Ecuaciones de variable separable

2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLE
SEPARABLE
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. EDO DE VARIABLE SEPARABLE DEFINICI ´ON
EDO DE VARIABLE SEPARABLE
DEFINICI ´ON
Una ED ordinaria de primer orden, se dice que es de variable separable si se
puede escribir de la forma:
dy
dx
=
f(x)
g(y)
o equivalentemente de la forma:
dy
dx
= f(x)g(y)
EJEMPLOS DE EDO DE VARIABLE SEPARABLE
1
dy
dx
=
sin x
y2
2
dy
dx
= 3x2y3
3 y =
1
yx2 − y
4 5exdy =
dx
y2

4. EDO DE VARIABLE SEPARABLE M´ETODO DE SOLUCI ´ON
M´ETODO DE SOLUCI ´ON
En general si la ecuaci´on esta escrita de la forma
dy
dx
=
f(x)
g(y)
podemos
reescribir la ecuaci´on agrupando en cada lado de la igualdad las partes
correspondientes a cada variable (de aqu´ı el nombre de variable separable):
g(y)dy = f(x)dx
Ahora podemos aplicar el operador integral a ambos lados de la ecuaci´on y
solucionar las integrales correspondientes:
g(y)dy = f(x)dx
Si F (x) = f(x) y G (y) = g(y); del paso anterior obtenemos la soluci´on
impl´ıcita:
G(y) = F(x) + C

5. EDO DE VARIABLE SEPARABLE EJEMPLOS
EJEMPLOS
EJEMPLO
Solucionar la ecuaci´on
dy
dx
=
sin x
y2
Primero reorganizamos la ecuaci´on separando las variables
y2
dy = sin xdx
Integramos a ambos lados
y2
dy = sin xdx
Para obtener
y3
3
= − cos x + C, que ser´ıa una soluci´on impl´ıcita a la ecuaci´on
diferencial, si podemos despejar y obtenemos una soluci´on expl´ıcita como:
y = 3
√
−3 cos x + C

6. EDO DE VARIABLE SEPARABLE EJEMPLOS
EJEMPLOS
OTRO EJEMPLO
Solucionar la ecuaci´on y =
1
yx2 − y
Primero reorganizamos la ecuaci´on separando las variables
ydy =
dx
x2 − 1
Integramos a ambos lados
ydy =
dx
x2 − 1
Para obtener y2
2 = −1
2 ln |x + 1| + 1
2 ln |x − 1| + C, que ser´ıa una soluci´on
impl´ıcita a la ecuaci´on diferencial, si podemos despejar y obtenemos una
soluci´on expl´ıcita como:
y = ln |x − 1| − ln |x + 1| + C

7. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014.
BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary
Value problems, Novena edici´on, JohnWiley and Sons, Inc. USA, 2009.
NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-
Wesley, Iberoamericana, 1992.
POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun-
dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.