TRENCH, William F., 2002, Ecuaciones diferenciales
con problemas de valores en la frontera, Thomson
International.
• ESPARZA, Carmen A. 2010, Guía de cálculo avanzado,
UTPL.