1. Elec.6 TEOREMA DE GAUSS
¿Cuál será el campo eléctrico generado por una
distribución de cargas que mantenga alguna
simetría?
Física

2. ¿Cómo hemos llegado hasta aquí?

3. ¿Cómo puedo caracterizar una superficie
plana?

4. ¿Cómo puedo caracterizar una superficie
plana?
Mediante el valor de su área

5. ¿Cómo puedo caracterizar una superficie
plana?
Mediante el valor de su área
Entonces… ¿estas superficies son iguales?

6. ¿Cómo puedo caracterizar una superficie
plana?
Mediante el valor de su área
Entonces… ¿estas superficies son iguales?
No, están orientadas de diferente forma

7. ¿Cómo definir esa orientación?

8. ¿Cómo definir esa orientación?
Mediante el vector superficie 𝑆
𝑆
S
𝑆, es un vector de módulo el valor del área y
perpendicular a la superficie

9. ¿Y si la superficie es curva?

10. ¿Y si la superficie es curva?
La divido en superficies más pequeñas, y tomo el d 𝑆, de
cada uno de los trocitos

11. Ahora pensemos que la superficie está en el
interior de un campo eléctrico…
¿Cómo puedo contar las líneas de campo que
la atraviesan?

12. Ahora pensemos que la superficie está en el
interior de un campo eléctrico…
Necesito una nueva magnitud, el flujo eléctrico, Φ
¿Cómo puedo contar las líneas de campo que
la atraviesan?

13. ¿Cómo se define el flujo del campo eléctrico
a través de una superficie?
Como el producto escalar del campo por la superficie
¿Cuáles son las unidades?
Φ = 𝐸 · 𝑆 = 𝐸 · 𝑆 · 𝑐𝑜𝑠𝜃
Φ = 𝑊𝑏
El weber

14. ¿Cuál es el sentido físico del flujo?

15. ¿Cuál es el sentido físico del flujo?
De alguna forma, da una idea del número de líneas de
fuerza que atraviesan la superficie
𝜃 = 90° 𝜃 = 0°

16. ¿Cuál es el sentido físico del flujo?
De alguna forma, da una idea del número de líneas de
fuerza que atraviesan la superficie
𝜃 = 90° 𝜃 = 0°
Flujo mínimo Flujo máximo

17. ¿Y si el campo no es constante o la superficie
no es plana?
Ya no sirve la expresión
Φ = 𝐸 · 𝑆

18. ¿Y si el campo no es constante o la superficie
no es plana?
Ya no sirve la expresión
Φ = 𝐸 · 𝑆
Defino un elemento de flujo para cada «trocito» de S
𝑑Φ = 𝐸 · 𝑑 𝑆

19. ¿Y si el campo no es constante o la superficie
no es plana?
Ya no sirve la expresión
Φ = 𝐸 · 𝑆
Defino un elemento de flujo para cada «trocito» de S
Φ =
𝑆
𝑑Φ =
𝑆
𝐸 · 𝑑 𝑆
𝑑Φ = 𝐸 · 𝑑 𝑆
Y los sumo todos con una integral

20. TEOREMA DE GAUSS
En un campo vectorial conservativo, el flujo que atraviesa
una superficie cerrada es constante

21. TEOREMA DE GAUSS
En un campo vectorial conservativo, el flujo que atraviesa
una superficie cerrada es constante
 Una carga q crea un
campo eléctrico.
 Quiero saber el flujo en
cualquier superficie (SI)
 El flujo que atraviesa la
superficie de la esfera
(SE) y de una segunda
superficie (SI), es el
mismo.
 Calculo este último

22. ¿Para qué sirve el Teorema de Gauss?

23. ¿Para qué sirve el Teorema de Gauss?
Es más fácil calcular el flujo que atraviesa una esfera (o
cualquier otro cuerpo que posea simetría)
Demostración

24. ¿Para qué sirve el Teorema de Gauss?
Es más fácil calcular el flujo que atraviesa una esfera (o
cualquier otro cuerpo que posea simetría)
Demostración
Φ =
𝑆
𝐸 · 𝑑 𝑆

25. ¿Para qué sirve el Teorema de Gauss?
Es más fácil calcular el flujo que atraviesa una esfera (o
cualquier otro cuerpo que posea simetría)
Demostración
Φ =
𝑆
𝐸 · 𝑑 𝑆 =
𝑆
𝐸 · 𝑑𝑆
E y S de igual dirección

26. ¿Para qué sirve el Teorema de Gauss?
Es más fácil calcular el flujo que atraviesa una esfera (o
cualquier otro cuerpo que posea simetría)
Demostración
Φ =
𝑆
𝐸 · 𝑑 𝑆 =
𝑆
𝐸 · 𝑑𝑆 = 𝐸 ·
𝑆
𝑑𝑆
E y S de igual dirección E constante

27. ¿Para qué sirve el Teorema de Gauss?
Es más fácil calcular el flujo que atraviesa una esfera (o
cualquier otro cuerpo que posea simetría)
Demostración
Φ =
𝑆
𝐸 · 𝑑 𝑆 =
𝑆
𝐸 · 𝑑𝑆 = 𝐸 ·
𝑆
𝑑𝑆
E y S de igual dirección E constante
=
1
4𝜋𝜖
·
𝑄
𝑟2
·
𝑆
𝑑𝑆

28. ¿Para qué sirve el Teorema de Gauss?
Es más fácil calcular el flujo que atraviesa una esfera (o
cualquier otro cuerpo que posea simetría)
Demostración
Φ =
𝑆
𝐸 · 𝑑 𝑆 =
𝑆
𝐸 · 𝑑𝑆 = 𝐸 ·
𝑆
𝑑𝑆
E y S de igual dirección E constante
=
1
4𝜋𝜖
·
𝑄
𝑟2
·
𝑆
𝑑𝑆 =
1
4𝜋𝜖
·
𝑄
𝑟2
· 4𝜋𝑟2

29. ¿Para qué sirve el Teorema de Gauss?
Es más fácil calcular el flujo que atraviesa una esfera (o
cualquier otro cuerpo que posea simetría)
Demostración
Φ =
𝑆
𝐸 · 𝑑 𝑆 =
𝑆
𝐸 · 𝑑𝑆 = 𝐸 ·
𝑆
𝑑𝑆
E y S de igual dirección E constante
=
1
4𝜋𝜖
·
𝑄
𝑟2
·
𝑆
𝑑𝑆 =
1
4𝜋𝜖
·
𝑄
𝑟2
· 4𝜋𝑟2 =
Q
𝜖

30. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una esfera?
 Tengo una esfera de
radio R cargada con carga
Q.

31. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una esfera?
 Tengo una esfera de
radio R cargada con carga
Q.
 Me invento una segunda
superficie (SG) de radio r.

32. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una esfera?
 Tengo una esfera de
radio R cargada con carga
Q.
 Me invento una segunda
superficie (SG) de radio r.
 Aplico teorema de Gauss
y puedo calcular el
campo eléctrico de la
esfera a una distancia r.

33. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una esfera?
Φ =
Q
𝜖

34. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una esfera?
Φ =
Q
𝜖
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑 𝑆

35. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una esfera?
Φ =
Q
𝜖
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑𝑆 · 𝑐𝑜𝑠0°=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑 𝑆

36. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una esfera?
Φ =
Q
𝜖
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑𝑆 · 𝑐𝑜𝑠0°
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑𝑆
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑 𝑆

37. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una esfera?
Φ =
Q
𝜖
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑𝑆 · 𝑐𝑜𝑠0°
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑𝑆
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑 𝑆
= 𝐸 ·
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝑑𝑆

38. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una esfera?
Φ =
Q
𝜖
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑𝑆 · 𝑐𝑜𝑠0°
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑𝑆 = 𝐸 · 4𝜋𝑟2
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑 𝑆
= 𝐸 ·
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝑑𝑆

39. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una esfera?
Φ =
Q
𝜖
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑𝑆 · 𝑐𝑜𝑠0°
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑𝑆 = 𝐸 · 4𝜋𝑟2
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑 𝑆
= 𝐸 ·
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝑑𝑆
Igualando el primer y último término, puede despejarse el campo eléctrico

40. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una esfera?
Φ =
Q
𝜖
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑𝑆 · 𝑐𝑜𝑠0°
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑𝑆 = 𝐸 · 4𝜋𝑟2
=
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝐸 · 𝑑 𝑆
= 𝐸 ·
𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝑑𝑆
Q
𝜖
= 𝐸 · 4𝜋𝑟2 → 𝐸 =
𝑄
4 · 𝜋 · 𝜖 · 𝑟2
Igualando el primer y último término, puede despejarse el campo eléctrico

41. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en un hilo?
 Tengo un hilo de longitud
L y densidad de carga
𝜆 =
Q
𝐿

42. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en un hilo?
 Tengo un hilo de longitud
L y densidad de carga
𝜆 =
Q
𝐿
 Me invento una
superficie (SG) cilíndrica
de radio R.

43. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en un hilo?
 Tengo un hilo de longitud
L y densidad de carga
𝜆 =
Q
𝐿
 Me invento una
superficie (SG) cilíndrica
de radio R.
 Aplico teorema de Gauss
y puedo calcular el
campo eléctrico que crea
el hilo a una distancia
R=d.

44. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en un hilo?
Φ =
𝜆 · 𝐿
𝜖

45. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en un hilo?
Φ =
𝜆 · 𝐿
𝜖
=
𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝐸 · 𝑑 𝑆

46. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en un hilo?
Φ =
𝜆 · 𝐿
𝜖
= 2 ·
𝑩𝒂𝒔𝒆
𝐸 · 𝑑 𝑆 +
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐸 · 𝑑 𝑆=
𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝐸 · 𝑑 𝑆

47. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en un hilo?
Φ =
𝜆 · 𝐿
𝜖
= 2 ·
𝑩𝒂𝒔𝒆
𝐸 · 𝑑 𝑆 +
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐸 · 𝑑 𝑆=
𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝐸 · 𝑑 𝑆
En las bases E y S son perpendiculares y la integral se anula
=
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐸 · 𝑑𝑆

48. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en un hilo?
Φ =
𝜆 · 𝐿
𝜖
= 2 ·
𝑩𝒂𝒔𝒆
𝐸 · 𝑑 𝑆 +
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐸 · 𝑑 𝑆=
𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝐸 · 𝑑 𝑆
En las bases E y S son perpendiculares y la integral se anula
=
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐸 · 𝑑𝑆 = 𝐸 ·
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝑑𝑆

49. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en un hilo?
Φ =
𝜆 · 𝐿
𝜖
= 2 ·
𝑩𝒂𝒔𝒆
𝐸 · 𝑑 𝑆 +
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐸 · 𝑑 𝑆=
𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝐸 · 𝑑 𝑆
Igualando el primer y último término, puede despejarse el campo eléctrico
En las bases E y S son perpendiculares y la integral se anula
=
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐸 · 𝑑𝑆 = 𝐸 ·
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝑑𝑆 = 𝐸 · 2𝜋𝑟 · 𝐿

50. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en un hilo?
Φ =
𝜆 · 𝐿
𝜖
= 2 ·
𝑩𝒂𝒔𝒆
𝐸 · 𝑑 𝑆 +
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐸 · 𝑑 𝑆=
𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝐸 · 𝑑 𝑆
𝜆 · 𝐿
𝜖
= 𝐸 · 2𝜋𝑟 · 𝐿 → 𝐸 =
𝜆
2 · 𝜋 · 𝜖 · 𝑟
Igualando el primer y último término, puede despejarse el campo eléctrico
En las bases E y S son perpendiculares y la integral se anula
=
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐸 · 𝑑𝑆 = 𝐸 ·
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝑑𝑆 = 𝐸 · 2𝜋𝑟 · 𝐿

51. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una placa?
 Tengo un placa infinita y
densidad de carga 𝜎 =
Q
𝑆

52. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una placa?
 Tengo un placa infinita y
densidad de carga 𝜎 =
Q
𝑆
 Me invento una
superficie (SG) cilíndrica
de radio R.

53. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una placa?
 Tengo un placa infinita y
densidad de carga 𝜎 =
Q
𝑆
 Me invento una
superficie (SG) cilíndrica
de radio R.
 Aplico teorema de Gauss
y puedo calcular el
campo eléctrico que crea
el la placa.

54. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una placa?
Φ =
𝜎 · 𝑆
𝜖

55. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una placa?
Φ =
𝜎 · 𝑆
𝜖
=
𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝐸 · 𝑑 𝑆

56. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una placa?
Φ =
𝜎 · 𝑆
𝜖
= 2 ·
𝑩𝒂𝒔𝒆
𝐸 · 𝑑 𝑆 +
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐸 · 𝑑 𝑆=
𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝐸 · 𝑑 𝑆

57. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una placa?
Φ =
𝜎 · 𝑆
𝜖
= 2 ·
𝑩𝒂𝒔𝒆
𝐸 · 𝑑 𝑆 +
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐸 · 𝑑 𝑆=
𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝐸 · 𝑑 𝑆
Ahora, en las bases E y S tienen el mismo sentido, pero son perpendiculares en el lateral
= 2
𝑩𝒂𝒔𝒆𝒔
𝐸 · 𝑑𝑆

58. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una placa?
Φ =
𝜎 · 𝑆
𝜖
= 2 ·
𝑩𝒂𝒔𝒆
𝐸 · 𝑑 𝑆 +
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐸 · 𝑑 𝑆=
𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝐸 · 𝑑 𝑆
Ahora, en las bases E y S tienen el mismo sentido, pero son perpendiculares en el lateral
= 2
𝑩𝒂𝒔𝒆𝒔
𝐸 · 𝑑𝑆 = 2𝐸 ·
𝑩𝒂𝒔𝒆
𝑑𝑆

59. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una placa?
Φ =
𝜎 · 𝑆
𝜖
= 2 ·
𝑩𝒂𝒔𝒆
𝐸 · 𝑑 𝑆 +
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐸 · 𝑑 𝑆=
𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝐸 · 𝑑 𝑆
Igualando el primer y último término, puede despejarse el campo eléctrico
Ahora, en las bases E y S tienen el mismo sentido, pero son perpendiculares en el lateral
= 2
𝑩𝒂𝒔𝒆𝒔
𝐸 · 𝑑𝑆 = 2𝐸 ·
𝑩𝒂𝒔𝒆
𝑑𝑆 = 2𝐸 · 𝑆

60. ¿Campo eléctrico creado por una carga
distribuida en una placa?
Φ =
𝜎 · 𝑆
𝜖
= 2 ·
𝑩𝒂𝒔𝒆
𝐸 · 𝑑 𝑆 +
𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐸 · 𝑑 𝑆=
𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝐸 · 𝑑 𝑆
𝜎 · 𝑆
𝜖
= 2𝐸 · 𝑆 → 𝐸 =
𝜎
2𝜖
Igualando el primer y último término, puede despejarse el campo eléctrico
Ahora, en las bases E y S tienen el mismo sentido, pero son perpendiculares en el lateral
= 2
𝑩𝒂𝒔𝒆𝒔
𝐸 · 𝑑𝑆 = 2𝐸 ·
𝑩𝒂𝒔𝒆
𝑑𝑆 = 2𝐸 · 𝑆